高中数学：博弈论视角下高中数学教材内容要素的选择

博弈论视角下高中数学教材内容要素的选择

摘要：高中数学教材内容基本由感性材料•、理论知识、思想方法、应用例题等要素组成。在

四要素齐全的行为策略中，侧重于思想方法的行为策略取得的收益是最高的，同时也是在所

有混合策略中收益最高的，要从根本上.改变高中数学教学思路，便要注重数学思想的培育，

强调数学方法的应用，为此需要实施重组单元课程内容，提升要素构建逻辑，注重贯穿思想

输出，灵活融合数学史料等举措。

关键词：高中数学；博弈论；内容要素；

在目前的教育背景下，高中数学教育呈现出以下几个特点：第一，高中数学

多依托“考试大纲”进行重点内容与非重点内容的分辨，并据此进行有针对性教

学，忽视了对学生完整的数学知识体系的构造，充满功利性；第二，高中数学教

育多偏向于理论的输送，实际应用性内容较少，在对学生数学思想与兴趣的培育

上存在不足。这种教育模式虽然在短期里可以取得很好的效果，但于数学教育事

业的长远发展极为不利。而要想真正的提高高中数学教育效果，便要求我们对高

中数学教材内容要素进行甄别与判断，以合理安排各个内容要素，达到最佳的数

学教育效果。

1.高中教材内容要素分析

高中教材内要素主要包括感性材料，理论知识、思想方法、应用例题四个内

容要素⑴。四个要素中，感性材料指的是数学史、实际问题等具体材料。任何一

种理论的产生都有其来源，都有其特殊的目的性。感性材料的存在，其最大的作

用是“引入”，并构建数学知识体系的基础。理论知识是数学知识结构的基础部

分，它主要包括基本概念、基本原理、推论等。理论知识是对数学核心知识的凝

华，它是学生进一步深入研究数学领域的基础。思想方法是数学知识结构的核心

与精髓。它是在数学知识研究过程中，联系理论与实际，从而达到数学知识灵活

应用的思维方式与运用手段。数学教育属于“服务性学科”，专注于“问题的解

决”，其具有广泛的应用性⑵。而掌握思想方法正是数学教育达到其应用性目的

的不二法门。应用例题是对数学知识体系构造成果的锻炼与考察，是理论知识走

向实际应用的“试金石”。它所承载的内容也不仅仅是提出问题，更是要在解决

这个问题的过程中使学生学习到其中所含有的思想方法，以达到最终应用数学知

识的目的。

2.内容要素选择中博弈模型的体现

博弈论本身便是发源自数学，其通过对所涉及的各个因素对最终收益的影响

结果来选择出最优化的配置方案。我们在此处应用博弈论的理论来对高中数学教

材内容要素选择进行理性分析，也算是博弈论回归数学本身的实践⑶。在这场高

中数学教材内容要素的博弈中，教师与学生是这场博弈中的局中人。他们为了达

到利益的最大化，进行行为决策的博弈。行为决策的博弈结果关系着高中数学教

材内容要素各自在教材内容与教育课堂中的比重与作用。

2.1内容要素博弈模型的建立

高中教材内容要素选择这个案例所涉及的博弈方只有教师与学生两个方面。

而由于本文探讨的是数学教材内容要素的选择，因此，在博弈方行为策略的选择

上，存着着感性材料、理论知识、思想方法、应用例题四个主要策略方以及它们

的混合策略。最终裁定本次博弈效果的指标是基于施行的行为策略所取得的教学

效果。

因此我们假设博弈可以表示为U=A"f｝其中，

“局中人”的集合：N=｛，W?2……4｝。

行为策略的集合：……4）

收益函数的集合:工二（九/……工）

在这个“局”中，局中人、行为策略与收益函数共同构成博弈⑷。我们假设

局中人教师与学生是同盟关系，基于理智，他们会采取最优的行为策略去获得最

大的收益。因此，行为策略的选择关系着收益的高低，是决定本次博弈的关键因

、首先，我们要分别依据内容要素的作用对每个内容要素的收益做个预判。感

性材料是“引入门”的作用，理论知识是基础，应用例题是“试金石”，而思想

方法则是核心与精髓。基于此，我们将感性材料、理论知识、应用例题的各自收

益设为1个收益单位，思想方法设为2个收益单位，据此得出以下表格：

表L数学教材内容四要素的各自收益表

~~内容要素感性材料理论知识应用例题思想方法―

收益1112

"其次，基于表1数学教材内容四要素的各自收益表，我们对行为策略进行组

合，并分别对最终形成的行为策略进行了收益运算，以评估各个行为策略在施行

后所取得的教学效果。构成行为策略有两个关键点要格外注意，其一是教材内容

四要素的组合，第二是教材内容四要素的比重。围绕着这两点，我们首先对内容

要素的组合策略进行了计算。设感性材料为A,理论知识为B,应用例题为C,

思想方法为D,则组合策略一共有：ABCD.ABC、ABD、ACD、BCD、AB、AC、AD、

BC、BD、CD、A、B、C、D,总计15种组合。其次，对于教材内容四要素的比重

策略的研究，我们假设某个内容要素的比重加大时，该内容要素的收益会翻倍，

其他内容要素的收益会减半。因此对于每个组合策略，乂会有不同的比重策略存

在，两者合在一起，构成混合策略集合。该混合策略集合的收益计算如下：

表2：高中数学教材内容要素博弈中行为策略收益表

策修/ABC

/益ABCABI)ACI)BCDABACAl)BCBI)CI)ABC1)

