河北省NT20名校2026届高三上学期入学摸底考试数学试卷（含解析）

河北省NT20名校2026届高三上学期入学摸底考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若,则()A. B. C. D.2．已知集合,,则()A. B. C. D.3．样本数据15,12,10,27,26,22,16,34的第分位数是()A.22 B.24 C.25 D.264．已知空间向量与共线,则()A. B. C. D.15．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍,该圆锥的表面积为,则圆锥的母线长为().A.2 B. C. D.36．若,则()A. B. C. D.7．若,则n的值为()A.12 B.5 C.12或5 D.3或58．2025年2月13日,《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天,票房成功突破百亿,成为中国影史首部票房破百亿（全球票房）的影片后,哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里,哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗.此时,每次挥动混天绫,哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步.有的概率向后退一步,且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5次时,他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为()A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列命题正确的有()A.一条直线和一个点确定一个平面B.直线l与平面垂直,在平面内存在无数条直线与直线l相交C.直线l与平面相交,平面内存在无数条直线和直线l异面D.平面与平面垂直,若直线l与平面垂直,则直线l与平面平行10．函数的图象与直线恰有2个交点,则k的可能取值有(

)A. B. C.1 D.11．已知是椭圆与双曲线的公共焦点,点P是两曲线的一个交点,,分别为,的离心率,则()A. B.C.是直角三角形 D.是个定值三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数（a为常数）,若为的一个极值点,则__________.13．设为等差数列的前n项和,,,则__________.14．有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取4次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望__________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知中,,.（1）求;（2）设,点M是线段上靠近点C的三等分点,求的长度.16．（15分）已知函数.（1）当时,求函数的单调区间;（2）当恒成立时,求实数a的取值范围.17．（15分）如图,四棱锥中,平面,底面四边形为正方形,,点E、F分别为棱BC、CD的中点.（1）证明:平面;（2）求平面与平面夹角的正弦值.18．（17分）比利时数学家G.F.Dandelin在1822年提出了一个模型,用以证明一个平面截圆锥,得到的截面是椭圆.在圆锥内放入两个大小不同的内切球,,使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切,平面与圆锥侧面的交线为椭圆,两个球与平面的切点,为此椭圆的两个焦点,这两个球也称为Dandelin双球,下图是该模型的轴截面图.在平面与圆锥侧面的交线上取任意一点A,过点A的母线分别与球,相切于两点,已知图中球,球的半径分别为2和6,球心之间的距离为.经计算得,两点之间的距离为4,以直线为x轴,在平面内,以线段的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.（1）说明平面与圆锥侧面的交线为椭圆,并求椭圆的标准方程;（2）已知点,过右焦点的直线l与椭圆交于M,N两点,与直线交于点Q,是否存在实数,使得.19．（17分）甲､乙两人参加射击比赛,规则如下:每轮由1人射击两次,若全中则此轮的射击者赢得比赛,比赛结束,否则进行下一轮射击,由另外的人射击两次,如此类推.经过抽签,第1轮甲射击,已知甲､乙每次射击命中的概率分别为,p,各次射击互不影响.（1）若,记X为比赛结束时的轮数,证明:;（2）若,记事件“比赛在第i轮时未结束”,“甲赢得比赛”,（i）写出与的关系式并求;（ii）求.（参考:对于任意,当n趋于无穷大时,）参考答案1．答案：D解析：由等式两边同乘以i得.去括号化简得故选:D.2．答案：B解析：因为或,又,则.故选:B3．答案：D解析：将数据按由小到大重新排序:10,12,15,16,22,26,27,34,共8个样本数据,计算,因为5.6不是整数,所以取大于5.6的最小正整数6就是重新排序后的分位数的位置,即第分位数是重新排序后的第6个数26.