高考数学解答题专项特训：函数概念与性质

高考数学解答题专项特训：函数概念与性质

1.已知寻函数，(、卜小♦:"1-1卜""既不是奇函数，也不是偶函数.

(1)求m的值；

(2)若函数"("=42W(.K)，〃:的最小值为-3,求实数。的值.

2.已知函数〃幻=.*一」.

X

(1)判断/(I)在(0・,，)上的直调性，并用函数单调性的定义证明：

<2)求/⑶在[2词上的值域.

3.已知函数/(1)Elog」(K+d).g(.r)=log।?-u).a>0且

(1)若a3,函数F(x)二，求尸(”的定义域;

<2)若/)，，求。的取值范围.

4.已知函数“K)=J'.

24-2

(1)证明：若占♦&・2,则/(xH/(xJ=2.

⑵求呜M扑/⑴+，(扑呜)的值•

5.已知函数/(.()=2sin(m-，sin(]+jr)-l+25/5siiwco&r.

(1)求函数“n的单调递减区间：

(2)求函数/("在区间0,^的最大值和最小值；

,«

(3)荐x(x)-"1一!在区间上恰有两个零点.「I：・「I，求、m(\-三)的值.

J-

6.已知/("ar:2av3(dtR|.

(1)若不等式2ax3<0的解集是,求实数4的值；

(2)若不等式，(灯《工-1对一切实数工恒成立，求实数。的取值范围.

7.已知/(“ng-?；，*(女)=圣，且火(X)为偶函数.

2me-2e-I

(1)求实数。的值：

(2)若方程/(、)-K(r)有且只有一个实数解，求实数用的取值范围.

8.已知函数N=01・2(。＞0,且〃工I)过定点且点/在函数/(«)二ln(x♦切)-1,(由£即

的图象上.

＜1)求函数/(t)的解析式；

(2)若定义在卜2］上的函数］-/(i)+h"A2.“恰有一个零点，求实数4•的取值范围.

9.殳ajR,函数/(.«)二--2(。+1八+/*5,x(.r)=sin(2^x-2.r＜/|.

(1)若函数J=1氏/(、)2：的值域是/?,求。的取值范围；

(2)当。w(L3)时，记函数〃冥＜°,讨论，(x)在区间(0,/K)内零点的个数.

二,、-I＜x＜0

10.定义在/?上的奇函数，当x＜0时，/(］)=;,其中。＞0,4/1,且

-a.“4-1

/⑴-〜其中＜?是自然对数的底，•2.71828....

(1)求。的值；

(2)当xNO时，求函数/(')的解析式；

(3)若存在工＞$20,满足求「/(')的取值范围.

11.已知函数/(«)二In(m2)-ln(x+2),其中州＜0且/⑴♦/(T)二().

(1)求m的值，判断/(由的常偶性并证明；

(2)函数g(.')=/(2')+ln(T+2,)有零点，求o的取值范围.

12.已知函数+.

(1)若/(X)是偶函数，求实数加的值；

(2)当例＞0时，K(A)=4(log..t)\log2l+--2,若关于X的方程/(g(x))=ln2在区间

［网上恰有1个实数解，求m的取值范围.

13.已知函数/（t）二夕-巾2'”-切+15昼文）.

（1）当加I时，求，（K）的单调区间：

（2）若函数的定义域内存在r,使得川〃+N成立，则称〃（、）为局

部对称函数，其中（。，切为函数力（x）的局部对称点，若（1.2）是函数〃工）的局部对称点，求实数

m的取值范围.

14.已知函数（〃>0,且〃，1）为偶函数.

（1）求。的值；

（2）若％€,x]>3x2€[-l.l],使§亩％+巾01（；-5卜；-：2/（七）成立,求实数桁

的取值范围.

答案解析部分

1.【答案】（1）令，"一：m-!I,整理为I）0,

解得m=-3或m=；,

①当m=-3时，病-例=39,可得/（"=?*,

由/（一”=（-工产=-d=-/（工），知函数””为奇函数，不合题意；

②当m1时，4加m；，可得/（、।i，由函数的定义域为［。・十了），满足题意.

