湖南省永州市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2与8的等差中项为(

)A.3 B.4 C.5 D.62.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(1,0)，则p=(

)A.12 B.1 C.2 D.3.已知直线l的方程为5x−y+5=0，则直线l在x轴上的截距为(

)A.1 B.−1 C.5 D.−54.已知直线l1：x+y−2=0和直线l2：mx+2y+4=0，若l1⊥lA.−2 B.1 C.2 D.45.空间四面体OABC中，D为BC的中点，且OA=a,OB=bA.−a+12b+12c6.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1，AB=BC，AB⊥BC，EA.AC B.A1C C.AB7.已知数列{an}的通项公式为an=ncos(n−1)π，Sn为其前A.1012 B.−1012 C.1013 D.−10138.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，M为E右支上一点，MF2的垂直平分线过点FA.2 B.2 C.3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间向量a=(−2,−1,1),b=(3,4,5)，下列结论正确的是A.a⋅b=5

B.|a+b|=35

C.若m=(4,2,k)，且m//a，则k=−2

D.若直线l10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0,a1A.2a3=a1+a5 11.已知曲线Ω：x2+y2=|x|+|y|(x2+y2≠0)，点A.点(1,0)在Ω上

B.Ω围成的图形面积为π+2

C.|a+b+3|的最小值为2

D.若x<0，y>0，则5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.双曲线x2−y2=1的渐近线方程为13.已知数列{an}的通项公式为an=1(3n−2)(3n+1)，其前n项和为S14.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，|AB|=1，点O为正方体表面上一动点，若(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知(0,0)，(4,0)，(1,−1)三点在圆C上．

(1)求圆C的方程；

(2)求直线l：x+y−1=0被圆C截得的弦AB的长．16.(本小题15分)

已知数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，a1=1，a5=13，Sn=2bn−1．

(1)求17.(本小题15分)

四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2,PE=λPB,AF=λAC(0<λ<1)．

(1)当λ=12时，求平面EAC18.(本小题17分)

椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过点F斜率存在且与x轴不重合的直线l交E于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′；当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的一个顶点．

(1)求E的标准方程；

19.(本小题17分)

抛物线C：y2=2px(p>0)上有一系列点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，…，Pn(xn,yn)，…，对于所有正整数n，以点Pn为圆心的圆Pn与y轴相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切.已知y1=2，点1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】CD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】y=±x

13.【答案】41314.【答案】4

15.【答案】解：(1)已知(0,0)，(4,0)，(1,−1)三点在圆C上，

设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

将三点坐标分别代入，得方程组F=016+4D+F=02+D−E+F=0，

解得D=−4，E=−2，F=0，

则圆C的方程为x2+y2−4x−2y=0；

(2)由(1)知圆C方程可化为标准方程为：(x−2)2+(y−1)2=5，

根据点到直线的距离公式可得：

圆心C(2,1)到直线l：x+y−1=0的距离为d=|2+1−1|2=216.【答案】解：(1)数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，a1=1，a5=13，

设数列{an}的公差为d，有a5=1+4d=13，得d=3，

所以an=1+3(n−1)，得an=3n−2，

因为Sn=2bn−1，所以b1=S1=2b1−1，得b1=1，

当n>1时，Sn−1=2bn−1−1，有bn=Sn−S17.【答案】解：(1)由题意可知，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，

当λ=12时，E，F分别为PB，AC的中点，则E(1,0,1)，

∴AE=(1,0,1)，AC=(2,2,0)，AP=(0,0,2)

设平面EAC的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥AEn⊥AC，所以n⋅AE=x+z=0n⋅AC=2x+2y=0，

令x=1，则z=−1，y=−1，即n=(1,−1,−1)，

由题知AP=(0,0,2)是平面ABCD的一个法向量，

则|cos<AP,n>|=|AP⋅n||AP|⋅|n18.【答案】解：(1)当直线l斜率为1时，直线l方程为x−y−1=0，令x=0得y=−1，

所以椭圆的下顶点坐标为(0,−1)，

故b=c=1，a=c2+b2=2，

所以椭圆E的标准方程为x22+y2=1．

(2)证明：由题，设直线l方程为x=my+1(m≠0)，

如图，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A′(x1,−y1)，

联立x=my+1x22+y2=1，消去x得(m2+2)y2+2my−1=0，

则Δ=4m2+4(m2+2)>0，

所以y1+y2=−19.【答案】解：(1)抛物线C：y2=2px(p>0)上有一系列点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，…，Pn(xn,yn)，…，

对于所有正整数n，以点Pn为圆心的圆Pn与y轴相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切，

y1=2，点P1到C的准线的距离为2，0<yn+1<yn，记圆Pn的面积为Sn．

∴点P1的坐标为(2p,2)，

而抛物线准线方程为x=−p2，则2p+p2=2，

解得p=2