第二章 28-高考语文总复习资料-高考数学

§2.8函数与方程

最新考纲考情考向分析

利用函数零点的存在性定理或函数的图象，

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方对函数是否存在零点进行判断或利用零点（方

程根的联系，判断一元二次方程根的存在性程实根）的存在情况求相关参数的范围，是高

及根的个数.考的热点，题型以选择、填空为主，也可和

导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.

基础知识自主学习

—回扣基础知识训练基础题目一

F知识梳理

1.函数的零点

（I）函数零点的定义

函数）=右）的图像与横轴的交点的撞坐标称为这个函数的零点.

（2）几个等价关系

方程氏t）=0有实数根＜=＞函数产,"）的图像与x轴有交点今函数y=/lr）的零点.

（3）函数零点的判定（零点存在性定理）

若函数），=凡0在闭区间［小上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即

•4”）贸〃）＜0,则在区间④份内,函数），=JU）至少行一个零点，即相应的方程凡、）=0在区间

（a,h内至少有一个实数解.

2.二次函数）=加+/*+00）的图像与零点的关系

J>0J=0J<0

F|v

二次函数旷=加+力X\/\/

/X\lJ卜/

+c（a＞0）的图像V申自；

与工轴的交点（肛0）,（%式））无交点

零点个数210

【知识拓展】

有关函数零点的结论

（I）若连续不断的函数共月在定义域上是单调函数，则人工）至多有•个零点.

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有困数值保持同号.

(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

r基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)函数的零点就是函数的图像与X轴的交点.(x)

(2)函数)，=/5)在区间(小公内有零点(函数图像连续不断)，则加)贸力<0.(X)

(3)二次函数)，=0?+6+《。工0)在庐一4ac<0时没有零点.(J)

(4)")=f，g(x)=2*，/i(x)=log2X,当x£(4,+8)时，恒有/?(x)、")vg(x).(V)

题组二教材改编

2

2.函数人冷=加x—：的零点所在的大致区间是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.Q，1)和(3,4)D.(4,+8)

答案B

解析V/(2)=ln2-l<0,.A3)=ln3-|>0

且函数人工)的图像连续不断，凡T)为增函数，

・\向的零点在区间(2,3)内.

3.若函数_/(x)=3x—7+lnx的零点位于区间(小"+1)(〃£N)内，则〃=.

答案2

解析由于ln2<lne=l,所以火2)<0,_/(3)=2+ln3,由于ln3>l,所以区3)>0,所以函数

段)的零点位于区间(2,3)内，故〃=2.

4.函数贝1)=工!一(}>的零点个数为.

答案1

解析作函数和)个二七)的图像如图所示，

由图像知函数,/U)有1个零点.

题组三易错目纠

5.已知函数人上)=尤一gCv)=x+e\/?Cr)=x+lnx的零点分别为X”及，由，则()

A.X!<.V2<.V3B.X2<JC\<X3

C.A'2<A'3<¥|D.Xy<X\<X2

答案C

解析作出y=x与)2=一。，，”=-Inx的图像如图所示，可知选C.

2x-],xW1,

6.已知函数儿0=,工，'、\则函数人外有______个零点.

1+lOg2A',-t>l,

答案1

解析当时，由儿。=2，-1=0,解得x=0；

当X>1时，由贝X)=l+lOg2A=0,解得X=:,又因为X>l,所以此时方程无解.综上函数J(X)

只有1个零点.

7.函数Kt)=or+1—%在区间(一1J)上存在一个零点，则实数。的取值范围是.

答案0

解析•・•函数凡目的因像为直戋，由题意可得

/.(—3。+1)•(1—a)vO,

解得；<a<l,

・♦.实数a的取值范围是G，1)

题型分类深度剖析

--------------------------------------------真题典涯深度剖析亶点解点多维探究—

题型一函数零点所在区间的判定一-自主演练

1.设7U)=lnx+x—2,则函数贯x)的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案B

答案c

解析因为函数凡X)是定义域为R的奇函数，所以<0)=0,即0是函数«r)的一个零点，

当x>0时，令凡0=c'+x—3=0,则(^=—X+3,

分别画出函数V=e"'和"=-x+3的图像，如图所示，两函数图像有一个交点，所以函数

人工)有一个零点，

根据对称性知，当x<0时函数式幻也有一个零点.

