考研数学（数学三）模拟试卷419

考研数学(数学三)模拟试卷419

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

sin»

1、设f(X尸］一"则f(X)的可去间断点的个数为().

A、1

B、2

C、3

D、0

标准答案：C

知识点解析•：先找出f(x)的间断点，再用可去间断点的下述定义判别其个数，若

f(x()+O)=f(x()—0)即f(x)在x=x()处极限存在，但其极限值不等于在该点的函数值，

则该点为可去间断点.显然，x=0,1,一1为f(x)的间断点，

因lim亘=

r-ox-xx-0X(l~X)LOI-z

..sinjtxsin(n-nz)_r

£工一工s工呷%(1—z)(l+ar)x)(l+x)

=|.n(l-z)=n

—x)(14-x)2'

sinnx_-sinG+mz)_sinn(l+x)

v=21^x(1-X)(1+x)=-21^X(1-X)(lTz)

二_太(1+工)=_三

xl?ixd-x)(l+x)2'即f(x)

在x=0,—1,1处的极限均存在，且f(x)在这些点处乂无定义，故x=0,-1,1

均为f(x)的可去间断点.仅(C)入选.

2、设f(x)在x=o处3阶可导，且r(o尸o,f'(o)=o,r(x)>o,则().

A、x=0是f(x)的极小值点

B、x=0是f(x)的极大值点

C、在点(0,f(0))的左、右邻域曲线产f(x)分别为凹与凸

D、在点(0,。(0))的左、右邻域曲线y=f(x)分别为凸与凹

标准答案：D

知识点解析：利用泰勒展开式及相关概念的定义判别之.由泰勒公式及题设得到

四工”1

f(x)=f(O)+f(O)x+2!6f"(0)x3+o(x3)，f(x)-f(O)=6r(0)x3+o(x3).故当冈

充分小且XVO时，f(x)-f(O)<O；当x>0时，f(x)—f(O)>O.因而f(O)不是极

值，排除(A)、(B).又洛f"(x)按皮亚诺余项展开，有

f,,(x)=f,(0)+f,"(0)z+o(x)=f"'(0)x+o(x).当冈充分小且xVO时，r(x)VO(因F'”(0)>

0),故曲线产f(x)在点(0,f(0))的左侧邻域为凸.当x>0时，因『"(0)>0,故

f'(x)>0,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))的右侧邻域为凹.仅(D)入选.

3、函数f(x)=|x3+x?—2x|arctanx的不可导点的个数是().

A、3

B、2

C、1

D、0

标准答案：B

知识点解析：利用下述判别法判别.设f(x)=|x—a|(p(x),其中(p(x)在x=a处连

续.若(p(a)=O,则f(x)在x=a处可导且f(a)=(p(a)=O；若中⑶翔，则f(x)在x=a处不

可导.为此，常将函数中含绝对值部分的子函数分解为一次因式|x-a|的乘积。

因f(x)可分解成f(x)=|x(x2+x—2)larctanx=|x(x+2)(x-1)|arctanx=|x||x+2||x一

1|arctanx.显然arclanx在x=0,—2,1处连续.因|x||x+2||x—

l||arctanx=|x|(pi(x),其中(pi(x)|x=o=|x+2||x一l|arctanx|x=o=O,故f(x)在x=0处可

导.|x||x+2||x-l|arctanx=|x—l|(|x||x+2|arctanx)=|x—l|(p2(x),而当x-1时，

<P2(x)lx=i=|x||x+2|arctanx|x=i/0,故f(x)在x=l处不可导.又|x||x+2||x—

l|arctanx=|x+2|(|x||x一I|arctanx)=|x+2|(p3(x),(p3(x)|x=-2=|x||x一l|arctanx|x=-

2/0,故f(x)在x=—2处不可导.仅(B)入选.

J)___

4、设1=Dxydxdy»其中D由曲线y=，l-d，y=—x和y=〃£一工所围成，则

I的值为().

A、1/6

B、1/12

C、1/24

D、1/48

标准答案：D

知识点解析：D的示意图如右图所示，需分段求出I.

将区域D分为两部分，在第一象限的部分记为Di,在第二象限的部分记为DX见

右图).求出y=-x与\=，1一了的交点为(-1/氏1/转)・

1

Fydxdy=jprydxdy+jp?dxdy

p/Jp(•J

=)网百加+卜也xydy

一外业+斗二,z(l—2xz)dr=

48•仅①)入选.

