甘肃省嘉峪关市酒钢三中2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省嘉峪关市酒钢三中2025-2026学年高一下学期4月期中试卷第I卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A3.设，复平面内表示复数的点在直线上，则（）A. B. C. D.【答案】B4.如图，在底面为正方形的平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】C5.在正方形中，为的中点，若，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】B6.假设某美妙声波的传播曲线可用函数来描述，则该声波函数的最大值和最小正周期分别是（）A. B.C. D.【答案】C7.已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B8.如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（）A.5 B.10 C.13 D.26【答案】C二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法中，正确的是（）A.任意单位向量的模都相等B.若，是平面内的两个不同的点，则C.若向量，，则D.零向量与任意向量平行【答案】AD10.已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】ABC11.欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A. B.为纯虚数C.复数的模长等于 D.的共轭复数为【答案】ABC第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，与夹角是，则__________．【答案】13.已知，则__________．【答案】14.表示虚数单位，则__________.【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模.【答案】解：（1），是纯虚数，，且，.（2）..16.已知向量，，.（1）若，求实数，的值；（2）若，求与的夹角的余弦值.【答案】解：（1）由,得,即,解得.（2）,.因为,所以,即.令,则.17.在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．【答案】解：（1）因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.18.已知点，，为坐标原点，函数.（1）求的解析式及最小正周期；（2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积.【答案】解：（1），，，则的最小正周期.（2），，，，则或，或；当时，，，，，，，又为的角平分线，，，，，；当时，，，，为的角平分线，，在中，由正弦定理得：，，在中，由正弦定理得：，，.综上所述：的面积为或.19.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且．（1）求的值；（2）证明：；（3）若，求的值．【答案】解：（1）延长交于点，由于点是的重心，可得，所以．（2）证明：因为点是的重心，所以，故，由欧拉线定理