高考数学总复习《椭圆》专项测试卷及参考答案

高考数学总复习《椭圆》专项测试卷及参考答案

学校:进级：姓名：考号：

一、单项选择题

1.若椭圆f+的焦点在），轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则〃?的值为（）

1

AiB

人•4D・2

C.2D.4

2.（2023・湖南长沙模拟）椭圆山一32+），-42+由+32+y+42=26的短轴长为（）

A.10B.12

C.24D.26

3.如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（）

C.坐D.当

?2

4.（2024・四川资阳模拟）如图所示，椭圆，+§=1（。＞2）的左、右焦点分别为人，尸2,过人的直线交椭

圆于N两点，交），轴于点，，若为，〃是线段MN的三等分点，则的周长为（）

C.2小D.4小

5.（2024•山东聊城模拟）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做

椭圆的蒙日圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根.设椭圆C的焦点

为吊，。为椭圆C上的任意一点，R为椭圆C的蒙日圆的半径，若两序的最小值为料则椭网C

的离心率为（）

第1页共12页

A.；B.乎

〃\n_A/3

C,3D.3

6.（2024•广东东莞模拟汜知凡，F?分别为椭圆C:1320）的左、右焦点，过H且垂直于x

轴的直线/交椭圆C于A,B两点,若△A2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为（）

A.f+f=lB.f+f=l

2222

CjjD工+J

J16+4-U,16+9-1

7.设椭圆C:，+£=1（»力〉0）的左、右焦点分别为丹，%,离心率为一乎，。是C上一点，且KP

_LP2P.若△户居死的面积为4,则。=（）

A.1B.2

C.4D.8

8.（2024•广西柳州、梧州大联考）已知产是椭圆C：»1的右焦点，P为椭圆。上一点,A（l,2<2）,

则照|+|四的最大值为（）

A.472B.4小

C.4+2取D.4+2小

72

9.已知椭网C：卷+]=1的左、右焦点分别为长，r2,点M在椭圆。上，当的面积最大时,

的内切圆半径为（）

A.3B.2

C.1D.

二、多项选择题

10.2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进

入以火星星球球心口为一个焦点的椭圆轨道I（环火轨道）绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问

一号”探测器成功实施第三次近火制动，在夕点第二次变轨进入仍以厂为一个焦点的椭圆轨道I【（火星停泊

轨道），旦测得该轨道近火点机千米，远火点〃千米，火星半径为「千米，若用2□和2c2分别表示椭圆轨道

【和I【的焦距，用20和2s分别表示椭圆轨道I和11的K轴K,则下列结论正确的是（）

第2页共12页

A.0+。1=。2+。2

B.

C.椭圆轨道II的短轴长为2yjm+rn+r

D.Cl2C\<a\C2

H.数学家称今，为黄金比，记为心定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比。，则称该椭圆为“黄

金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆%+方=13＞/»。）与它的焦点圆

在第一象限的交点为Q,则下列结论正确的有（）

A./2+(0=I

B.黄金椭圆的离心率e=s

C.设直线OQ的倾斜角为〃，则sin〃=s

D.交点。的坐标为s,“份

三、填空题与解答题

12.（2024•山东济宁第一中学质量检测）如图，椭圆£+£=1（公上＞0）的右焦点为匕过尸的直线交椭圆

于A,B两点,点C是4点关于原点。的对称点，若且C/=48,则椭圆的离心率为

13.（2024•河北平顶山模拟）已知椭圆C的一个焦点为尸（0,1〕，椭圆C上的点到尸的距离的最小值为1,

则椭圆C的标准方程为；若P为椭圆C上一动点,M（3,3），则|PM—IPQ的最小值为

1V?

14.已知椭圆C：系+乒=1（心历＞0）,焦点"一。,0）,尸2（c,0）,左顶点为A,点E的坐标为（0,c）,点A

到宜线EFi的距离为乎无

⑴求椭圆。的离心率;

（2）若P为椭圆。上的一点，且NRPF2=6（）。，△PFE的面积为小，求椭圆C的标准方程.

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高分推荐题

15.（多选）（2024・山东方岛模拟）已知椭网C：f+f=l的左、右焦点分别是Q,加）为椭网。

上一点，则卜.列结论正确的是（）

A.的周K为6

V15

B.

的面积为2

C.的内切网的半径为一争

32

D.△MFE的外接圆的直径为十

解析版

一，单项选择题

I.若椭圆*+/町2=1的焦点在），轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则〃?的值为（）

A.7B.1

4

C.2D.

£

1=

解析：将原方程变形为f+-

/«

由题意知。2=5，b2=l,；・a=7^,b=\.

2.（2023・湖南长沙模拟）椭圆产河二了+在手诟不=26的短轴长为（）

A.10B.12

C.24D.26

第4页共12页

解析：由题意，得

2。=26,

2C=^/-3-324--4-42,

a=13,

解得《则〃=12,2b=24.故选C.