D

侧重A433.53.52.52.532

侧重B433.53.52.52.532

侧重C433.53.52.52.532

侧重D5.55554.54.54.54

.534442232331112

万_________________________________________________________________________

如上表运算结果所示，我们可以很清晰的判断出，在所有的混合策略中，收

益效果最高的行为策略是ABCD,且侧重于D。这个策略最明显的一个特征是，感

性材料、理论知识、应用例题、思想方法四个内容要素齐全，且格外侧重于思想

方法要素的教育。需要注意的是，这虽然是一个基于理论模型上的研究所得出的

结果，但是通过数据之间简洁直白的对比，对于在实际教育工作中高中数学教材

内容要素的选择策略方面仍然有着很好的警示与指导作用。

2.2博弈模型结果的分析

该博弈的参与者为教师与学生，两者皆有着同样的利益诉求，即最大程度的

提高学习效果。因此，以博弈论的分类来看，高中数学教材内容要素选择属于合

作博弈⑸。合作博弈指的是博弈的参与者拥有共同的利益追求，存在着合作的基

础与关系。而博弈结果告诉我们，在所有的混合黄略中，四种内容要素齐全的行

为策略的收益是最高的，这说明高中数学教材内容虽然被分为不同的要素部分，

但是所有要素都是相互贯通，相互联系的，缺一不可。感性材料探究渊源，负责

“引进门”。理论知识是数学知识体系构造的基础。思想方法是数学知识体系的

核心与灵魂。应用例题是对学生数学教育效果的考察与应用能力的锻炼。正是各

个内容要素的完美结合，才能构造出一本实用性强，拥有思想、广大师生喜闻乐

见的高中数学教材。它们的共同目的在于构造一个完整的数学知识体系，向学生

更好的传输数学知识与理论，提高应用数学解决实际问题的能力。因此要实现利

益的最大化即最大化的提高数学学习效果，构造学生完整的数学知识体系与数学

知识应用能力，不是要摒弃某个内容要素，而是要依据各个内容要素对高中数学

教育效果的影响进行某些方面如内容篇幅、授课时长的合理安排，提出最优化的

解决方案。

而在四要素齐全的行为策略中，侧重于思想方法的行为策略取得的收益是最

高的，同时也是在所有混合策略中收益最高的。这恰恰说明了数学教育的特疾性。

数学不同于语文、英语等语言类科目重在记忆，它本身便是一门讲究领悟思想与

方法的科目。高中数学由于学习深度的进一步加深，单单依靠对基本概念的记忆

以及习题的反复练习已不能满足高中数学知识学习的需要。同时，高中数学教育

本身是为更高等级数学教育奠定基础，是更进一步加强数学的实际应用性。所以

高中数学的学习更要强调对数学知识思想与方法的领悟。这种着重性对应于高中

数学教材内容要素选择来说，就是要在兼顾感性材料、理论知识、应用例题的基

础上，更加强调对数学思想方法的领悟。数学问题千变万化却不离其宗，思想方

法是其核心与精髓。掌握数学知识的核心思想与应用方法，是数学学习的不二法

门。对于高中数学教育来说，教材更好的将一种思想方法贯穿于教材内容始终，

老师能更好的将教材中的知识传授给学生，成功的引导学生领会正确的思想方

法，学生能更好的领会并应用数学规律，高中数学教育效果必立竿见影。

因此，博弈论视野下的高中数学教材内容要素选择得出感性材料、理论知识、

思想方法、应用例题都是高中数学教材中不可缺失的一部分。为了达到最优的数

