云南省保山市腾冲市第八中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷（含解析）

腾冲市第八中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点的直线l与圆相切,则直线l的倾斜角为()A.30° B.60°或120° C.30°或60° D.30°或150°2．下列说法中,正确的是()A.过点且在x,y轴截距相等的直线方程为B.直线在y轴上的截距为C.直线的倾斜角为60°D.过点并且倾斜角为的直线方程为3．若一动圆的圆心在抛物线上,且动圆恒与直线相切,则此动圆必过定点()A. B. C. D.4．设向量,,不共面,则下列向量组可作为空间的一组基的是()A. B.C. D.5．若表示面积为的圆的方程,则实数a的值为()A.2 B. C.1 D.6．已知,,,若,且平面,则()A. B. C. D.7．已知实数x,y满足,其中,则实数的最小值为(

)A. B. C. D.8．已知A,B是椭圆上两点,,分别在C的左、右焦点,,,则C的离心率为(

)A. B. C. D.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知双曲线,则()A.C的焦点坐标为 B.C的渐近线方程为C.C的虚轴长为 D.C的离心率为10．已知直线,其中,则()A.直线l过定点B.当时,直线l与直线垂直C.若直线l与直线平行,则D.当时,直线l在两坐标轴上的截距互为相反数11．已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界）,且,,则(

)A.的面积恒为 B.存在,使得C. D.的取值范围是三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12．已知向量为平面的法向量,点在内,点在外,则点P到平面的距离为______.13．正四面体棱长为6,,且,以A为球心且半径为1的球面上有两点M,N,,则的最小值为__________.14．设,则直线与围成的三角形的面积的最大值为________.四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．的顶点A,B的坐标分别为.（1）求线段AB的中垂线在x轴上的截距;（2）若点C的坐标为,求垂心的坐标.16．如图，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.（1）求证：AO，BO，CO两两垂直.（2）求.17．已知直线l经过点.（1）若原点到直线l的距离为2,求直线l的方程:（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.18．在如图所示的几何体中,四边形是菱形,是矩形,平面,,,,E为的中点.（1）求证:平面;（2）求平面与平面夹角的余弦值.（3）在线段上是否存在点P,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.19．已知点P为椭圆上一动点,,为左右两焦点,点P到坐标原点的最大距离为,的最大面积为1.（1）求椭圆C的方程;（2）过动点P（不在坐标轴上）作圆的两条切线,切点分别为A,B,直线AB交椭圆于M,N两点,求的面积S的最大值.参考答案1．答案：B解析：由题知:直线存在斜率,设直线的方程为,圆心到直线的距离,解得,所以,,故或.故选:B2．答案：B解析：对于A,过点且在x,y轴截距相等的直线方程为或,故A不正确;对于B,,令,可得,所以在轴上的截距为,故B正确;对于C,,则,所以直线的倾斜角为,故C不正确.对于D,过点并且倾斜角为的直线方程为,故D不正确.故选:B3．答案：B解析：由题可知的准线为,焦点为.因为动圆的圆心在抛物线上,且动圆恒与直线相切,利用抛物线的定义可知,动圆的圆心到抛物线焦点的距离即为半径,说明了必定过抛物线的焦点.故选:B4．答案：C解析：A选项,由于与任意两个向量共面,不能作为基底;B选项,,故三个向量共面,不能作为基底;C选项,设,向量,,不共面,上式显然不成立,即与不共面,符合题意;D选项,,故三个向量共面,不能作为基底;故选:C.5．答案：B解析：方程表示圆,且圆的半径为1,可得,可得,解得,经检验,均符合题意.故选:B.6．答案：D解析：,,,则,解得,,平面,、平面,所以,,,则,解得,因此,.故选:D.7．答案：D解析：由已知可得,,则不等式为.作出可行域设,,则k表示可行域内的点与D点连线的斜率.由图象可知,直线斜率最小,的斜率最大.联立可得,,所以,.联立可得,,所以,.所以,.根据不等式的性质,可知,所以,.故选:D.8．答案：D解析：设,由椭圆的定义可得:,所以,因为,所以,所以,所以,化简可得:,解得:,所以,又因为,所以,所以故选:D.9．答案：CD解析：因为双曲线,则则焦点坐标为,故A错误;焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为,即,故B错误;双曲线虚轴长为,故C正确;离心率为,故D正确.故选:CD.10．答案：ABD解析：对于A,当时,,与a的取值无关,故直线l过定点,所以A正确;对于B,当时,直线l的方程为,其斜率为1,而直线的斜率为,所以当时,直线l与直线垂直,所以B正确;对于C,若直线l与直线平行,则,解得或,所以C错误;对于D,当时,直线l的方程为,横截距和纵截距分别是,1,互为相反数,所以D正确.故选:ABD11．答案：AC解析：由,可得,即,所以P在正六边形的对角线上运动,所以,所以的面积为定值,且,A正确;因为正六边形关于直线对称,所以不论P在何处,总有,B错误;根据图形的对称性,当P为的中点时,取到最大值,当P与B或E重合时,取到最小值,故的取值范围是,C正确;,的取值范围是,D错误.故选:AC.12．答案：或解析：依题意,,而平面的法向量为,所以点P到平面的距离.故答案:13．答案：50解析：因为正四面体的棱长为6,所以,同理可得,,又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M,N,,所以,由,则因为,所以当且仅当取等号,此时,所以,故的最小值为50.故答案为:50.14．答案：2解析：由题知直线,且直线过定点,直线过定点,点A,B在直线上.设直线交于P,则三条直线围成的三角形为,且,所以.因为,所以,当且仅当时,等号成立,所以,所以.故答案为:2.15．答案：（1）-3;（2）解析：（1）的顶点A,B的坐标分别为,AB的中点是,直线AB的斜率是,线段AB中垂线与线段AB垂直,线段AB中垂线的斜率是,线段AB的中垂线方程是,即,令,得,即线段AB的中垂线在x轴上的截距为-3;（2）,AB边上的高所在直线的斜率为,,AB边上的高所在直线的方程为,即x－3y=0,,AC边上的高所在直线的斜率为,,AC边上的高所在直线的方程为,即,联立和,得,,垂心的坐标为16．答案：（1）证明见解析（2）解析：设，，，正四面体的棱长为1，则，.（1），点D为的重心.，，，所以，所以，即.同理，，，所以AO，BO，CO两两垂直.（2），所以，又，，所以.又，所以.17．答案：（1）或（2）或解析：（1）当斜率不存在时,,符合题意;当斜率存在时,设,即,,解得:,或.（2）若直线过原点,设直线方程为,因为直线l经过点,所以,所以直线方程为,若直线不过原点,设直线方程为,因为直线l经过点,所以,所以直线方程为,直线或.18．答案：（1）证明见解析;（2）;（3）不存在点P使直线PE与平面MBC所成角为.理由见解析.解析：（1）因为四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,所以且,且,则且,所以四边形BCNM是平行四边形,设CM与BN交于F,则F是BN的中点.连接EF,又E是AB的中点,所以,又平面MEC,平面MEC,所以平面MEC.（2）连接DE,由四边形ABCD是菱形,,所以为正三角形,又E是AB的中点,得,即,因为平面ABCD,、平面ABCD,所以,建立如图空间直角坐标系D-xyz,则,,,,,得,,,设平面、平面MBC的一个法向量分别为、,则,令,得,令,得,,,得,又平面与平面MBC的夹角为锐角,平面与平面MBC所成角的余弦值为;（3）设,则,且,由（2）知平面MBC的法向量为,设直线PE与平面MBC的所成角为,则,所以,解得,不符合题意,在线段A