17.几何法-物理一轮微专题（思维篇）

专题十七数学物理方法——几何法考点一几何知识求最短距离1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。连长熊尚林任队长率领16名战士，由帅士高等4名当地船工摆渡，冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度2m/s，前半程采用最短时间的方案向对岸出发，在木船到达河面中央时因受敌方炮弹波及，使木船沿平行河岸方向偏离原来的位置，后半程采用最小位移的方案继续前进，最后成功抵达对岸渡口。不计中途偏离的时间与位移，下列说法正确的是（）A．前半程用时为75sB．前半程位移为150mC．后半程用时为75sD．后半程位移为2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）巧妙的化归思想是解决复杂物理问题的有力工具之一。请阅读材料，请回答以下问题：(1)如图图甲所示光滑水平桌面的O点钉有一枚钉子，长为L的不可伸长的轻绳一端通过极小绳套套在钉子上，另一端与质量为m的物块P连接，物块以大小为的速度绕O点做圆周运动。O点距桌面右边缘的距离为2L。不计绳套与钉子间的摩擦力。某时刻剪断轻绳，求从剪断轻绳到物块P离开桌面右边缘的最短时间；(2)如图图乙所示，质量为m的可视为质点的物块P与一轻质弹簧固定连接，静置于光滑的水平桌面上，轻弹簧另一端也固定。现将物块缓慢拉到M点释放，物块在运动过程中的某时刻剪断弹簧，求从剪断弹簧到物块P运动到Q点的最短时间；已知、M与M、Q间的距离均为L，弹簧弹性势能与形变量的关系为，k为弹簧劲度系数且为已知量，为形变量。(3)三个完全相同且均可视为质点的物块A、B、C，质量均为m，静置于光滑水平桌面上。如图图丙所示，A、B紧靠在一起，与C间的距离为L。现给A、B大小为v，方向相反的初速度。已知A、B、C之间两两存在大小为的引力（为施、受力物体间的距离），物块间的碰撞均为弹性碰撞，求物块B第一次回到原位置所需要的时间。考点二几何知识求解角度关系3．（24-25高三上·河北邯郸·期末）如图为一半圆柱形均匀透明材料的横截面，一束由两种单色光组成的复色光从真空沿半径方向入射到圆心，当时，单色光恰好发生全反射，单色光的折射光线恰好与的反射光线垂直。则透明材料对两种单色光的折射率之比为（）A． B． C． D．4．（2024·重庆·模拟预测）如图所示，ABCD是边长为的正方形，是以点为圆心的圆弧。在BC、CD与之间（含边界）充满垂直正方形所在平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。在点有一粒子源，可向正方形内各个方向均匀发射速度大小相等、质量为、电荷量为的带电粒子。已知沿AC方向发射的粒子恰好不从BC边射出磁场，不计粒子重力以及粒子间的碰撞和相互作用，则下列说法正确的是A．粒子速度大小为B．粒子速度大小为C．若增大粒子的发射速度，则能返回到点的粒子在磁场中运动的时间不变D．若增大粒子的发射速度，则能返回到点的粒子在磁场中运动的时间变长5．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）如图甲，、、为正三角形CDE各边中点，三角形FGH区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，一带电粒子从点以大小为的速度沿CG方向进入正三角形区域，运动时间后沿的角平分线方向从点离开。改变匀强磁场所在的区域，如图乙所示，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，该带电粒子以相同的速度从点射入正三角形区域，运动时间后，仍能沿的角平分线方向从点离开。已知正三角形CDE的边长为，粒子质量为、电荷量大小为，粒子重力不计。下列说法正确的是（）A． B． C． D．6．（2024·广东广州·模拟预测）如图是一款弹球投篮游戏示意图，圆形篮筐水平，其边缘固定在竖直篮板上的E点。游戏者控制小球压缩轻弹簧，小球由静止释放向左弹出，到达A点时弹簧恢复原长；小球沿水平轨道进入圆弧轨道BC，从C点沿切线飞出，小球运动轨迹平面与篮板垂直。某次游戏，小球恰好垂直击中篮板，击中点D在E点正上方。已知小球质量为m；圆弧轨道的半径为R，圆心角，C点到篮板的水平距离为12R，C点与篮筐的高度差为7R，篮筐的直径为R，忽略空气阻力和小球体积大小，不计摩擦，重力加速度为g。(1)求游戏者释放小球时弹簧的弹性势能；(2)求小球经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力；(3)若小球经篮板反弹后能进入篮筐，求碰撞过程小球损失动能的最小值。考点三几何知识求解长度7．（24-25高二上·全国·课后作业）甲、乙两人平行站在一堵墙前面，两人相距2a，距离墙均为3a，当甲开了一枪后，乙在时间t后听到第一声枪响，则乙听到第二声枪响的时间为（）A．听不到 B．甲开枪3t后C．甲开枪2t后 D．甲开枪t后8．（24-25高三上·海南海口·期末）一质量为m、电量为q的带电粒子以速度从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（）A．带电粒子带负电荷B．带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60°C．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是9．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）如图所示，一长的水平传送带以恒定速率逆时针转动，其右端与水平地面在点无缝对接。质量的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在点，点在点的正上方，轻绳长，质量的小物块B静止在点。现将小球A向右拉至轻绳与竖直方向成角处由静止释放，A运动到最低点与B发生弹性正碰，碰后B滑上传送带。已知A、B均可视为质点，B与传送带间的动摩擦因数，不计空气阻力，重力加速度取。求：(1)A、B碰撞前瞬间绳子的拉力大小；(2)B从传送带的右端运动到左端所需要的时间及其与传送带间因摩擦产生的热量。10．（24-25高三上·山东淄博·期末）淄博琉璃享誉天下，某同学测定一块环形琉璃手镯的折射率。他将手镯平放在水平桌面上，过环心的横截面如图所示（俯视图），内环的半径为r，外环的半径为R。图中AB是过环心O的一条直线，该同学用激光笔发出一细光束平行于AB射入手镯，当入射点为P1时，该光束经手镯第一次折射后折射光线恰与内环相切，测得P1点距AB的距离为d。(1)求手镯的折射率n；(2)若细光束从P2点平行于AB射入手镯时，经一次折射后，恰好在内环上发生全发射，且从外环上第一次的射出点为Q（图中未画出），并测得圆心角P2OQ为2θ，已知光在真空中的传播速度为c，求光在手镯中由P2点入射到Q点出射所用的时间t。考点四几何知识求解面积11．（2025高三·全国·考点练习）如图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始在一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则（）A．磁感应强度大小为B．粒子运动的轨道半径为lC．粒子射入磁场的速度大小为D．粒子在磁场中扫过的面积为l212．（23-24高三上·浙江·阶段练习）粒子偏转装置是研究高能物理的重要仪器，主要由加速电场，偏转电场和偏转磁场三部分构成。如图甲所示为某科研团队设计的粒子偏转装置示意图，粒子源可以均匀连续的产生质量为m，电荷量为q正粒子，其比荷，初速度可忽略不计。带电粒子经电压的加速电场加速后，贴近上板边缘，水平飞入两平行金属板中的偏转电场。两水平金属板间距为，板长为，板间加有图乙所示的周期性变化的电压，其最大电压也为U、最小电压为，周期远大于粒子在偏转电场中运动的时间（忽略粒子穿越偏转电场时电压的变化），下极板右端正下方紧挨金属板竖直放置长度为d的探测板。若带电粒子能由偏转电场飞出，则飞出后立即进入平行板右侧的垂直纸面向外的水平匀强磁场，最后经匀强磁场偏转后打在探测板上；若不能飞出偏转电场，则被金属板吸收并导走。不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：（1）从偏转电场出射的粒子通过偏转电场的时间t；（2）一个周期T内，从偏转电场出射的粒子数占粒子源全部发射粒子数的百分比；（3）从偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板时，磁感应强度B需要满足的条件；（4）若将匀强磁场B调成大小为0.05T，方向水平向右，并且在极板右侧空间放置另一块与原探测板平行的足够大的光屏PQ，PQ可以在磁场中左右移动，求粒子打在光屏PQ上留下的所有痕迹围成的面积。