-11r

1-i

aaT

1-111

5、设a为四维列向量，0r为a的转置，若1-1则

aTa=()-

A、3

B、6

C、9

D、4

标准答案：D

知识点解析：由所给的知阵等式观察出a的元素，从而易求出a「.因

一1,1,1],

则a=[H-1,1,

1,1][1,一1,1,1/=1?1+(-1)(一

1)+1.1+1.1=4.仅(D)入选.

6、设向量组四，,013,Pi线性相关，向量组cq,,。3，位线性无关，则

对于任意常数k,必有().

A、aj,a2，a3，印]邛2线性无关

aj,az，。3，k0i+B2线性相关

C^aj,a2,(13,m+岬2线性无关

D、ai,。2，a3,pi+k02线性相关

标准答案：A

知识点解析•：可用线性无关的定义证明,由于k为任意常数，令k取某些特殊值也

可用排错法判别。对于任意常数k,证明(A)成立.设1101]+12&2+13口3+14(郎1+命)=0

下证14=0.若1#0,则k0i+02可由ai,012，(X3线性表示，由题设知01能由ai，

。2，013线性表示，因而02能由。1，。2，013线性表示，这与囚，(X2，，。2线

性无关相矛盾，所以14=0，则上述等式可化为1|川+12a2+13。3=0.而01],(12，(X3

线性无关，故h=0,12=0，13=0,所以ai,a2,ci3，助+的线性无关.仅(A)正

确。当k=0时，显然(B)、(C)不成立。当k=l时，(D)不成立.事实上，由题设

ai,a2,a3,的线性无关，如果ai,，013,0|+的线性相关，而ai，a?,(13

线性无关，P)»Ct],(X2，(X3线性相关，则。]能由(XI，(X2，(13线性表示，而也不

能，于是仇+仞不能由al，a2,a3线性表示，所以(D)不成立，仅(A)入选.

7、设随机变量Xi和X2相互独立同分布(方差大于零)，令X=Xi+aX2，

Y=Xj+bX2(a,b均不为零).如果X与y不相关，则().

A、a与b可以是任意实数

B、a和b一定相等

C、a和b互为负倒数

D、a和b互为倒数

标准答案：C

知识点解析：利用X和Y不相关的充要条件判别之.X与Y不相关的充分必要条

XY

件是P=0，即cov(X,Y)=0.cov(X,Y)=cov(Xi+aX2,Xi+bX2)=D(Xi)+(a+b)

cov(Xi,X2)+abD(X2).由于Xi与X2独立同分布,有cov(X],X2)=0,且

D(XI)=D(X2).于是

cov(X,y)=04=>(1+a6)D(Xi)=0^I+ab=Q^ab=-1,囚而；1与6〃为负

倒数.仅(C)入选.

--101■

8、设随机变量Xi〜J51/21/4」仁],2),且P(X[X2=0)=l,则P(Xi=X2)等

于().

A、0

B、1/4

C、1/2

D、1

标准答案：A

知识点解析：利用边缘分布与联合分布的关系及题设P(X]X2=0尸1求之.由题设

有P(X|X2/0)=l-P(X1X2=O)=1一1=0.设X1的取值为XI,X2,X3,X2的取值

为yi，y2，y3，则

yi=T>2=0%=1

工1.-1Pi\»=1WO)=OPnpn=P(Xiyj=-1#0)=0

x：=0PixPu加3

-1pi\-P(X»I——iy=o>-oPi3--1^0)-0

由X1的边缘分布得到Pl1+P12+PI2=O+P12+O=P(X|=—1)=4,则pi2=4;

++

P31P32P33=0+P32+0=PIXI=1)="，则p32="；又由X2的边缘分布得到

PlI+P21+P31=O+P21+O=PiX2=-l)=4，则p2i=4;p13+p23+p33=0+p23+0=P(X2=1)=4,

1

则P23=";由X2的边缘分布得到pi2+P22+P32=l/4+p22+l/4=P(X2=0)=l/2,则

P22=0.故

X-101

-101/40

01/401/4

101/40

所以P(xi=yi)=O,P(X2=y2)=0,P(X3=ys)=0,即P(Xi=X2)=0.仅(A)入选。

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

9、若函数y=[f(x2)]5,其中f为可微的正值函数，则dy=

12/(x2)(/(x2))±7(/(x2)iln/(x2))]dx.