1。=5,

答案：C

3.如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该嘀圆的离心率为（)

A.坐

D近

C.坐L*•2

解析：设圆柱的底面半径为1,则椭圆的短半轴长为1,长轴长为石缶=华，即长半轴长为¥，所

AI

以半焦距为牛，故离心率为了

答案：B

92

4.（2024・四川资阳模拟汝口图所示，椭网出+宁=1（*2）的左、右焦点分别为Q,尸2,过人的直线交椭

圆于V,N两点，交），轴于点〃，若为，〃是线段MV的三等分点，则△为MN的周长为（）

A.20B.10

C.2小D.475

解析：・；RH=HN,OF\=OFz,：,OH〃FN,:2,工可得的,§丁・•防为的中点，，易

得，一2c,一§,将点M代入椭圆方程，即*+§=1,即4/+1=层，.・.b2=a2-c2=3c2+l=4,.,.「2

=1,:.a=#,.•.△F2MN的周长为4a=4小.

答案：D

5.（2024.山东聊城模拟）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做

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椭圆的蒙日圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根.设椭圆C的焦点

为品，&,p为椭圆c上的任意一点，R为椭圆C的蒙日圆的半径，若另I•能的最小值为京2,则椭圆。

的离心率为（）

A.1B.乎

C.1D.

22

解析：设椭圆方程为%+白=13>/»0）,由题意得距=/+尻设尸丁），FI（GO）,F2（-C,O）,则用序

=f+y2-d=『+（b2-g号一，=步+/一22・,•当x=0时，加户户2有最小值后一2上（当椭圆焦点在y

轴上时，同理可证）••・42—2/=/，+从）=/242—°2）,即/=%==解得e=~或舍去）.故选

D.

答案：D

6.（2024.广东东莞模拟）已知Q,B分别为椭圆C:，+£=1（〃>/»（））的左、右焦点，过月且垂直于x

轴的直线/交椭圆C于4，8两点，若△ABB是边长为4的等边三角形，则椭圆。的方程为（）

A.f+^=lB.卷+着=1

C-^+4=|D-^+9=|

解析：如图所示，是边长为4的等边三角形，

.-.|AF2|=4,|AFI|=||AB|=2,

2a=|AFi|4-IAF2I=6,，a=3.

乂丁IBBl=2c=yl\AF2\2—\AF\\2

=2小，:.。=木,

222

则b=a-c=6t故椭圆C的方程为看+*=1.故选B.

答案：B

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7.设椭圆C：宗+£=13*0）的左、右焦点分别为%,离心率为亭，。是C上一点，且QP

_LF2P.若△。居入的面积为4,则。=（）

A.1B.2

C.4D.8

解析：•*=干，，3〃2=4上由椭圆定义可得|PQ|+|P3|=2a由尸得|PB|2+|PB|2=QC）2,

又△△产内的面积为4,则3尸川・|尸/引=4,即|尸FMPF¥=8,・・・（|尸氏|+|尸尸2|）2—2|尸产小|尸尸2|=4/,即4/

—16=3«2,则/=16,解得a=4.故选C.

答案：C

8.（2024.广西柳州、梧州大联考）已知户是椭圆C:]+5=l的右焦点，P为椭圆C上一点,4（1,2回

则照I+IP/1的最大值为（）

A.472B.4小

C.4+2巾D.4+2小

_____72

22

解析：由题意可得，4=2,b=小，c=yja-b=\f则椭圆C：1的右焦点为尸（1,0）.

•••；+2变=浮1,二点41,2也）在椭圆外.

设椭圆C的左焦点为「（-1,0）,连接（图略），

则IP尸|+仍网=4,即|P4=4一|PF1,

故照|+|PF|=|以|+4一|PF].

•：\PA\-\PF\<\AF'\=2小，当点。为A广的延K线与椭圆的交点时取等号,

・・・|以|+仍广|"+2小.

故|%|+俨网的最大值为4+2小.故选D.

答案：D

9.已知椭圆C・25十9=1的左、右焦点分别为K,3,点M在椭圆C上，当△MQE的面积最大时,

△〃修用的内切圆半径为（）

A.3B.2

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C.3D.

x2

解析：因为椭圆为25+9=l>所以。=5,b=3,c=后'=4.当△MF1F2的面积最大时，点M为

椭圆C短轴的顶点，不妨设点M为椭圆。的上顶点，点。为坐标原点，△MFiB的内切圆半径为r,则|MFi|

114

=|MBI=〃=5,|「但|=2。=8,|0M|=〃=3,5皿丐尸2=受（阳川+眼尸2|+|"尸2|"=习尸1尸2卜|0必，所以「=?

故选D.

