考研数学二模拟405

考研数学二模拟405

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.设函数f(X)在(-8,+8)内有定义，且f［x)的反函数为g(x).记

F(x)=I

(0,x=0,

则

A.x=0必是F(x)的可去间断点.

B.x=0必是F(x)的跳跃间断点.

C.x=0必是F(x)的连续点.

D.x=0必是F(x)的第二类间断点.

正确答案：C

［解析］题中说f(x)的反函数是g(x),根据反函数的性质有f反函)］二X,所以有

F(y)=

［0,1=0,所以x=o必是F(x)的连续点.

2.函数y=Ce'+C2屋+C3xeYG,C2,C3为任意常数)满足的一个微分方程是

A.y'''_y〃-y'+y=0.

B.y'''—y〃+y'+y=0.

C.y，，，+y〃-y'+y=0.

D.y'''_y〃-y'-y=0.

正确答案：A

［解析］由题意，(C+Csx)^是特征方程的二重根1对应的项，CzG是特征方程的

单根T对应的项,因此，特征方程为(r-l)2(r+l)=0,HPr3-r2-r+l=0.从而可知

所求方程为y'''-y〃-y'+y=0.

3.设函数f(x)在(-8,+8)内存在一阶导数，则下列命题正确的是

A.若f(x)只有一个零点，则f'(x)无零点.

B.若f'(x)至少有一个零点，则f(x)至少有两个零点.

C.若f(x)无零点，则f'(x)至多有一个零点.

D.若f'(x)无零点，则f(x)至多有一个零点.

正确答案：D

［解析］本题需用到如下结论：

若题中先说低阶，那就是：至少，越来越少；

若题中先说高阶，那就是：至多，越来越多.

由以上结论直接可知本题应选择选项D.

ee"市，n》0,

/(x)=Jo

4.设函数［^+bx./VO,已知F(x)连续，则

A.b为任意常数，a=0.

B.b为任意常数，a=e.

C.a为任意常数，b=0.

D.a为任意常数，b=e.

正确答案：D

［解析］首尾求出函数f'(x).对于分段点来说，要用导数的定义式来求；对于

其他点来说，直接用导数公式来求即可，

先用导数的定义式求f(x)在x=0处的导数：

lim@华二八°)=lim半空

Ax-0△xar—c△a

lim华也lim华立

然后，要分次7，△工和“3一△工来做.因为如果不分，就不知道要将

f(Ax)显化成什么.

1他=lim〃3"+除)=1而+6)=b,

Ar-*C*△*7A.(TA*。-

r/A,0C2fd/3

lim*=lim——：---=lim--=lime2Aj-l=e.

1

d一时堤Ar-0-23一户

本题说函数f'(x)连续，就暗示函数f'(x)存在，既然函数f'(x)存在，所

limUm

以f'(0)存在.由于f'(0)存在，所以肯定有Ai-△工,所以

b=e,a为任意常数.

lim，笠？

5.设函数f(x,y)在点(0,0)处连续,|[(jr.y)-<0.0)x~vy则

A.fx(0,0)存在且不为零.

B.fx(0,0)不存在.

C.f(x,y)在点(0,0)处取得极小值.

D.f(x,y)在点(0,0)处取得极大值.

正确答案：C

lim也一limv)=/(0,0)=0

［解析］由(八了…(o,o)h”+y存在可知《工・』》7。.。》.根据

极限的局部保号性,

由于/阿.。篝在S,。)的某-去心邻域内有

工十旷,即

f(x,y)>f(0,0).

根据极值定义，f(x,y)在(0,0)处取得极小值，故选C.

c/八C..s/Cr,O)一/(0.0)..f50)n

£(0,0)=hm^-------------A--------=hm/一八;•J-0

由于…LO八。ITC，故排除A、B.

还可由y)-*<OwO)JC?+/存在得到f(x,y)在点(0,0)处可微，这是由于

/(，皿一八。，。)一/,。.。)]-/]。,。"，.

2

limlim4个•7x+y=0.