由①②知，6的值为：；

（2）由（1）有/（、）=4,可得,«.（）=.*-2aJx«［a-、,

令，:4（，>0）,有］=/，可得,可化为g（.K）=am'a，

令加［）="a）ai1u:：0）,

①当〃.0时，4（0）二；a-；,

又由X（i）的最小值为-3,有:”-3--3,解得〃-3；

②当〃>0时、-h（a）--a♦--、，

又由工）的最小值为-3,有-a♦、u、=3,解得u-I（舍去）或〃=、,

由①②知u3或a:.

2.【答案】（1）/C）在（0・,”上亘调递增.

证明：任取》€（d+R）,且

/(x,)-/(.v,)<0,即I,

/八)在(o.・“上单调递增

(2)由(1)可知/(.I)在［2.3］上单调递增,

1Q

,・/W-=/(2)=：，"幻i=/(3)=*，

/A

38

所以在［2・3］上的值域为.

3.【答案】(1)解：将〃-3代人可得：「(工)二"1)vI<)=2logt(x+3)-logt(3.r+3),

x*3>0

要使函数/(i)=2logji+3)-1咱(3"3)有意义，财3-3卬解得工…

所以函数/•.(”的定义域为(［十，).

(2)/(.V)-logjA.

X♦。：>0«

因为。>0且。*1，II<|»所以，3…>。恒成立•

若"I，则函数卜hgr是增函数.

因为/(x)>g(x)，所以+>3x+0，即.

设力(x)=x］♦(2»-3)*/一a,要使时，％(工)>0恒成立,

2。・3,2。-3

--------->1.--------

只需•2或

A<0/>(1)2

解得〃1

故〃>1符合题意.

若0<〃<I,则函数，・二h唱i•是减函数.

因为/")>?(］),所以(斤♦。尸<3》*。,即/♦(%-3卜"-a<0.

结合二次函数的性质可得，当xw(l,•笫)时，不等式不可能恒成立.

故0<〃<1不符合题意.

综上，o的取值范围为(1・♦，).

4(212)+4(2〜2)

4.【答案】(1)证明：

(212)(2J2)

4(2".2")+16

.2-2(2、0)+4

若*+巧,2,则2、.2。=2、f=4.

4(2、.2316

故公山〃力;

(2)解：由(1)可知《卜/(J。/(扑呜卜2.

又因为/(I)二I,所以/卧/即川)•呜卜，(沪・

5.【答案】(1)解：/(.r)=2sin^-x|sin|：-1+25/isiiucou

=2cos*r-l+2DXinxcoM=coslx+<3sin2x

2-cos2x+—sin2x2sin-cos2.r+cos-sin2,r

66

-2>in2v+-I.

6)

jrX?It)

由>2kn<2.r♦-^-H4-2hr»AeZ,可得一+IeZ,

26263

即/")的单调递减区间为:.

JFJFJF7

(2)解：因为04主S,所以s3,

2666

所以-；4sin(2jr-.)41,所以一142sin(2x+1)42,

当2K；时，即x时，［/(x)L=2,

o2o

当:=:时，即":时，【，(x)L--I

662

(3)解：因为0，身，；，所以;，»同理工M24，二，:n

26666,66

由题意可得，/(0)=/&)=，

即2sin(2s+：)=2sin(2三+聿)■:,所以可2拓qj=$in12』n3

j+

65

所以2-♦71♦2，二.即川彳吊•♦2：.

6*63

因为马《K，所以=,所以/ela-,

66

所以sin(3一圣厂、in\-(K卜心图,

因为、in2v,-；7»可设则sin/=2,2$=，一!,

\6516516

所以、in（i-I」Mn卜一；"("泊卜加(，司

4

因为*in,二°,且2、/«IOi-l,所以

56w

4

所以sin（i-i：）=-cow

6.【答案】(1)解：由题意可知，I和3是方程w2ax3=0的两根，旦a>0.

-1+3=2

所以•（什34，解得2

(2)解：由题可得，即心？-(2〃+1•-2<0对一切实数x恒成立,

当〃。时，不等式化为-1-2<0.不符合题意;

a<0«

当〃了0时，有A=d）、&j<a解得2y辿

22

综上可知，实数o的取值范围为-3-2&<o<-3+2无

7.【答案】(1)解:由K(x)=,可知。工0,

又尺(灯为偶函数，所以有g(l)=g(7)，即舟=三

化简得—=即岛*'

ea-l

所以c=cf得”2.

经检验，当42时，*("二*(一力对任意K/0成立，即满足*")为偶函数.

故所求。的值为2.

