小学六年级数学《构建模型 溯本求源-已知比一个数多（少）几分之几的数是多少求这个数》教案

小学六年级数学《构建模型溯本求源——已知比一个数多（少）几分之几的数是多少求这个数》教案一、教学内容分析【基础】本节课是人民教育出版社出版的义务教育教科书《数学》六年级上册第三单元《分数除法》中的第六课时，教学内容为“解决问题（二）”，具体对应教材第36页的例5及相关的“做一做”。在此之前，学生已经学习了分数乘法的意义及解决问题、倒数的认识、分数除法的计算以及“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的简单分数除法解决问题。本节课是学生在掌握了上述知识的基础上，进一步学习稍复杂的分数除法解决问题，即“已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数”。这类问题在结构上比简单问题更为复杂，数量关系更为隐蔽，是小学阶段分数应用题教学的重中之重，也是难点所在。【重要】从知识体系来看，本节课的内容不仅是对分数除法意义的深化应用，更是后续学习百分数解决问题、比和比例应用题的重要基石。它承载着培养学生分析数量关系、构建数学模型、发展逻辑推理能力的重要任务。通过本节课的学习，学生将进一步体会分数除法的现实意义，掌握用方程和算术方法解决稍复杂分数问题的策略，感受“数形结合”和“转化”的数学思想方法，为今后解决更加复杂的实际问题打下坚实的基础。【难点】本节课的核心难点在于引导学生正确理解“比一个数多（或少）几分之几”的含义，能够准确地判断单位“1”的量，并理清题目中各种数量之间的内在联系，从而正确地写出等量关系式。特别是当单位“1”未知时，如何引导学生利用方程“顺向思考”的优势来列式，是突破难点的关键。二、学情分析【基础】六年级的学生已经具备了一定的抽象逻辑思维能力，但依然需要感性材料的支持。在知识储备上，学生已经熟练掌握了分数乘法的意义和计算方法，能够解答“求一个数的几分之几是多少”的简单乘法问题，也刚刚学习了“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的简单除法问题，对于利用线段图分析数量关系有了初步的尝试。这为学习本节课的稍复杂问题提供了必要的知识基础和方法铺垫。【重要】然而，本节课的问题情境发生了显著变化，从直接的“一个数的几分之几”转变为间接的“比一个数多（或少）几分之几”。这种表述上的变化会让学生对单位“1”的判定、对比较量的构成产生困惑。学生容易受思维定势的影响，简单地套用前一节课的方法，直接用除法进行计算，而忽略了题目中隐含的“多（或少）的部分”。因此，教学中需要特别注重引导学生对关键句进行分析和转化，将“比一个数多（或少）几分之几”转化为“一个数的几分之几是多少”，打通新旧知识之间的联系。三、教学目标设计1.【基础】知识与技能目标：使学生理解和掌握“已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数”的分数除法应用题的解题思路和解题方法。能熟练地列方程解答这类问题，并掌握检验方法。2.【重要】过程与方法目标：通过创设情境，引导学生经历从现实问题中抽象出数量关系的过程。借助画线段图分析题意，培养学生运用“数形结合”思想解决问题的能力。通过对比、分析，让学生体会方程法的顺向思维优势，并能根据数量关系选择适合自己的解题方法。3.【核心素养】情感态度与价值观目标：在解决实际问题的过程中，体验数学与生活的紧密联系，感受数学模型的力量。培养学生独立思考、合作交流的学习习惯，激发学生探索问题、解决问题的兴趣，建立学好数学的自信心。四、教学重难点1.【重点】掌握“已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数”这类问题的解题方法，特别是列方程解答的方法。2.【难点】准确分析题中的数量关系，能够根据关键句列出正确的等量关系式。3.【关键】教会学生运用画线段图的方法，直观地表示出数量之间的关系，帮助学生理解“多（或少）的部分”与单位“1”及比较量之间的关系。五、教学准备多媒体课件、课堂练习单。六、教学过程设计（一）复习铺垫，以旧引新首先，课件出示一道复习题，请学生独立思考并解答。复习题：六一儿童节，小明得到了35元零花钱，他买课外读物花去了零花钱的五分之三。小明买课外读物花了多少钱？【基础】学生独立完成后，指名汇报。教师提问：这道题中，谁是单位“1”？你能说出题目中的数量关系式吗？预设学生回答：单位“1”是小明的总零花钱数。数量关系式是：总零花钱数×五分之三=买课外读物花的钱。