福建省三明市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省三明市2025-2026学年高一上学期期末数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即，解得，所以，又，所以.故选：C.2.已知角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当角的终边在第二象限时，有，所以，充分性成立；反之当时，角可能在第二或者第四象限，必要性不成立；故选：A.3.若关于的不等式的解集为，则（）A.5 B.1 C.-1 D.-5【答案】D【解析】关于的不等式的解集为，则是方程的两个根，根据韦达定理可知，解得.故选：D.4.已知，则的值为（）A.45 B. C. D.【答案】B【解析】因为，又因为，所以，所以.故选：B.5.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，即，所以，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；当时，，即，因此，故排除A.故选：D.6.已知，若，则的值为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由诱导公式可得，根据同角三角函数关系得，因为且，故为第一象限角，因此，，，，故选：C.7.记函数．已知函数，，若函数恰有2个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为单调递减，单调递增，故单调递减，存在唯一使，当时，，当时，，要恰有2个零点，则：在有1个零点，在有1个零点，对：，有零点需，即，零点为，需满足，对：，总有零点，零点为，需满足，代入满足的等式：，即，（因为），所以，所以所以结合得，所以的取值范围是.故选：D.8.已知函数的图象过点，对任意且，都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，而，则，，由对任意，都有，得函数在上单调递减，当时，，而余弦函数的单调递减区间为：，则，于是，解得，显然，即，而，因此，故，由题知，故.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（）A.若，则B.若函数，则C.若一扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为6D.若命题“”为真命题，则实数的取值范围是【答案】ABD【解析】选项A：因为，又因为，所以，，所以，即.故A正确.选项B：令，则，即，将代入中，得到，故B正确.选项C：因为弧长，圆心角，所以，解得，又因为扇形的面积公式，故C错误.选项D：因为“”为真命题，则一元二次方程有实数解，所以，解得，所以实数的取值范围是，故D正确.故选：ABD.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（）A.函数的最小正周期B.是函数的一个对称中心C.函数在区间上的值域为D.将函数的图象向左平移后得到的图象，则【答案】AD【解析】由图，，所以，所以，图象经过点，代入解析式得，所以，解得，又，所以，所以，对于A：由上分析可知，A正确；对于B：将代入解析式，得，正弦函数的对称中心是其函数值为0的点，B错误；对于C：因为，所以，当，即时，取得最小值，C错误；对于D：将函数的图象向左平移后得到，则，D正确；故选：AD.11.定义在上的函数满足，且当时，，则（）A.的周期为2B.C.有个不同的零点D.若A、B是钝角三角形的两个锐角，则【答案】AC【解析】对于选项A：，故周期，故A正确；，当，则，故，故当，，；当，，；对于选项B：当，，而，故B错误；对于选项D：因为A，B为钝角三角形的两个锐角，故，则.有，函数在上单调递增，所以，故D错误.对于选项C：由A的分析可得的图像如图所示，而的零点个数即为的解的个数，也就是图像交点的个数，在同一坐标系中画出的图像，由图可得两个图像交点的个数为6，故C正确.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知幂函数在单调递减，则___________．【答案】【解析】因为是幂函数，所以系数必须为，则，即，解得或，幂函数在上单调递减，要求指数，所以不满足，舍去，满足，符合条件.因此，.故答案为：.13.已知，则___________．【答案】【解析】由题意得，即，（若，则，与矛盾，故.）所以两边同除以：，所以，即，又因为，代入和：所以.故答案为：.14.若函数在定义域内存在，满足，则称函数为局部奇函数．已知函数是定义在上的局部奇函数，则实数的取值范围为___________．【答案】【解析】根据“局部奇函数”定义知：有解，即方程有解，则，即有解；设，则（当且仅当时取等号），方程等价于在时有解，令，对称轴为，当时，则，解得，故；当时，则，即，故，综上，，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知全集，集合，集合．（1）求集合；（2）若集合，满足，求实数的取值范围．解：（1）因为，，所以或，所以，.（2）由（1）知，当时，则有，即，当时，则有，即，即，综上所述，实数的取值范围为.16.已知函数．（1）求函数的单调递减区间和对称轴；（2）设，求使成立的的取值集合．解：（1）由，解得：，所以的单调递减区间为；由，解得：，所以的对称轴方程为.（2）由题意得，，由可得：．所以．解得：，所以使成立的的取值集合为．17.已知函数的图象经过和两点．（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意可知，解得，所以，易知的定义域为关于原点对称，因为，，所以函数是偶函数.（2）当时，恒成立，即对恒成立，即对恒成立，设，易知函数在上单调递减，故的最大值为，要使不等式恒成立，需，故．即的取值范围.18.某科研单位研制出一种空气净化剂，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克／立方米）随着时间（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于40毫克／立方米时，它才能起到有效净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时长能否达到4小时？并说明理由；（2）若第一次喷洒4个单位的净化剂，2小时后再喷洒1个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为毫克／立方米，其中．①求的表达式；②求第二次喷洒后的4小时内空气中净化剂浓度的最小值．解：（1）由题意可得，一次喷洒4个单位的净化剂，空气中释放的浓度，当时，由，得，当时，由，得，得，所以，∴.因为，所以，所以一次喷洒4个单位的净化剂，有效净化时长不能达到4小时．（2）①当时，第一次喷洒的4个单位的净化剂，小时后空气中净化剂的浓度为，第二次喷洒的1个单位的净化剂，小时后空气中净化剂浓度为，两次喷洒后空气中净化剂浓度为，当时，两次喷洒后空气中净化剂浓度为，所以，②当时，，当且仅当，即时取等号，当时，，此时在上单调递减，所以的最小值为，综上所述，第二次喷洒后的4小时内空气中净化剂浓度的最小值为22毫克／立方米19.设函数．（1）求证：；（2）分别求和时函数的最小值；（3）当时，求函数的最小值