(2)解：由(1)可知*")=3-,即方程(阳-1"二/_有且只有一个实数解,

e-12m-e1-2e-I

显然x/0,所以上述方程可化为MT二一一,

2m1-2LT

即方程(〃♦I)/'-2/+呀I=0有且只有一个实数解，

令c'-旦/工I),

则关于，的方程(加“片2f”1=0有且只有一个不为1和1的正根，

A=44(m4l)(ml)=84/n*,

①当A0时，ni±v'2-

⑴若阳=g，则方程化为(上川、♦石-1・。，

此时方程的解为，符合题意.

(ii)若m=则方程化为(-石川-,

此时方程的解为，,7夫，不符题意，故舍去.

-[A>0,8T疗>0._&<卅<&,

②当A>0时.，需满足n即用।解得...

r,r,<0.---<o,-i<m<l

+1

当，I时，即1为方程的解时，ml.

当，=।时・(/w11(/w+1)：U,m±1.

tn

所以当方程有两根，有且只有一个不为1和1的正根时，-l<m<l.

m

综上可知，当-1<用<1或阳二加时，方程/")='("有且只有一个实数解.

区.【答案】（1）解：函数卜上"…-2s>0，且，-D过定点/（1・-卜）,

函数/")二ln(x*/n)I,(mw/?)的图象过点

即-l=1n(m+1)T,解得/w=0,

函数/(')的解析式为/("=加xI：

(2)解函数i-/U)+lnR-2x)=//uln(&-2x)-l定义在［1,2］上,

由A-2C0在［1,2］上恒成立，可得—>4,

令i=//ur+ln(A2\)-l=ln(h-2/)T=0,得2/_|x+e・Q，

设*(."=2/-H+e・，

函数F=，3+ln（4-2H在［1,2］上恰有一个零点,

等价于X"）在［1,2］上恰有一个零点，

函数8（."二…图象抛物线开口向上，对称轴,>1,

4

代(1)=2-&+e=0

无解，不成立;

g(2)=8-"+0<O

若g（l）g（2）=（2"♦力（8・找♦力<0,解得满足题意;

若,4,无解，不成立;

»(2)=X-214F=O

g(l)・2-A+e<0

若l<：<2,解得A=4+g,满足题意.

g(2)»8-2A+c»0

所以实数A的取值范围为：2+t3+；.

9.【作案】（1）解：^«lg［/（v|2］=lg（x2-2（a+l）x+o2+3］

因为函数.1=糖［/（、）2］的值域是R,

所以修1工）是函数1=F2（。叫.1/+3的值域的子集，

所以*公1）：-4（〃、3）2。,解得I.

所以0的取值范围为［，,，）；

（2）解：〃"）在区间（0，・，）内零点的个数，即方程〃（“二0在区间（（）,•，）内实数根的个数,

当时，令4（.v）=sin（Lnr2ka|=0,

则2,门-2尸u-hr，则K=。：JwZ,

因为人<"，所以即4<0，

一

又x>0,所以即A>-2。，

所以一2〃<4<0,46Z；

当刀2。时，/（v）=v22（afI）X+A2>5,对称轴为x=a.|>o，

而/（。）=5・2〃,/（<2■*■1）=-2a+4,①,当/（〃M）=・2a+4>0,即1<。<2时,

函数“X）在小…）上无零点，-2“e（4.2）,

当也i£（-4.-3）,即“停2）时,此时-%<4<0，kwZ，则《可取-3,-2，-b

故方程x（x）-。在（0,。）上有3个实数根，

所以当〃，阳时，函数〃（1）在（a,动有3个零点;

当-2qW卜3.-2）,即aw（lT卜寸，此时一2〃<《<0，kwZ，则4•可取-2，I，

故方程知工）-0在（0,。）上有2个实数根，

所以当时，函数〃（x）在（0・，，）有2个零点；

②，当/（〃”）=-2。+4=0,即“二2时，

函数/（"在卜•…）上只有I个零点，

此时-4<A<0,AwZ,则A可取一3，-2»-b

故方程e（工）=o在（a〃）上有3个实数根，

所以当a2时，函数〃（x）在（伍•/）有4个零点:

/(°)=5-2”205

③，当,即2<04二时,

/("1)=-%+4<02

函数/（"在卜—川上有2个零点.