教师追问：这道题是用什么方法计算的？为什么？预设学生回答：用乘法。因为是求一个数的几分之几是多少。教师总结：这是我们之前学习过的“求一个数的几分之几是多少”的问题，单位“1”已知，直接用乘法计算。接着，教师对复习题进行改编，出示新问题。改编题：六一儿童节，小明买课外读物花了21元，正好是他零花钱总数的五分之三。小明一共有多少零花钱？【重要】引导学生对比这道题与上一题有什么不同。预设学生回答：上一题已知总数，求部分；这一题已知部分，求总数。教师提问：现在谁是单位“1”？这个单位“1”是已知的还是未知的？你能写出等量关系式吗？预设学生回答：单位“1”还是总零花钱数，但现在是未知的。等量关系式依然是：总零花钱数×五分之三=买课外读物花的钱。教师引导学生思考：单位“1”未知，我们可以用什么方法来解答？预设学生回答：可以用方程，设总零花钱数为x元；也可以用除法，21÷五分之三。【基础】学生尝试解答后，教师小结：这就是我们上节课学习的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的简单分数除法问题，我们可以用方程顺向思考，也可以根据除法的意义直接用除法计算。【设计意图：通过两道紧密相连的复习题，帮助学生唤醒对“求一个数的几分之几”和“已知几分之几求总数”这两类基本问题的记忆，巩固了寻找单位“1”和分析数量关系的方法，为新知的探究搭建了坚实的“脚手架”，实现知识的正迁移。】（二）创设情境，探究新知1.【基础】呈现例题，阅读与理解课件出示教材第36页例5：小明的体重是35千克，他的体重比爸爸的体重轻十五分之八，小明爸爸的体重是多少千克？教师引导学生认真读题，并思考：你从题中获得了哪些数学信息？要求的是什么问题？预设学生回答：已知小明的体重是35千克，还知道他比爸爸轻十五分之八，要求爸爸的体重。【难点聚焦】教师抓住关键句“他的体重比爸爸的体重轻十五分之八”进行提问：“轻十五分之八”是什么意思？这里是把谁看作单位“1”？引导学生讨论交流，明确：“轻十五分之八”是指在爸爸体重的基础上，小明的体重比爸爸少了爸爸体重的十五分之八。因此，这里是把“爸爸的体重”看作单位“1”。2.【难点突破】分析与解答——画图理解，构建模型（1）引导画图：教师启发：这道题的数量关系比较复杂，为了更清楚地表示出爸爸体重和小明体重之间的关系，我们可以借助什么办法？预设学生回答：画线段图。【重要】教师引导学生尝试画线段图：“我们应该先画表示哪个数量的线段？为什么？”（先画单位“1”，即爸爸的体重）“然后把爸爸的体重平均分成多少份？”（因为是轻十五分之八，所以平均分成15份）“小明的体重怎么画？”（小明的体重比爸爸轻十五分之八，也就是比15份少了8份，所以小明体重相当于这样的158=7份。因此，画表示小明体重的线段时，长度应该与爸爸体重的7份相等。）（2）展示交流：请一名学生在黑板上板演画图过程，其余学生在练习本上画。教师巡视指导，找出典型的作品进行展示和点评。最终师生共同形成规范的线段图：爸爸的体重：||||||||||||||||单位“1”，平均分成15份小明的体重：||||||||比爸爸轻十五分之八，相当于爸爸体重的(18/15)=7/15实际重量35kg（3）看图列式，找出等量关系：【核心环节】引导学生对照线段图，说一说线段图的每一部分表示什么，并尝试写出等量关系式。教师启发：看着线段图，你能发现爸爸的体重和小明的体重之间有什么等量关系吗？学生小组讨论，教师参与其中，引导学生从不同角度思考。预设学生可能得出以下几种等量关系：关系一：爸爸的体重×(1十五分之八)=小明的体重关系二：爸爸的体重×十五分之八=小明比爸爸轻的部分爸爸的体重小明比爸爸轻的部分=小明的体重（4）列方程解答：【重点强调】教师引导：在这个问题中，单位“1”是爸爸的体重，它是已知的还是未知的？（未知的）对于单位“1”未知的情况，我们通常可以采用什么方法来解决？（列方程）教师板书示范，以第一种等量关系为例，列方程解答：解：设小明爸爸的体重是xkg。x×(1八分之一)=35x×十五分之七=35x=35÷十五分之七x=35×七分之十五x=75答：小明爸爸的体重是75千克。教师追问：如果利用另外两种关系，方程应该怎么列？引导学生列出：x八分之一x=35或八分之一x=x35等，并简要分析。（5）回顾与反思：【高频考点】教师引导学生对计算结果进行检验。检验方法一：看小明的体重是否比爸爸轻十五分之八。(7535)÷75=40÷75=十五分之八，符合题意。检验方法二：看小明的体重是否为爸爸体重的十五分之七。35÷75=十五分之七，而1十五分之八=十五分之七，符合题意。教师总结：通过检验，说明我们的解答是正确的。