学教育效果，我们要在兼顾感性材料、理论知识、应用例题的基础上，更加强调

对思想方法的领悟与学习。这个分析结果是在构成高中数学教材内容要素的选择

博弈中得出的，但是它的适用性却是广泛的。因为数学教育从始至终都存在着博

弈的关系。数学教材内容要素的选择是博弈，课堂上教师与学生之间、不同教师

的授课方式与教学经验、不同学生的学习方法与领悟能力等都存在着博弈。但是

无论何种博弈，都改变不了数学是一门讲究思想方法的学科的本质。这也注定了

要想成功的遨游在数学这个奇妙的大海洋里，必须要注重数学思想与方法的引导

与学习。但是注重思想与方法，并不是意味着舍弃其历史渊源、理论基础、应用

实例等方面的学习。“问渠那得清如许，为有源头活水来”，历史渊源、理论基

础便是数学思想与方法的“活水源”。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，

应用实例便是对思想方法领悟成果的考验与自我纠正。这是此次博弈论分析对高

中数学教育提供的参考意见。

3.高中数学教材内容要素选择的优化路径

3.1重组单元课程内容

对课程单元内容的重组我们强调以思想内涵的领悟，技能方法的掌握为主

导，强化数学教育的思想输出职能。数学思想方法的领悟主要蕴含在对数学知识

的学习当中，以一种近乎隐性的方式存在。这就要求教师与学生以主动的方式将

思想方法挖掘出来⑹。而在课程内容的重组当中，我们建议在保持原有内容要素

的基础上，对其进行整合，将分散到不同课时的内容整编集合在一起，使数学的

学习更有逻辑可寻，并依据不同模块的数学知识的特点增设相关实践体验活动，

将思想方法的学习由被动式化为主动式。实践体验活动存在的目的是使学生在实

践操作中进一步领悟到数学思想方法，以使学生在实践体验与课程学习的对比与

结合中获得收益。传统的教材与教学中，几乎通篇都是对理论知识的阐述，很少

设置实践体验活动或者即便设置了，由于教学任务的繁重，也只是蜻蜓点水，导

致实践体验活动流于形式，难以真正的发挥其真实的作用。因此，这就要求实践

体验活动的设置要贴合课程内容，具有可行性，使得教师愿意去实施，学生有兴

趣去实践。同时，要将实践体验活动巧妙的融入到数学教材各部分，可以尝试以

趣味多样的形式，勾起学生的兴趣，活跃数学课堂气氛。这样，在融洽的气氛中，

感悟数学思想方法，本于数学教育的促进作用不言而喻。

3.2提升要素构建逻辑

高中数学教材是高中数学教育最重要的载体，直接影响着教师的授课与学生

的学习。高中数学教材因为包罗万象，容纳的知识点较多，公式、推理、概念层

出不穷，因此对于教材内容要素的合理安排极其困难。这导致教材中有时会出现

部分内容繁杂或者突兀，安排不合理，前后不搭调，没有逻辑顺序的问题。数学

教材作为传播数学知识，构建数学知识体系的媒介，唯有教材本身拥有完整的知

识、思想体系，完备的要素构建逻辑，才能更好的承担起自身的职能。因此，提

升要素构建逻辑要求我们在教材内容中充分发挥各个内容要素的作用。在数学知

识模块中，内容的出现要循序渐进，要素要合理融合，遵循引出问题，寻求方法,

解决问题，归纳思想，应用练习的基本规程。知识点的布局要按照一个合理的点

铺陈出来。如知识点出现的时间顺序，解题过程中应用顺序等；充分发挥感性材

料的“引进门”作用，设置疑问，引起下文，层层递进之下，有序呈现理论知识,

扩充学生的数学理论知识，并在剖析之下循循诱导，寻找到解决问题的方法，继