综上所述，的零点个数为3.

思维升华函数零点个数的判断方法

(1)直接求零点;

(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；

(3)利用函数图像的交点个数判断.

A2+A—2»xWO,

跟踪训练⑴函数/(幻=…八的零点个数为()

[―l+lnx,x>0

A.3B.2

C.7D.0

答案B

解析方法一由«i)=0得

xWO,A>0,

或

f+x—2=0[—1+ln.r=O,

解得x=-2或A=e.

因此函数人箝共有2个零点.

方法二函数凡t)的图像如图所示，由图像知函数｛v)共有2个零点.

(2)函数负x)=2*ogo.H-1的零点个数为

答案2

解析由於）=0,得|logosd=（。,

作出函数yi=|logo5vl和.V2=（3）的图像，

由上图知两函数图像有2个交点,

故函数Ar）有2个零点.

多维

题型三函数零点的应用探'究

命题点I根据函数零点个数求参数

典例已知函数yU）=M+3x|,若方程贯幻一。卜一1|=0恰有4个互异的实数根，则实

数a的取值范围是.

答案（0,1）U（9.48）

解析设'=段）="+3*，）2=小一1|,

在同一直角坐标系中作出》=£+3川，”=,心一1|的图像如图所示.

由图可知.Ax）—a|x—1|=0有4个互异的实数根等价于》=*+3㈤与、2="仅一1|的图像有4

个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,

y=—X2—3x,

所以有两组不同解,

消去），得f+（3—。）X+。=0有两个不等实根,

所以/=（3—幻2—44>0,即1一10。+9>0,

解得“<1或a>9.

又由图像得。>0,0<a<I或a>9.

引申探究

本例中，若J（x）=〃恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是

解析作出巾=|r+3x|,yi=a的图像如图所示.

39

--

24

由图像易知，当yiuH+B川和的图像有四个交点时，0<tz<j.

命题点2根据函数有无零点求参数

典例(1)若函数段)=3内+1—2a在区间(-1,1)内存在一个零点，则〃的取值范围是()

A

B.

C.f—1，7)D.(—00,—I)

答案B

解析当4=0时，/U)=l与X轴无交点，不合题意，所以。K0;函数a。=3d+1—2a在

区间(-1,1)内是单调函数，所以/(—即(5a—1)(〃+1)>0,解得a<—1或

0,xWO,

⑵已知函数人)=/八则使函数4x)=7(x)+x—，〃有零点的实数，〃的取值范围是()

e,.xX)t

A.[0,1)B.(一8,1)

C.(一8,1]U(2,+8)D.(一8,O]U(1,4-oo)

答案D

解析函数g(x)=/(x)+%一用的零点就是方程x=妁根，画出fi(x)=/(x)+x=

x,xWU,

的大致图像(图/

观察它与直线y=/〃的交点，得知当或/〃>1时，有交点，即函数gC0=/(x)+x—有

零点.

命题点3根据零点的范围求参数

典例若函数段)=(利一21+磔+(2〃?+1)的两个零点分别在区间(一1,0)和区间(1,2)内，则机

的取值范围是.

mW2,

解析依题意，结合函数贯x)的图像分析可知/〃需满足</(一1)水))<0,

川)贝2)<0,

，〃工2,

即，\m~2—/〃+(2m+1)](2/〃+1)<0,

[m-2+m+(2〃?+1)][4(利-2)+2m+(2机+1)]<0,

解得；</舄.

思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法

(I)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

⑵分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数再结

合求解.

跟踪训练(1)方程10gJa-2x)=2+x有解，则。的最小值为.