在解决这类问题时，画线段图能帮助我们清晰地分析数量关系，而用方程解答则能让我们顺着题意，直接利用等量关系列出算式，是一种非常有效的解题策略。【设计意图：本环节是新知探究的核心。通过“阅读分析—画图理解—建立关系—列式解答—回顾检验”五个步骤，层层递进，将学习的主动权交还给学生。特别是数形结合思想的运用，将抽象的分数关系直观化，有效突破了难点。同时，方程的引入，顺应了学生顺向思维的认知规律，降低了思维难度，并为后续学习打下基础。】（三）变式练习，深化模型1.【重要】教学“少几分之几”向“多几分之几”的变式。教师将例题中的条件“轻十五分之八”改为“重十五分之八”，形成新问题。问题：小明的体重是35千克，他的体重比爸爸的体重重十五分之八，小明爸爸的体重是多少千克？（1）引导学生思考：“重十五分之八”又是什么意思？单位“1”变了吗？（2）让学生独立画线段图，尝试找出等量关系，并列出方程。（3）组织学生交流汇报。预设线段图：爸爸的体重是单位“1”，平均分成15份，小明的体重比爸爸重了这样的8份，所以小明的体重相当于爸爸的(1+8/15)=23/15。等量关系：爸爸的体重×(1+十五分之八)=小明的体重方程：解：设爸爸的体重为x千克。(1+8/15)x=352.【热点】对比归纳，总结方法。教师引导学生将例题和变式题进行对比，思考以下问题：（1）这两道题有什么相同点和不同点？（2）解决这两类问题的关键是什么？师生共同总结：相同点：单位“1”都是未知的，都可以用方程来解决。不同点：一个是“比单位‘1’少几分之几”，另一个是“比单位‘1’多几分之几”。在列式时，要根据“多”或“少”的情况，正确地用“1”加上或减去那个几分之几。【重要】解题关键：第一，找准单位“1”；第二，将“比单位‘1’多（或少）几分之几”转化为“单位‘1’的几分之几”；第三，根据“单位‘1’的量×对应分率=比较量”这一基本模型列方程解答。【设计意图：通过正反例的变式训练，让学生在比较中进一步内化数量关系，深刻理解“多（或少）几分之几”的本质，从而将解题思路从特殊推广到一般，建立起稳固的数学模型，避免了机械记忆和生搬硬套。】（四）巩固练习，内化提升1.【基础】基本练习：教材第36页“做一做”。小亮的体重是35千克，他爸爸的体重是105千克。小亮的体重比爸爸的体重轻几分之几？（这道题是对新知的反向运用，从求比较量变为求分率，旨在进一步巩固对“多（少）几分之几”意义的理解。引导学生先找准单位“1”，再计算相差的重量占单位“1”的几分之几。）2.【重要】对比练习：（1）一台电视机原价2500元，现价比原价降低了五分之一，现价是多少元？（2）一台电视机现价2000元，比原价降低了五分之一，原价是多少元？引导学生独立分析，明确第（1）题单位“1”已知，用乘法；第（2）题单位“1”未知，用方程或除法。3.【难点】综合练习：武汉长江大桥全长约1670米，它的长度比武汉长江隧道的2倍还多590米。武汉长江隧道长约多少米？（这是一道将分数知识与整数倍进行整合的题目，旨在锻炼学生从复杂信息中提取核心数量关系的能力。引导学生找到关键句，并尝试用方程解决。等量关系：隧道长×2+590=大桥长）【设计意图：练习的设计层次分明，由浅入深。基本练习关注概念的本质理解，对比练习强化了乘除法应用题的辨析，综合练习则拓展了学生的思维，体现了数学知识的融会贯通。通过多层次的练习，让不同水平的学生都能获得成功的体验，并在原有基础上得到发展。】（五）课堂总结，反思收获教师引导学生回顾本节课的学习过程：1.【基础】今天我们学习了什么内容？它和我们上节课学习的分数除法问题有什么不同？2.【重要】在解决“已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数”的问题时，我们是按照怎样的步骤来进行的？你觉得最关键的一步是什么？3.【核心素养】我们用了什么方法帮助我们分析数量关系？（画线段图）用了什么方法帮助我们列式计算？（列方程）预设学生总结：步骤：一审（读懂题意），二找（找准单位“1”），三画（画线段图），四建（建立等量关系），五解（列方程解答），六验（检验结果）。关键是找到单位“1”并写出等量关系式。教师对学生的总结给予肯定和补充，并强调“数形结合”和“转化”思想在数学学习中的重要性。【设计意图：课堂总结不仅是对知识的回顾，更是对学习过程和数学思想方法的提炼。引导学生自己总结，有助于将零散的知识点系统化，将习得的方法内化为自己的能力，培养学生的元认知能力。】七、板书设计解决问题（二）——已知比一个数多（少）几分之几求这个数【线段图】（此处用板书画出例题和变式题的线段图，清晰标注单位“1”、各部分量和关系）【等量关系式】（核心）单位“1”