而进一步提升到实践问题的应用当中，使“死”的教科书充满灵性，充分调动起

学生的思维与情绪。

3.3优化教学组织形式

传统教学组织形式紧紧围绕“教师”展开，以教师的思维模式带动整个教学

过程，忽略了学生思维在教学过程中的贯穿与拓展，使学生难以深度理解数学知

识理论，培养开放性的数学思维。因此，优化教学组织形式对于高中数学教育非

常重要。优化教学组织形式要求在数学教学过程中以学生的思维为主导，教师的

思维为辅助，创造开放式的教学体验。从思维拓展的顺序性角度，通过依次开展

个别学习、小组学习、集体学习，并依据学习内容的难度对三种学习形式进行灵

活组合。个别学习强调个人对数学知识的感悟与理解，是数学学习的起点教育，

小组交流则希望学生在交流中碰撞出思想火花，寻找思维漏洞，完善个体思想，

集体学习则使学生在阐述自己感悟的同时，使自己的学习成果得到检验。从思维

拓展的深度性角度，教师可依据学生的差异性设置不同层次的课题，如基础性课

题、发展性课题与补充式课题等。基础性课题是对数学基础知识的巩固，发展性

课堂则具有一定灵活性与挑战性，供学生进一步开拓思维，补充性课堂则进一步

加大难度，供学有余力的学生进行.通过类似任务模式的学习形式的设置，激发

学生的探索欲望，拓展学生的数学开放性思维。

3.4注重贯穿思想输出

我们一直强调思想方法是数学的核心与精髓。但是在现实的数学教育工作

中，由于存在的种种现实因素，如“去除枝蔓，主抓主干”的功利化的教育模式,

重理论轻应用的教学思维模式等，使得对于数学思想的领悟成为了一直以来数学

教育工作的短板。要在教育工作中更好的输出数学思想，培育思维种子，最重要

的是发挥学生在学习中的自我意识与教师在教学工作中的导向作用。发挥学生在

学习中的自我意识是要通过一系列的教学手段，激起学生主动学习数学知识，探

索数学奥妙的兴趣，这些可以通过在教材的相关数学模块中通过数学史料、实际

问题等内容，抛出合理问题，建立讨论机制、互动模式，通过讨论等方式激励学

生发散思维，在思维的碰撞中自我感悟数学的思想与方法。而教师的思想导向作

用，则是指教师在教学过程中首先要转变只重视重点知识，只重视理论学习的教

学思维，注重数学整体框架的教学，采用灵活的方式充分的发挥感性材料、理论

知识、思想方法、应用例题等内容要素各自的作用，加强对学生数学思维的培育。

教师要在充分吃透教材，领会数学思想方法的基础上，在授课过程中加强对学生

领悟数学思想方法的引导与认知，打通各个数学知识点之间的联系，为学生构造

起完整的数学知识体系⑺。

3.5灵活融合数学史料

数学史料一直是数学教材中极易被忽视的一部分。数学史料讲的是数学的发

展历史，是一个数学理论成长的过程，呈现的是数学理论发展的规律，它符合一

般人对数学理论的认知过程，蕴含着丰富的数学思想与方法。通过数学史料的讲

授，给予学生完整的数学世界观，对于学生构建完整的数学体系及其重要。数学

史料的融合，往往有直接融合与间接融合两种方式。直接融合是指在数学教材中

介绍概念、定理等演变的历程，这个方法是对数学知识的直白阐述，但是会有枯

燥、乏味的缺点；间接融合则是对数学名题、数学悖论乃至于数学发展史上的名

人轶事进行介绍，这种方法是对数学知识的隐晦传授，但内容相对有趣，易吸引

人。传统的教材与教学中，注重数学史料的直接融合，而忽视J'间接融合，对于

学生的兴趣培养不利。灵活融合数学史料则要求在数学教材的设置与教学的过程

中，在阐述概念、