2026年湖南省苏教版初中数学下册第12章同步练习题

2026年湖南省苏教版初中数学下册第12章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在苏教版初中数学下册第12章中，关于二次函数y=ax²+bx+c的图像性质，下列说法正确的是（）A.当a>0时，函数图像开口向上，对称轴左侧函数值随x增大而增大B.当b=0时，函数图像必过原点，且顶点坐标为（0，c）C.函数图像与x轴的交点个数由判别式Δ=b²-4ac决定，Δ<0时无交点D.若函数图像经过点（1，1）和（-1，3），则b的值必为-1解析：选项A错误，对称轴左侧函数值随x增大而减小；选项B错误，b=0时c≠0时不过原点；选项C正确，Δ决定交点个数；选项D错误，代入两点可得a+c=1，a-c=3，解得a=2，c=-1，b=-4。2.对于第12章中抛物线y=-3(x-2)²+5的几何性质，下列描述不正确的是（）A.抛物线顶点坐标为（2，5），是函数的最小值点B.抛物线对称轴为直线x=2，关于此轴对称的两点距离相等C.抛物线与y轴的交点为（0，-11），与x轴的交点为（-1，0）和（5，0）D.函数在区间（-∞，2）上单调递增，在区间（2，+∞）上单调递减解析：选项C错误，与y轴交点为（0，-11），与x轴交点为（-1，0）和（5/3，0）；其他选项均正确。3.在12章“二次函数与几何图形”的综合应用中，已知矩形ABCD中AB=4，BC=3，点E为BC边中点，将△ABE沿AE翻折后点B落在点B'处，则B'E与对角线AC所成角的正切值为（）A.3/4B.4/3C.1/2D.2解析：翻折后B'E=BE=3/2，设B'E与AC交于点F，由对称性可知∠B'AF=∠BAF，∠B'FC=∠CFC，tan∠B'FC=B'F/FC。在Rt△ABC中，AC=5，tan∠BAC=BC/AB=3/4，∠BAC与∠B'AF互补，故∠B'FC=∠BAC，tan值为3/4。4.第12章中关于二次函数与一元二次方程的关系，下列说法正确的是（）A.二次函数y=ax²+bx+c的图像必与x轴有两个交点B.若方程ax²+bx+c=0有两个不等实根，则抛物线必与y轴相交C.抛物线y=x²-2x+1的顶点在直线y=x上D.函数y=-x²+x+1的对称轴与直线y=x垂直解析：选项A错误，Δ<0时无交点；选项B错误，与y轴交点为（0，1）；选项C正确，顶点（1，0）在直线y=x上；选项D错误，对称轴x=1/2，斜率为-1，与y=x斜率1不垂直。5.在12章“二次函数模型应用”中，某商场销售某种商品，日销售量y（件）与价格x（元）满足关系y=-2x²+60x-120，当销售单价x在什么范围内时，日销售利润最大？（）A.x=10元B.x=15元C.x=20元D.x=30元解析：利润函数为w=y(x-10)=-2x³+80x²-720x+1200，求导w'=-6x²+160x-720，令w'=0得x=10或x=12，二次导数w''=-12x+160，x=10时w''>0为极小值，x=12时w''<0为极大值，但12不在选项中，比较x=10和x=15，w(10)=200，w(15)=450，故x=15时利润最大。6.对于二次函数y=1/2(x+3)²-4，下列说法正确的是（）A.函数图像必经过点（-3，-4）B.函数的最小值为-4，无最大值C.对称轴为x=-3，图像开口向上D.函数在区间（-∞，-3）上单调递增解析：选项A正确，代入x=-3得y=-4；选项B正确，a=1/2>0，顶点为最小值；选项C正确，对称轴x=-3，a>0开口向上；选项D错误，在（-∞，-3）上单调递减。7.在12章“二次函数与不等式”中，解不等式(x-1)²-4<0的正确解集是（）A.x<-3或x>3B.-3<x<3C.x<-1或x>3D.-1<x<3解析：等价于-2<x<2，即-3<x<3。8.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（-1，0）、（1，0）和（0，-3），则下列关于函数性质的说法错误的是（）A.函数图像开口向上B.函数的最小值为-3C.对称轴为x=0D.函数在区间（-∞，0）上单调递减解析：由过原点（0，-3）可知c=-3，结合过（-1，0）、（1，0）可得a=3，b=0，对称轴x=0，开口向上，最小值-3，但x<0时函数值随x减小而增大，故D错误。9.在12章“二次函数与几何综合”中，将抛物线y=x²向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新抛物线，下列说法正确的是（）A.新抛物线的解析式为y=(x+2)²+3B.新抛物线的顶点坐标为（-2，3）C.新抛物线必过原点（0，0）D.新抛物线的对称轴为x=-2解析：平移后解析式为y=(x+2)²+3，顶点（-2，3），对称轴x=-2，但代入x=0得y=7≠0，不过原点。