2

答案I

解析若方程10g1(a-2')=2+x有解，则Q)2+x=a_2x有解，即氐；>+2'=。有解，因为《

2

6)+2、>1,故a的最小值为1.

[2V-I,x>0,

(2)已知函数凡x)=J、'八若函数g(x)=/(x)-m有3个零点，则实数机的取值

I—xr—2x,xWO,

范围是.

答案(0,1)

2V-1,x>0,

解析画出函数yu)=

由于函数g(x)=y(x)—m有3个零点，结合图像得即切£(0,1).

-----------------■思想方法■-----------------

利用转化思想求解函数零点问题

X2—I.A<1,

典例(1)已知函数凡到=|(旭|小若关于x的方程八1)=攵有三个不同的实根，则实

2

数k的取值范围是.

(2)若关于X的方程2法+2%+“+1=0有实根，则实数。的取值范围为.

思想方法指导(I)的数零点个数可转化为两个曲数图像的交点个数，利用数形结合求解参数

范围.

⑵%=/5)有解”型问题，可以通过求函数)，=;"•)的值域解决.

解析(】)关于1的方程#x)=2有三个不同的实根，等价于函数?=凡0与函数片=&的图像

有三个不同的交点，作出函数的图像如图所示，由图可知实数2的取值范围是(一10).

户+I

(2)由方程，解得4=一1+],设，=2P>0),

=2—[0+1)+本，其中

由基本不等式，得(/+1)+磊"22啦，

当且仅当/=也一1时取等号，故〃或2-2册.

答案⑴(-1,0)(2)(—8,2-2^2]

课时作业

V基础保分练

1.设函数凡r)=e、+x—4,则A0的零点位于区间()

A.(—1,0)B.(0,1)

C.(1,2)D.(2,3)

答案C

解析/(l)=e+l-4=e-3<0,/(2)=e2+2-4=e2-2>0,11加2)<0.故J(x)的零点位于区间

(1,2).

2.已知〃是函数«x)=2"-log1x的零点，若O<xo<«，则凡⑹的值满足()

2

A.人即)=0B.y(xo)>O

C."o)vOD.4项)的符号不确定

答案C

解析九。在(。，+8)上是增函数，若OWoVa,

则/沏)领。)=0.

2

3.函数大外=2，一：一4的一个零点在区间(1,2)内，则实数〃的取值范围是()

A.(1,3)B.(1,2)

C.(0,3)D.(0,2)

答案C

解析因为凡r)在(0,+8)上是增函数，则由题意得人1).42)=(0—。)(3—。)<0,解徉0<〃<3,

故选C.

1»xWO,

4.已知函数/(幻={1则使方程x+yu)=〃?有解的实数，〃的取值范围是()

、x

A.(1,2)

B.(-8,-2]

C.(一8,1)U(2,+8)

D.(一8,]]U[2,+8)

答案D

解析当xWO时，x+/m)="h即x+l=〃?，解得“Wl；当工>0时，x+J(x)=m,即x+；=

解得口22,即实数6的取值范围是(一8,1]U[2,4-oo).故选D.

5.(2017•山东)已知当x£[O,l：时，函数y=(mx—l)2的图像与y=f+m的图像有且只有一

个交点，则正实数机的取值范围是()

A.(0,1]52小，+8)B.(0J]U[3,+8)

C.(0,也]U[2小，+8)D.(0,也[U[3,4-~)

答案B

解析在同一直角坐标系中，分别作出函数/U)=("?x—1)2="*大-g?与g(x)=5+〃i的大

致图像.

分两种情形：

(2)当m>\时，0<5<1，如图②，要使与g(x)的图像在[0,1]上只有一个交点，只需

g(l)W<1),即〃-1)2,解得，"与3或〃?WO(舍去).

综上所述，小£(O1]U[3,+e).

故选B.

6.函数次幻=入一111(%+1)—1的零点个数是.

答案2

解析函数,/(x)=x—ln(x+l)-l的零点个数，即为函数yi=ln(x+l)(x>—I)与了2=工一

-1)图像的交点个数.