此时-2</-［、.4),

此时-2a<4<0,AeZ,则人可取4，-3,

故方程g（x）=0在（口a）上有4个实数根，

所以当2（a£:时，函数〃（x）在（（）・♦，）有6个零点;

/(u)=5-2u<05

。，当/；二)=3+4<。,即大"<3时，

函数/⑴在卜,•川上只有I个零点,

此时2〃-(6.<»,

此时-2a<4<0,AwZ,则A可取-5,-4，-3，-2，-I

故方程g（x）=0在（da）上有5个实数根，

所以当时，函数〃（"在|。小8）有6个零点;

综上所述，当aw（2・3）时，函数〃（I）在（。,*«）有6个零点;

当。・2时，函数〃（x）在（仇*8）有4个零点:

当时，函数〃（工）在（仇.8）有3个零点:

当⑺［二时，函数〃（工）在（0・・，）有2个零点.

x«-I<x<0

10.【答案】（1）解：因为/（K）在R上是奇函数，当x<0时，/（«）=

-a'・x4-l

所以/(I)/(I),即-"r,解得aa；

(2)解：当0<K<I时，-|<-x<0,/(-x)=-.r,

又因为，（工）是有函数，所以/（工）二J

当M21时，，(7)一-/,

又因为/(K)是奇函数，则/")-/，

因为/("是定义R上的奇函数，则，(0)二0，

所以/(K)h,、］；

c.xNl

(3)解：若“＜1,则由/(士)=4(8)，得》・不，且0＜马《1，

e

所以。/('、)'';

若贝岫/(占)=4(8)，得/■口,,而d2e，K＜e,

所以等式不成立.

若1$外＜/，则由/(.0)=，川、)，得小■eM，,即今■»♦1,且马21,

所以.1,/(V.)-一c-;,

综上，超/E)的取值范围是(@)卜＞二，♦『).

11.【答案】(1)因为/(1)+/(-1)=0

所以ln(m+2)In?*ln|-ni•2)-Ini-0

所以ln|4"r)=ln3得〃/乂州＜0，所以

所以/(*=ln(x+二)ln(x+2)

/(i)为奇函数

证明如下:

-x+2>0

因为所以-2<x<2

“♦2>0

所以函数“n的定义域为(2.21

\什€(2,2)都有-xwl2.2)

/(-x)=ln(x+2)-ln(-x-»-2)=-[ln(-x4-2)-ln(x42)]=-/(x)

所以“11为奇函数

(2)g(v)=ln(-2I*2)-»n(2,+2)+ln(2'+r)W-21+2>a2'+2>0,21+T>0

因为函数X(i)有零点

所以则2r2)ln(2'+2jTn(2；2")=O有根

2,4.2a4

所以2"二:---2*=———1-2f=———2'+2・3

-2Q2-2，+2-2、2

令…2,24)<2'<2Q<2-2'<2得0<，<2

所以2"=4T34)</<2

t

令力⑺=：1-3,07<2,2)在区间(0,2)上单调递减.

所以可，)>：♦?3=1

所以2">1得”>0

综上，o的取值范围是(0,*，)

12.【答案】(1)依题意可得，函数/(l)=ln(c'-l)+m为偶函数，则有/(v)=f(x)

又/(-x)=ln(c'4-l)-/n,v=ln(e*+l)-lne<-imr

所以ln(c­I)Inc,"ixIn|c'•I)•na

K|J2mxIner

解得m='

(2)当m>0时.由=+11♦〃八易知/U)=ln(c'•II一〃i,在R卜为增

函数，且“0)=hi2

又因为/(g(r))=ln2,所以*(工)二0

g（x）=4（lcg.x『♦log,l+X-2

xm

二（hgM'.|°g产♦二一2

m

因为/（*口））-卜2在区间［1・4］上恰有1个实数解，即为“:0在区间［I用上恰有1个实数解,

令log【x=h，w［（X2］

g"）=0在区间［1封上恰有1个实数解，等价于/T*Z-2=0在区间［同

m

上怡有1个实数解，即八一=2-2在区间［IS］上恰有1个实数解，

m

令人（，）=/・，•

结合图形易知力⑺在［口1］单调递减，在二2单调递增.，中）-广，在区间［I用上的值域为

因为M«）=2・2（例》0）在区间［1,4］上恰有1个实数解，所以2・2=・?或0<2・2«2

mw4m

g

解得“I;或m>l

Q

所以｛"，"1>1或m（）：

13.【答案