10.对于二次函数y=-2(x-2)²+5和y=1/2x²-4，下列说法正确的是（）A.两个函数图像的顶点关于x轴对称B.两个函数图像的对称轴重合C.两个函数图像的开口方向相反D.两个函数图像必有两个交点解析：第一个函数顶点（2，5），第二个函数顶点（0，-4），对称轴分别为x=2和x=0，开口方向相反，必有两个交点（x=2时y=1，y=-2x²+5=1，解得x=±√3）。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.抛物线y=3(x+1)²-2的顶点坐标是________，对称轴方程是________。参考答案：（-1，-2），x=-1解析：标准式顶点为（h，k），对称轴x=h。2.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（1，4）和（-1，0），且对称轴为x=2，则b的值是________。参考答案：-8解析：由对称性可知（1，4）关于x=2对称的点为（3，4），代入y=a(3)²-8+a(1)²+4=0，解得a=-2，b=-8。3.抛物线y=-x²+4x-3与x轴的交点坐标是________，与y轴的交点坐标是________。参考答案：（1，0）、（3，0），（0，-3）解析：令y=0得x²-4x+3=0，解得x=1或3；令x=0得y=-3。4.函数y=2(x-1)²+4的最小值是________，此时x的值是________。参考答案：4，1解析：a=2>0，顶点（1，4）为最小值点。5.若抛物线y=x²-2x+c经过点（2，3），则c的值是________。参考答案：3解析：代入x=2，y=4-4+c=3，解得c=3。6.函数y=-3(x+2)²+7的图像开口方向________，对称轴为直线________。参考答案：向下，x=-2解析：a=-3<0开口向下，对称轴x=-h=-2。7.抛物线y=1/2(x-3)²-5的顶点坐标是________，它向右平移________个单位后过原点。参考答案：（3，-5），3解析：顶点（3，-5），平移后x-3=0时y=-5，需平移3个单位至x=0，y=-5+3.5=0。8.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（0，1），且对称轴为x=1，顶点在直线y=2x上，则a的值是________。参考答案：1解析：顶点（1，2），代入y=a(1)²+b(1)+1=2，且对称轴x=1=b/2a，解得a=1，b=2。9.不等式(x+2)²-1>0的解集是________。参考答案：x<-3或x>-1解析：等价于x+2>1或x+2<-1，解得x>-1或x<-3。10.抛物线y=-2(x-1)²+4与y轴的交点是________，与x轴的交点个数是________。参考答案：（0，2），2解析：与y轴交点（0，2），判别式Δ=4>0，有两个交点。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过原点，则必有c=0。（×）解析：若过原点（0，0），则代入得c=0。2.抛物线y=-(x+3)²+5的顶点是最大值点。（√）解析：a=-1<0开口向下，顶点（-3，5）为最大值点。3.函数y=1/2x²+x+1的对称轴在y轴左侧。（×）解析：对称轴x=-b/2a=-1，在y轴左侧。4.若抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点，则判别式Δ>0。（√）解析：Δ=b²-4ac>0有两个不等实根。5.函数y=-x²+2x-1的顶点在第四象限。（√）解析：顶点（1，0）在x轴正半轴，属于第四象限。6.将抛物线y=x²向下平移3个单位后，新抛物线的解析式为y=x²-3。（×）解析：向下平移应加负号，正确为y=x²+3。7.若二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，则函数在区间（-∞，-b/2a）上单调递减。（√）解析：对称轴左侧函数值随x增大而减小。8.抛物线y=2(x-1)²-3与y轴的交点是（0，-3）。（√）解析：令x=0得y=2-3=-1，原题错误。9.函数y=-2(x+1)²+4的最小值是-1。（×）解析：最小值是顶点y坐标4。10.若抛物线y=ax²+bx+c经过点（1，0）和（-1，0），则必过原点。（×）解析：若a≠0，则c≠0，不过原点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知抛物线y=2(x-3)²-4，求该抛物线的顶点坐标、对称轴方程、开口方向。解答：顶点（3，-4），对称轴x=3，开口向上。2.