答案：D

二、多项选择题

10.2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务',天问一号''探测器在火星附近一点P变轨进

入以火星星球球心尸为一个焦点的椭圆轨道I（环火轨道）绕火星飞行，2021年2月24口6时29分，“天问

一号”探测器成功实施第三次近火制动，在尸点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道H（火星停泊

轨道），且测得该轨道近火点，〃千米，远火点〃千米，火星半径为「千米，若用2口和2c2分别表示椭圆轨道

I和II的焦距，用20和2色分别表示椭圆轨道I和H的长轴长，则下列结论正确的是（）

A.ai+C|=42+C2

B.a\—ci=a2~C2

C.椭圆轨道II的短轴长为2业?+巾+『

D.aic\<a\C2

解析：由已知得b\>bifC1>C2,.*.ai+ci>«24-C2,故A错误；\PF\=a\-c\=a2—cif故B正确;

轨道II的短轴长为2左=2y/ai—d=2y］（12—52+c?=23i+s+r,故C正确；由m一口=s-c?得m

+c2=s+ci,两边平方，得加+c9+2aiC2=a9+c?+2a2Ci,即Z?T+2«iC2=bi+laic1,由于力＞岳＞。，故屏〉庆，

...aiGVoci,故D错误.故选BC.

答案：BC

H.数学家称与。为黄金比，记为“，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比/，则称该椭圆为''黄

金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆5+%=13＞外0）与它的焦点圆

在第一象限的交点为Q,则下列结论正确的有（）

A.①2+s=1

B.黄金椭圆的离心率e=Q）

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C.设直线。。的倾斜角为仇则sin®=。

D.交点。的坐标为S,sb）

,-I±V5b小一1c

解析:方程①-+①一1=0的根为（o=-2-，故A正确；由题意可知，二=-2~=①，则e=a=

=、，［-公2=夜如故B错误；易知QQ_LQ”2,旦NQFTF2=*,则|Q”2l=2c-sin*|Q尸i|=2c・cos所

。Ca

即

・+

以1。~1+1。乃1=2c(sin?+cosn一COS2--两边平方，可得sin0+1=㈤2=篇

sl2C

币+1小+1、疗一1

=-5-»Wsin0=---I=-—=3,故C正确；由C知sin9=s,所以tan件s,故D错误，故选

AC.

答案：AC

三、填空题与解答题

?7

12.（2024•山东济宁第一中学质量检测）如图，椭圆£+1=1（公功>0）的右焦点为匕过尸的直线交椭圆

于A,R两点,点C是4点关于原点。的对称点，若。产_1_人"且。产=八用则椭圆的离心率为.

则三角形A8广为等腰直角三角形，

设A尸=A8=x（x>0）,贝Ux+x+Vlt=4a,

解得％=（4—2吸）〃，则AF=（2小-2）%

22

在RtZ\AQ中，由勾股定理得（A/y+s/^nQcy,所以［（4一2小）。产+［（2y/2-2）a］=（2c）f得/

=9—6^/2,所以e=#一小.

答案：#一小

13.（2024•河北平顶山模拟）已知椭圆C的一个焦点为RO』j,椭圆C上的点到尸的距尚的最小值为1,

则椭圆C的标准方程为；若〃为椭圆C上一动点,“（3,3）,则IPM-IPQ的最小值为.

解析：因为椭圆C的一个焦点为F（01）,所以椭圆C的焦点在轴上，且c=L

第9页共12页

因为椭圆C上的点到尸的距离的最小值为1,所以。一。=1,得0=2.

因为〃=，一/=3,所以椭圆C的标准方程为%方=1.

。，2二，

将M(3,3)代入椭圆方程，得彳+；=否＞1,所以点M在椭圆外.

如图所示，设椭圆C的另一个焦点为尸(0,-D,

则IPQ+IP尸|=4,

所以|PMTPF1=IPM+|PF'|-4.

当卜"，P,M三点共线时，IPM+IP可取得最小值，且最小值为|M〃|=]3—。2+3+12=5,

所以IPMTPQ的最小值为1.

答案:f+j=l1

14.已知椭圆C:，+卡=1(4*0),焦点R(-c,0),尸2(G0),左顶点为A,点E的坐标为(0,C),点A

到直线EFz的距禽为乎4

(1)求椭圆。的离心率;

(2)若P为椭圆。上的一点，且NQPB=60。，△尸凡匕的面积为＜3,求椭网。的标准方程.

解：(1)由题意，得4一a0),直线的方程为x+.y=c

因为点A到直线EF2的距离为乎b,

13rt1-1®

即---------=F-b,

<i+i2

所以“+c=4b,即(〃+c)2=3庐，又Z?2=〃—天,

所以(a+c)2=3(〃2—C?),所以2c2+67C—«2=0,

因为离心率6=泉