故选:D.4．答案：C解析：因为空间向量与共线,所以,解得,,所以.故选:C5．答案：A解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则,可得,圆锥的表面积为,,可得,.故选:A.6．答案：C解析：由.故选:C7．答案：B解析：由组合数的性质可得,解得,又,所以或,解得（舍去）或.故选:B8．答案：A解析：设哪吒向前走的步数为X,依题意,.当哪吒挥动混天绫5次时,他位于比初始位置更靠近敖丙1步,即哪吒向前走了3步,向后退了2步,根据二项分布概率公式,有.故选:A.9．答案：BC解析：对于A,当点在直线外时,直线与该点可确定一个平面,当点在直线上时,直线与该点不能确定一个平面,故A错误;对于B,平面内所有过垂足P的直线均与l相交于I,这样的直线有无数条,B正确;对于C,设直线l与平面的交点为P,平面内所有不经过点P的直线都与直线l异面,这样的直线有无数条,故C正确;对于D,直线l还有可能在平面内,D错误.故选:BC.10．答案：AD解析：函数,与直线恰有2个交点,也就是方程,有2个解,即,的图象与直线有两个交点,画出,与直线的图象如下图:因为,由图象可知或,所以或.故选:AD.11．答案：ACD解析：选项A,因为,有公共的焦点,得,即,又,,所以可得.故A正确;选项B,因为,有公共的焦点,可得,,,得,即,故B错误;选项C,因为,有公共的焦点,可得,不妨设点P在第一象限,由椭圆和双曲线的定义得,,,所以,,,,所以,故是直角三角形,故C正确;选项D,因为,有公共的焦点,可得,,,因此,故D正确.故选:ACD.12．答案：解析：,,函数在处有极值,,,,经检验成立.故答案为:.13．答案：解析：因为是等差数列,所以,所以,又因为,所以,所以.故答案为:14．答案：解析：随机变量表示事件“只有1个小球至少被抽取一次”,即四次抽取的都是同一个编号的小球.因此我们只需确定第一次抽取的是哪个编号的小球即可,故;随机变量“表示事件有2小球至少被抽取一次”,即四次一共抽取了两个不同编号的小球.因此我们先确定是哪两个编号,假如是,则包含的基本事件有,故;随机变量表示事件“有3个小球至少被抽取一次”,即四次一共抽取了三个不同编号的小球.因此我们先需确定是哪三个编号,假如是,则包含基本事件有,故;随机变量表示事件“有4个小球至少被抽取一次”,即四次一共抽取了四个不同编号的小球,故;因此.故答案为:15．答案：（1）（2）解析：（1）由题意可得,,且,所以,即,在中,,可化为,由,得,代入,化简后得,即,所以,所以.（2）解法一:由（1）可得,,,,且,点M是靠近点C的三等分点,对于,,,,利用余弦定理可知,故.解法二:由（1）可得,,,,且,则有,,又,所以,即的长度为.16．答案：（1）单调递减区间为,无单调递增区间（2）解析：（1）当时,,,令则,设,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减.,,所以函数的单调递减区间为,无单调递增区间.（2）因为,,所以.设,则,设,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减.,所以实数a的取值范围是17．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明:在正方形中,E、F分别为棱BC、CD的中点,,,,..又平面,平面,又平面（2）由题可知SB,BA,BC两两垂直,以点B为原点建立如图所示空间直角坐标系.不妨设,,,,,,,,设平面的法向量,得,令,则是平面的一个法向量.设平面法向量为,,得,令,则是平面的一个法向量平面与平面夹角的正弦值为18．答案：（1）说明见解析,（2）存在实数,使得解析：（1）根据轴截面图,设与的交点为G,由圆的切线长定理,知,过作,垂足为H,则四边形为矩形,即.由可得,任意点A满足由椭圆的定义,知平面与圆锥侧面的交线为以,为焦点的椭圆.由此可得椭圆的长轴为,焦距为,,,所以椭圆的标准方程为:（2）如图,因,,可知直线l的斜率必存在.①当直线l的斜率为0时,方程为,则,,,由,得,解得②当直线l的斜率不为0时,设方程为,则设,,由,消去x,整理得,,,,由,得,又,代入上式得,解得,综上所述,存在实数,使得.19．答案：（1）证明见解析（2）（i）答案见解析;（ii）解析：（1）表示第1轮甲射击没有全中,则,,故每一轮,甲乙射击没有全中的概率均为,故表示前n轮射击没有出现全中,则,同理知,所以;（2）（i）解法一:甲在奇数轮时射击,乙在偶数轮数时射击,记事件“甲两次射击没全中”,事件“乙两次射击没全中”,则,当i为偶数,第轮由甲射击,发生等价于发生且甲两次射击没全中,即,又各次射击互不影响,与C独立,所以①,当i为奇数,第轮由乙射击,同理②,由①②知,当i为奇数时,.所以当i为奇数时是首项为,公比为的等比数列,.当i为偶数,,综上知,解法二:甲在奇数轮时射击,乙在偶数轮数时射击,记事件“甲两次射击没全中”,事件“乙两次射击没全中”,则,,当i为偶数,第轮由甲射击,由全概率公式知.在甲两次射击没全中的前提下比赛在第轮未结束等价于比赛在第轮