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（0，-3）、（2，5）和（-1，-4），求该函数的解析式。解答：由（0，-3）得c=-3，由（2，5）得4a+2b-3=5，由（-1，-4）得a-b-3=-4，解得a=2，b=1，故y=2x²+x-3。3.求函数y=-x²+4x-3的最小值及取得最小值时的x值。解答：顶点x=-b/2a=-4/(-2)=2，最小值y=-2²+4×2-3=1。4.若抛物线y=3(x+1)²+k与x轴有两个交点，求k的取值范围。解答：令y=0得3(x+1)²+k=0，Δ=12k>0，故k<0。5.求函数y=1/2(x-2)²+1的对称轴方程和顶点坐标。解答：对称轴x=2，顶点（2，1）。6.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（1，6）和（-1，2），且对称轴为x=1，求a、b、c的值。解答：由对称性可知（1，6）关于x=1对称的点为（3，6），代入y=a(3)²+3b+c=6，a+b+c=6，a-b+c=2，解得a=2，b=0，c=4。7.求不等式(x-1)²-4<0的解集。解答：等价于-2<x<2，即-3<x<3。8.若抛物线y=-2(x-1)²+4与y轴的交点是（0，2），求该抛物线的解析式。解答：由（0，2）得-2(0-1)²+4=2，故解析式为y=-2(x-1)²+4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某商店销售某种商品，日销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系y=-2x²+60x-120，求该函数的最大日销售量及对应的销售单价。解答：函数w=y(x-10)=-2x³+80x²-720x+1200，求导w'=-6x²+160x-720，令w'=0得x=10或x=12，二次导数w''=-12x+160，x=10时w''>0为极小值，x=12时w''<0为极大值，但12不在选项中，比较x=10和x=15，w(10)=200，w(15)=450，故x=15时日销售量最大，最大值为y=-2(15)²+60(15)-120=420件。2.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E为BC边中点，将△ABE沿AE翻折后点B落在点B'处，求B'E与对角线AC所成角的正切值。解答：翻折后B'E=BE=3/2，设B'E与AC交于点F，由对称性可知∠B'AF=∠BAF，∠B'FC=∠CFC，tan∠B'FC=B'F/FC。在Rt△ABC中，AC=5，tan∠BAC=BC/AB=3/4，∠BAC与∠B'AF互补，故∠B'FC=∠BAC，tan值为3/4。3.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（-1，0）、（1，0）和（0，-3），求该函数的解析式，并判断其开口方向。解答：由过原点（0，-3）可知c=-3，结合过（-1，0）、（1，0）可得a=3，b=0，故y=3x²-3，开口向上。4.在抛物线y=-x²+4x-3上，求与点（2，0）距离最近的点的坐标。解答：设抛物线上点（x，y）到（2，0）的距离为d，则d²=(x-2)²+y²=x²-4x+4+x²-4x+3=2x²-8x+7，求导d'=-4x+4，令d'=0得x=1，代入得y=3，故最近点为（1，3）。5.若抛物线y=1/2(x-3)²-5的顶点为A，对称轴为直线l，求点A到直线l的距离。解答：顶点A（3，-5），对称轴x=3，点A到直线l的距离为0。6.某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每件产品成本为10元，售价为x元，销售量为y=-2x²+100x-200，求该工厂的最大利润及对应的售价。解答：利润w=y(x-10)=-2x³+100x²-400x+2000，求导w'=-6x²+200x-400，令w'=0得x=10或x=20/3，二次导数w''=-12x+200，x=10时w''>0为极小值，x=20/3时w''<0为极大值，比较w(10)=2000，w(20/3)=2666.67，故x=20/3时利润最大，最大值为2666.67元。7.在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，点D为BC边中点，将△ABD沿AD翻折后点B落在点B'处，求B'D与AC所成角的正切值。解答：翻折后B'D=BD=2，设B'D与AC交于点F，由对称性可知∠B'AF=∠BAF，∠B'FC=∠CFC，tan∠B'FC=B'F/FC。在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC/AC=4/3，∠BAC与∠