C.y)-(O.O)(j.y)-<o.o)X~~ry'

6.设区域D是由y=x"0WxWl),y=-x?(TWxWO),y=1及x=T所围成的平

f[[l+sin«rln(y+八+J)]dzdy=

面区域，则看

A.O.

B.1.

C.2.

D.4.

正确答案：C

[解析]用尸x2(TWxW0)把D分割成Di和D2(如下图所示)，其中

Di={(x,y)|TWxWl,xMyWl},

22

D2={(Z,y)|TWXW0,-x^y^x}.

记F(zC)=siruHM3+。可)，根据二重积分的可加性，有

|[/(.3)didy十口

」(文adzdy=/(ZTvJdrdy.

%%

因为f(x)(-x,y)=-f(x,y),且Di关于y轴对称，故

IJ/(j-twy)dxdy=0

%;囚为f(x,-y)=-f(x,y),且D2关于x轴对称，故

♦■

/X.r.v)d.7'(lv=0.

••

l)2

由于Di关于y轴对称，国关于X轴对称，故D的面积就等于下图中阴影部

分面积的2倍.于是

原式=jprclv=S0=2X1=2.

D

7.设a,b,c,d,e,f均为常数，则下列向量组线性无关的为

TT

A.Q尸(1,-1,0,2)，a2=(0,1,-1,1),a3=(0,0,0,0).

Trr

B.ai=(a,b,c)‘，a2=(b,c,d),a3=(c,d,a),a4=(d,a,b).

T=rT

C.ai=(a,1,b,0,0),a2(c,0,d,1,0),Q3=(e,0,f,0,1).

TTT

D.a1=(1,2,1,5),a2=(l,2,3,6),a3=(1,2,5,7),a4=(0,0,0,

l)r.

正确答案：C

［解析］单位向量组(1,0,0)T,(0,1,0)T,(1,0,0)'是线性无关的，而如

果某个向量组线性无关，则增加维数后(相应的位置)仍线性无关，

选择题中判断线性相(无)关时很少使用定义，大多是用性质，因此请大家

务必掌握线性相(无)关的性质.

<120、

4=210

8.下列矩阵中与矩阵1°0”

合同的矩阵是

勺00、

010

A.10。L

‘100、

010

B.1°0—1，

']00、

0-10

C,1°°一L

00、

0-10.

D.I00-L

正确答案：B

［解析］」两与对称矩阵合同的充分必要条件是：将这两个矩阵写为二次型，再化

为标准形，则两个标准形的正负惯性指数相同.

」20、

A=210

将100J对应的二次型写为八皿，才小心）一储+尤+6+4力彳2,用

配方法（用正交变换法也可）将其化为标准形式一3立一炉，正惯性指数为2,负

惯性指数为1.

四个选项中所给的矩阵写为二次型后直接就是标准形（不用再化了），只有

选项B的正惯性指数为2,负惯性指数为1.

二、填空题

f1+L

1.E-

正确答案：

2-21n|l-ex|+C

［解析］

zr

1+e*11,fe*if1—4-e,「1r.

J=也—.=/dz-J=7dl=|Fc，=-J-d(l-eO

+J&dx-lnli|

=n—21n11—e*|+C.

2.微分方程ydx-tanxdy=O的通解为

正确答案：

y=Csinx

y

［解析］原方程可化为"tan—

dy_d>r

分离变量得，一而二’

两端积分J>'Jtanx，

=Id(sin

即JyJsinx

得ln|y|=ln|sinx|+ln|C|,

从而原方程的通解为

y二Csinx.

