-第二章-第3讲-函数的奇偶性与周期性-配套课件

第3讲函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性的定义f(－x)＝－f(x)(1)对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有(或)，则称f(x)为奇函数.奇函数的图像关于对称.f(－x)＋f(x)＝0原点(2)对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

则称f(x)为偶函数.偶函数的图像关于(或,

轴对称.f(－x)＝f(x)f(－x)－f(x)＝0)y第一页，编辑于星期六:七点

二十八分。

(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称). 2.函数的周期性的定义

对于函数f(x)，如果存在一个每一个x值，都满足 ,使得定义域内的,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的.周期

非零常数Tf(x＋T)＝f(x)第二页，编辑于星期六:七点

二十八分。

)B1.对于定义域是R的任意奇函数f(x)有(A.f(x)－f(－x)＝0 B.f(x)＋f(－x)＝0C.f(x)·f(－x)＝0 D.f(0)≠02.若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则不等式f(x－1)<0的解集是()CA.{x|－1<x<0}B.{x|x<0或1<x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|1<x<2}第三页，编辑于星期六:七点

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3.设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y＝f(x)的图像关于直线x＝3对称，则下面正确的结论是()CA.f(1.5)＜f(3.5)＜f(6.5)B.f(3.5)＜f(1.5)＜f(6.5)C.f(6.5)＜f(1.5)＜f(3.5)D.f(3.5)＜f(6.5)＜f(1.5)4.函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的奇偶性是.偶函数5.设函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)为奇函数，则a＝.0第四页，编辑于星期六:七点

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考点1判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；第五页，编辑于星期六:七点

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＋.(6)f(x)＝

x2x－1x2

解题思路:依照定义判断函数的奇偶性，要先考查函数的定义域．

解析:(1)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，对称于原点． ∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|

＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数． (2)函数定义域为R.第六页，编辑于星期六:七点

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∴f(x)为偶函数.方法二:先化简:为偶函数;从这可以看出，化简后再解决要容易得多． (3)去掉绝对值符号，根据定义判断．故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x＋2＞0,从而有第七页，编辑于星期六:七点

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1－(－x)21－x2∴f(－x)＝－x＝－x＝－f(x),故f(x)为奇函数.(4)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0).当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0).故函数f(x)为奇函数.第八页，编辑于星期六:七点

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(5)此函数的定义域为{1，－1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称、又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数.第九页，编辑于星期六:七点

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(1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D，则x∈D时－x∈D)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件;(2)分段函数的奇偶性一般要分段证明;(3)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式．

【互动探究】

义域均为R,则()BA.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数第十页，编辑于星期六:七点

二十八分。

考点2利用函数的奇偶性求函数的表达式

例2:设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)

＝

，那么当x∈(－∞，0)时，求f(x)解析式．

解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0.

第十一页，编辑于星期六:七点

二十八分。

【互动探究】2.(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2,则x≤0时,f(x)＝;f(x)＝x2＋x (2)已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数.当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝.考点3函数奇偶性与单调性的综合应用

例3:已知奇函数f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，若f(m－1)＋f(2m－1)>0，求实数m的取值范围．f(x)＝－x－x4第十二页，编辑于星期六:七点

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∴2>1－2m>m－1>－2，解得∴实数m的取值范围是

解题思路：欲求m的取值范围，就要建立关于m的不等式，可见，只有从f(m－1)＋f(2m－1)>0出发，利用f(x)的奇偶性和单调性将外衣“f”脱去．解析：∵f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴对任意x∈(－2,2)有f(－x)＝－f(x)．由条件f(m－1)＋f(2m－1)＞0，得f(m－1)>－f(2m－1)＝f(1－2m)，∵f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，第十三页，编辑于星期六:七点

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利用函数的奇偶性，可以求关于原点对称区间上的函数的表达式．

【互动探究】 3．偶函数f(x)(x∈R)满足:f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3,＋∞)上分别递减和递增,则不等式xf(x)<0的解集为()A.(－∞，－4)∪(4，＋∞)C.(－∞，－4)∪(－1,0) B.(－4，－1)∪(1,4)D.(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)

解析:由已知条件通过f(x)(x∈R)的草图得知函数f(x)(x∈R)的值在(－∞，－4)，(－1,1)，(4，＋∞)上都为正，在(－4，－1)，(1,4)上为负，故不等式xf(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．D第十四页，编辑于星期六:七点

二十八分。

错源:没有考虑定义域例4:判断函数f(x)＝(1＋x)

的奇偶性.

误解分析：对函数奇偶性定义实质"函数的定义域关于原点对称”理解不全面．这是函数具备奇偶性的必要条件．正解:f(x)＝(1＋x)有意义时,必须满足1－x1＋x≥0⇒－1<x≤1，即函数的定义域是{x|－1<x≤1}，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．

纠错反思:在处理函数的任何问题时，都要树立定义域优先的意识．第十五页，编辑于星期六:七点

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【互动探究】4．给出四个函数:①y＝lg1－x ;②y＝lg(1－x)－lg(1＋x);1＋x③y＝lg[(x＋1)(x－1)];④y＝lg(x＋1)＋lg(x－1),其中奇函数是,偶函数是.①②③

例5：已知函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2－2x－1. (1)若f(x)为R上的奇函数，求f(x)的解析式; (2)若f(x)为R上的偶函数，能确定f(x)的解析式吗？请说明理由．第十六页，编辑于星期六:七点

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解析：(1)当x>0时，f(x)＝x2－2x－1.设x<0，则－x>0，有f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，∵f(x)为R上的奇函数，f(－x)＝－f(x)，∴x<0时，f(x)＝－x2－2x＋1.当x＝0时，f(0)＝f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.

(2)若f(x)为R上的偶函数，不能确定f(x)的解析式，因为不知f(0)的结果．第十七页，编辑于星期六:七点

二十八分。

＝－.【互动探究】解析:由f(x＋2)＝

1f(x)得f(x＋4)＝

1f(x＋2)＝f(x),所以f(5)＝f(1)＝－5,则f[f(5)]＝f(－5)＝f(－1)＝

1f(－1＋2)15.第十八页，编辑于星期六:七点

二十八分。

关于周期函数的几种判定方法： (1)对于函数f(x)定义域中的任意的x，总存在一个常数T(T≠0)，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则T是函数y＝f(x)的一个周期; (2)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期; (3)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期;

1f(x)(a≠0),则T＝2a是它 (4)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－的一个周期;第十九页，编辑于星期六:七点

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1f(x)(a≠0),则T＝2a是它的 (5)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝一个周期;(6)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝1－f(x)1＋f(x)(a≠0),则T＝2a是它的一个周期; (7)若函数y＝f(x)(x∈R)的图像关于直线x＝a