在同一坐标系内分别作出函数)，i=ln(x+I)*>—I)与”=工-13>—I)的图像，如图所示.

由图可知函数./U)=x-hi(x+1)—1的零点个数是2.

7.若函数4r)=f+«x+〃的两个零点是一2和3,则不等式aJ(-2x)>0的解集是

答案｛x|-1<x<l]

解析Vy(x)=A-24-av+/?的两个零点是一2,3.

—2,3是方程x2+at+/>=0的两根，

—2+3=­a,

由根与系数的关系知

-2X3=8L.

.卜=一八

"/?=—6,

-'•fix')=A2—x—6.二•不等式q/(-2v)>0,

即一(4.1+标-6)>002?+3-3<0,

解集为一去x<l>.

2'-“，xWO,

8.若函数J(x)=,有两个不同的零点，则实数。的取值范围是________.

\nx,x>0

答案(0,1]

解析当<>0时，由yu)=in)=o,得x=i.因为函数yu)有两个不同的零点，则当xWo时，

函数"幻=2、一〃有一个零点，令人幻=()得a=2',因为0<2'W2°=l,所以(XaWl,所以实

数。的取值范围是04W1.

9.定义在R上的奇函数风()满足：当.00时，,/U)=2015'+1隼2。1封，则在R上，函数凡。

零点的个数为.

答案3

解析因为函数人x）为R上的奇函数,

所以40）=0,当xX）时，1Ax）=2015、+log2oM在区间（0,爹宗）内存在一个零点，又风丫）

为增函数，

因此在（0,+8）内有且仅有一个零点.

根据对称性可知函数在（一8,0）内有且仅有一个零点，

从而函数人X）在R上的零点个数为3.

10.在平面直角坐标系X。），中，若直线y=2a与函数丁=打一〃|一1的图像只有一个交点，则

。的值为.

答案V

解析函数y=|x—a|—1的图像如图所示，因为直线）=勿与函数y=|x—。|一1的图像只有

一个交点，故2a=-1,解得。=一；.

11.关于x的二次方程『十（咕-1）工+1=0在区间［0,2］上有解，求实数，〃的取值范围.

解显然x=0不是方程『+5—1>+1=0的解，

0<tW2时，方程可变形为1—〃?=x+5，

又・・j，=x+《在（0,1］上是减少的，在［1,2］上是增加的，

・・.y=x+/在（0,2］上的取值范围是|2,+8）,

1—m^2,/.—1,

故小的取值范围是（-8,-I］.

设函数人力=

12.1-7.V（x>0）.

（I）作出函数火幻的图像；

⑵当0<a<b且%）=他）时,求5+1的值;

（3）若方程凡r）=/〃有两个不相等的正根，求小的取值范围.

解（1）如图所示.

--1,A€(0,1］,

I人

⑵•・/#==<

］一7，x£(l,+8),

人

故负幻在(0,1］上是减函数，而在(1,+8)上是增函数.

由Q<a<b且/(〃)=胆)，得0<a<\<b且］-1=1-力•，+'=2.

(3)由函数凡丫)的图像可知，当0<切<1时，方程/(x)=/〃有两个不相等的正根.

V技能提升练

13.若定义在R上的偶函数J(x)满足JU+2)=Ar),且当x£［0二］时，人幻=心则函数y=/(x)

一10g3|x|的零点有()

A.多于4个B.4个

C.3个D.2个

答案B

解析因为偶函数人幻满足人才+2)=人幻，故函数的周期为2.当x£［0,l］时，/U)=x,故

当x£［—1,0］时，4。=一尤函数y=凡”一Iog3|x|的零点的个数等于函数y='/U)的图像与函数

y=logsWI的图像的交点个数.在同一个坐标系中画出函数)=_/>力的图像与函数y=log3|.v|的

图像，如图所示.

显然函数y=_/(x)的图像与函数y=log3H的图像有4个交点，故选B.

14.已知“X)