3.已知函数z=f(x,y)的全微分为dx=(x+y)dx+(x-y)dy,且f(0,0)=1,则

f(x,y)=_

正确答案:

22

［解析］由dz=(x+y)dx+(x-y)dy可知

Ia之

豆=f'

等式两边分邛对x、y积分得，

=于+冲4•夕（了），/（了，3）=jcy-^-

比较两式得八

由f（o,0）=1得c=i,故八"',）=二一1十一+1・

4.设函数/1+cos4则铲。⑹⑹二

正确答案：

0

r（）_sinh

［解析］/iTR是奇函数，所以f'（x）是偶函数，f〃（x）是奇函数，…,

铲与（X）是奇函数，而奇函数在x=O处的函数值是0,所以铲。⑹（x）=0.

lim1+1十号「=：则四号=

5.已知…I

正确答案：

2

1Inrl+x+-^1

f(x)~lim---------------------

lim1+JTH---------=eix

［解析］因为LOL7,由题意得

lim-=3

叩+工十年

lim-,/limln[1+1+年］°,故当x->0时,

由于J”X存在，“。I

1r1।/(•♦)1।/(>r)

In1+x4-〜z+、一

ln[l+xT^]工心

即四号

.一口limlim----------=lim[1+=2

于是…/*3XJ-9I约

100)

i100

A=

0010

6.设矩阵、001L，贝l」A“二

正确答案:

*一2”一00\

2r2八00

0010

I00n\)

[解析]设

ro0、1110

o=B

ioo；Vuu

o

A=0〕

、

则Oa,因此，只要计算出B”和C即可，求B".

B=(；(\

1),记=a,贝ijB=aa[.

U

IT=(aa1)(aa')•••(aaT)

♦i>个

=a(ala)(ala)-(aIa)a1.

由于/Q=2,所以

B“=2iaa丁=2*-l|1n_仔122

l)U"12-1；

求c.

C=1+=E+P

将矩阵c写为VO\)U0；,由二项式定理可求得

,flOA

C=(E+P)"=E"4-，㈤"7p+0+…+0=.

,2"।2一00>

(Bn0\2-一】2*~100

4"=

1。cj=0010

10

所以0n1>

三、解答题

共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

ln(14-x2)—ln(l4~sin*x)

lim

1.求极限L。/sin'jr

正确答案：

ln(1+/)-InCH-sin2^)=lim四+/)RQ+sm；&)

lim3

J-*0xsinJ：-x

11+一

].nl+sinzo：

=lim------：-----

LOx

1+―

2

「l+sinx

=lim

1Af)x

_]•/2-si•n21

2

或彳J(l+sinjr)

「w+sini「z-sinJ:

=lim---------•lim----z---

LOXLOX

jr

=2ctl.im-x---s-i=n---

L。x

1

[解]

2.设函数u=f(x,y,z)具有二阶连续偏导数，且z=z(x,y)由方程e"-xy=l

所确定，求du与力工力’

正确答案：

yzyzyz

［解］令F(x,y,z)=e-xy-l,则F,=-y,Fy=ze-x,Fz=ye.

^=_R=e-*匹=_J=

x

于是及FTOyFtye

从而断"喳〃+e"，\"缭="守/；.

d“=(1+e->"；)也+(6+^^^八卜3.

募=4+小箓+门卜+靖)一八」0+'爵)

=及+匚，'小+e^A+三一蜉/；3-口-力"；.

故

3.设常数a>0,求函数”"-1+1川+1+丘一al在(-8,+8)内的最值.

正确答案：

1<0,

1

1+.r—0•

0ViVa,

a-a•

z>a.

［解］

(1一卫>］X<0,

(幻=<_TTZL_v+cU_1---V，0V工Va,

(1+z)(1-t-a—x)

____1_________］、

(1-x)2(1+x-a)2'

显然，f(x)的不可导点为x=0和x=a,驻点为"一5'

可能极值点有三个，通过验证可知只有极大值点x=0,对应的极大值为

接下来求区间端点处的极限值:

lim/(才)=limf----1--------1=0,

v/L_y11—z1+a-z)

lim/(i)=limf3-^---r---1=0.

+*»(1十］1H-x-a7

1"——

所以，】+〃是f(x)在区间(-8,+8)内的最大值，f(x)在区间(-8,+

°°)内无最小值.

(7+y)do

4.计算二重积分日，其中D={(x,y)|x2+y2Wl,y2

|x|}.