13．（21-22高二下·江苏苏州·期中）如图（a）所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场（平行于纸面），在同一水平线上的两位置，以相同速率同时喷出质量均为的油滴和，带电荷量为的水平向右，不带电的竖直向上。上升到最高点时，恰好与它相碰，瞬间结合成的油滴的速度大小为，方向为与水平方向夹角为斜向右上方。忽略空气阻力，重力加速度为。求：（1）两油滴喷出位置的距离；（2）匀强电场的场强；（3）若油滴形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面的变化磁场，磁场变化规律如图（b）所示（垂直纸面向外为正），已知在图中时间内始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积（忽略磁场突变的影响）。考点五相似三角形求解力14．（23-24高三上·河北·阶段练习）如图所示，水平光滑轨道BD左侧固定一竖直光滑半圆环AB，水平轨道右侧下方O点处链接一可绕O点转动的挡板OE。一弹性绳原长等于半圆环的半径r=0.4m，劲度系数k=20N/m，其中一端固定在圆环的顶点A，另一端与一个套在圆环上质量为m=0.3kg的C球相连，先将小球移至某点，保持弹性绳处于原长状态，然后由静止释放小球。已知DO间高度为1.0m，弹性绳弹性势能，重力加速度为g=10m/s2，空气阻力忽略不计。求：（1）释放小球瞬间，小球对圆环的作用力大小；（2）C球在圆环上达到最大速度时，弹性绳的弹性势能为多大；（3）当C球在圆环上达到最大速度时与弹性绳自动脱落，继续运动到B点后进入水平光滑导轨BD，由D点平抛下落，改变挡板OE与水平面的夹角θ，可以使C球的落点有不同的距地（过O点的水平面）高度，试落点距地高度y与挡板夹角θ正切值的函数关系。