正确答案：

［解］记，1一。-I"(］，))=)/1T一丁.

『/(才,y)dzdy=0.

因为f(-X,y)=-f(x,y),且D关于y轴对称，故也

因为g(-x,y)=g(x,y),且D关于y轴对称，故

((N.y)cLrdy=2］［g(z,y)cLrdy

iD\，其中D尸{(x,y)|x2+y2^l,y2x20}.

(1+y)v1—x2—dtr=21/一a，——丁da

DD］

rJL「］

=22d0rsin0A/1—r2rdr

-ru

ffri---------------

=2sin8dJr2——cb-

JV30

丁是

5.设函数f(x)在［0,1］上可导，且‘⑴一女,八出证明：存在，金

(0,1),使得f'(《)二2红(己).

正确答案：

［证］设辅助函数为F(x)二屋2f(x).

根据积分中值定理，在区间2・彳1上存在一点n,使得f(i)=e”n，f(n).

又由于F⑴=e*⑴,F(n)=e-n2f(n),故F(n)=F⑴.

由于函数F(X)在闭区间［n,1］上连续.在开区间(n,1)内可导，且

F(n)=F⑴，所以根据罗尔定理可知存在W£(n,i)U(o,1),使得

r(O=2U(€),即f(O=2Cf(C).

积分中值定理只在闭区间上成立，在开区间内成立的结论不能称为积分中

值定理，若要使用，须写出用拉格朗日中值定理证明的过程.

6.已知函数

工V0,

/(x)=,

ln(l4-x)—x

在区间(-8,+8)内存在原函数，求常数A,并求f(x)在区间(-8,+8)

内的所有原函数.

正确答案：

［解］由于fG)在区间(-8,+8)内存在原函数，所以f(x)在区间(-8,+8)

内连续，或fG)在区间(-8,+8)内只有第二类间断点而没有第一类间断点，

iim/(.r)=lim壁。一二丁包点=0.

j—O一C—T**-

由于r・o+L"J

说明x=0不可能是f(x)的第二类间断点，故f(X)在x=0处一定连续.

根据连续的定义，有f(O)=A=O.

当xVO时，

［4r—二卬2H丁包=3.一|华d#

』.r'JxJ.r'

-J

当x>0时,

/(x)(Lr=|产(]f二+外工二i」n(l+/一昂(1+彳)+枭+G.

由于/f(x)dx在x=0处可导，故在x=0处连续，于是1+G=C2.

令G=C,则f(x)在区间(-8,+8)内的所有原函数为

^■^+口/V0,

X

F(x)=­0.«r=0.

2__lnO+£)_In(1+7)+(：•1>o.

7.己知曲线y=f(x)在［0,a］(当x20时，f(x)>0)上与x轴围成的面积值比

f(a)大be，(其中常数a>0,bWO),且f(x)在x=b处取极小值，试求f(x)的表

达式.

正确答案：

［解］由题意，

//⑺比一/(外=巾.

即J。

两边对x求导，得f(x)-f'(x)=beX,即有一阶线性微分方程

U一=一”,且满足y|x=0=-b.

其通解为

>=ef|出［一］加1・J(I)dxdx+c］

=e”(—16cLz+C)=ex(C—bx).

x

由yIx=o=-b得C=-b,故y=-be(x+1).

因为f(x)在x=b处取极小值，由r(b)=-beb(b+2)=0可知b=-2.

所以，f(x)=2ex(x+l).

/—I11—lx

1-1-11

A=

1-1-11

设矩阵l-l11-J

8.计算A2；

正确答案：

一1-4-4

144-4

A2==­4A.

1-1-111-444-4

［解］-111-1-1>4-4一44;

9.证明矩阵E+A可逆，并求(E+A)［

正确答案：

A2=-4A=>*+4A=g(A+E)(A+3E)-3E=O

A+3E

=(A+E)(A+3E)=3E=(A+E)=E,

［解］3

(211-1A

A+3E112-11

(A+E)7=

331-121

所以A+E可逆，且