15．（2023·浙江台州·二模）如图所示，两个质量分别为和的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计，上方用细线悬挂在天花板上），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为和，到滑轮的距离分别为和，且，细绳与竖直方向的夹角分别为和，两球电荷量分别为和。则（

）A． B． C． D．16．（24-25高三上·辽宁鞍山·阶段练习）A、B两小球均带正电荷，A球固定于P点正下方，B球用不可伸长绝缘细线悬挂于O点，P点位于O点的正下方，距离等于细线长度，B球平衡时细线与竖直方向的夹角为。两球均可看做点电荷，且电荷量保持不变。现将A球缓慢向上移动到P点的过程中，下列说法正确的是（）A．细线对小球的拉力不可能大于重力 B．细线对小球的拉力大小不变C．A、B两小球间的距离变大 D．A、B两小球间的静电力逐渐减小17．（2024高三·全国·考点练习）如图所示，A、B两球用劲度系数为k1的轻质弹簧相连，B球用长为L的细线悬于O点，A球固定在O点正下方，且O、A间的距离也为L，此时绳子的拉力为F1，现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻质弹簧（k2>k1），仍使系统平衡，此时绳子的拉力为F2，则F1和F2的大小关系为（

）A．F1>F2 B．F1<F2 C．F1＝F2 D．无法确定18．（24-25高三上·辽宁·开学考试）如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器最底端O′处（O为球心），弹簧另一端与质量为m的小球A相连，小球A静止于P点，OP与水平方向的夹角为θ=30°；若换为与质量为2m的小球B相连，则小球B静止于M点（图中未画出），下列说法正确的是（）A．容器对小球B的作用力大于2mgB．弹簧对小球A的作用力大于对小球B的作用力C．弹簧原长为D．O′M的长度为考点六相似三角形求解投影问题19．（22-23高一下·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中有一个半径为的虚线圆，圆上点恰好位于坐标原点，水平直径恰好在轴上，为圆心，点和点分别位于的两侧，且点到轴的距离为，现将小球从点以某一速度水平抛出，恰好经过虚线圆最低点，已知重力加速度为。（1）求小球到达点时的速度大小；（2）若将小球以某一水平速度从轴上的点水平抛出，小球垂直击中虚线圆面上的点，此时速度方向与轴所成的夹角为，求抛出点的纵坐标；（3）在第（2）问的结论下，若将小球从点以大小为的速度斜向上抛出，抛出方向与轴正向所成的夹角，小球恰好经过点，请用表示经过点的竖直分速度的大小。

20．（23-24高一下·山西·阶段练习）如图所示，一点光源距地面的高度是，距竖直墙面的距离是，在点光源处将小球垂直于墙面水平抛出，重力加速度为，则（

）A．为了使小球先落在墙面上，小球抛出的初速度至少为B．为了使小球先落在墙面上，小球抛出的初速度至少为C．小球在做平抛运动时，墙上小球的影子做匀加速直线运动D．小球在做平抛运动时，墙上小球的影子做匀速直线运动考点七利用几何知识分析磁会聚现象21．（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，在直角坐标系中，第一、四象限内存在三个有界匀强磁场，即垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ、垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ、半径为的圆形匀强磁场Ⅲ，匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小相等，宽均为，长均为。在第二、三象限存在平行y轴方向的匀强电场Ⅰ、Ⅱ，其电场强度大小相等，方向相反，在第四象限存在匀强电场Ⅲ，其上边界和匀强磁场Ⅲ在M点相切，下边界放置光屏，M点到光屏的垂直距离为．现有两个质量均为m、带电荷量均为的带电粒子1、2分别从匀强电场Ⅰ、Ⅱ中坐标为、的两点以速度沿x轴正方向射出，都恰好经过原点O处分别射入匀强磁场Ⅱ、Ⅰ，又平行于x轴正方向射出匀强磁场Ⅱ、Ⅰ，射入匀强磁场Ⅲ且都从M点射出，最后进入匀强电场Ⅲ打在光屏上。不计粒子的重力及粒子间相互作用，电磁场均具有理想边界。求：（1）匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小；（2）带电粒子1、2在匀强磁场Ⅲ中的运动时间之差；（3）带电粒子1、2最后打在光屏上的距离。22．（2024·浙江温州·三模）如图所示是粒子流扩束技术的原理简图。正方形区域I、II、III、IV对称分布，一束速度相同的质子束射入后能够实现扩束，四个区域内有界磁场（边界均为圆弧）分布可能正确的是（）A． B． C． D．考点八利用等分法求解匀强电场中的电势、电场强度23．（24-25高二上·山西·期中）如图所示的直角梯形，其中，整个空间存在平行于梯形平面的匀强电场，A、B、D三点的电势分别为、、。下列说法正确