标准答案:

知识点解析：y为累指函数，为求其导数，可先用取对数法或换底法处理，再用复

合函数求导法则求

之.

因为于是

八/)一2lnf(z2)++••Z(X2)・2T

=3斗舟八"扑，(〃斗

故dy=y'dx=[2r(x2)(/(x2))*1—^7(/(x2)*ln/(x2))lir.

、口、i.

]im〉/~2k/ft=____________,

10、…仁〃+〃e/

标准答案：arctane-7t/4.

知识点解析：分母提取因子n,再使用定积分定义求

原式已星与1+e21/-=L7dx=LTTT?7

7=arctane*10-arctane-K/4.

XI

二arclane'Io=arclane一TI/4.

11、Jo^dx葭xe-/dy=.

标准答案：4・

知识点解析：直接先求内层积分无法求出.可变更积分次序，再用r函数计算较

简；也可用分部积分法求

r回:：&=『/对户=引「对，&

=阈:犷=工巴卜/卜为（7）

之.

1=fir

12^差分方程yx+i-2，

\2）的通解是

行准依案％=c（H倍［

知识点解析：先求对应的齐次差分方程的通解，再求特解。齐次差分方程yn+1—

0yx=O的特征方程为九一彳二0,解得特征根人=0，故齐次差分方程的通解为

C佶).因0*A传)，

22(特征根不等于底数)，放其特解为丫**=\2/代入

原方程得A=2故所求通解为"‘(2)+2(2)・

标准答案：0.056.

知识点解析：由定义或同一表格法分别求出X,Y与XY的分布，再求其期望。

ro11「-1o11

X-，丫〜，

Lo.400.60JL0.180.500.32J

「一1011

XY〜.

由表易知L0.080.700.22J因此

E(X)=0x0.40+1x0.60=0.60,E(Y)=(一1)x0.18+0x0.50+1x0.32=0.14,

E(XY)=(-1)x0.08+0x0.70+1x0.22=0.14.从而cov(X,Y)=E(XY)—

E(X)E(Y)=0.056.

14、设Xi，X2，…，Xn是取自正态总体N(0,『)9>0)的简单随机样本,

1*__—_

匕=工(14A&，则cov(X*»XH-I)=・

标准答案：RI'

知识点解析：利用协方差的有关性质，特别是线性性质求之。

AJH-1

cov(X>tXl+1)=cov｛工与x.,厂门)

1k宁)

=Km)§2cov(x,,x>).

由于XiXj(峋)独立,

cov(Xi,Xj)=O,又cov(Xi，Xi)=D(Xj)=o2,则

cov(X*,X4+i)=4aliD#cov(Xi，XJ

K_____2_0

a

k(k+i)=r+i*

三、解答题(本题共9题，每题分，共9分。)

15、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0)=0,当x>0时，f(x)>0.证明

对任意自然数匕存在代(0,I),使/(—《〉

标准答案：将上式中的自改为x,并将上式改写为r(x)f(i—x)—kf(x)f(i一

x)=0.令g(x尸一[f(l-x)『，应作辅助函数F(x户f(x)g(x),则

FXx)=[f(x)g(x)]-{f(x)[f(l-x)『}，=r(x)[f(l—x)]k-k[f(l一X)]k'f(l-

x)f(x).令F(x)=f(x)[f(l—x)『，则由罗尔定理知，存在年(0,1)使得F0=0,

即f(^)[f(i一9『一k[f(i一_9f(9=0.整理即得

/(0/(1一0•

知识点解析：暂无解析

16、求方程y"+y=4sinx的通解.

标准答案：对应的齐次方程的特征方程为/+1=(),解得『土i,则齐次方程的通解

为Y=C]COsx+C2sirix.因0土i=±i为特征方程的根，故所给方程的特解形式为

yv=x(acosx+bsinx)=axcosx+bxsinx,代入原方程并比较两边的系数得a二一2,

b=0.所以y*=-2xcosx于是所给方程的通解为y=Y+y*=Cicosx+C2sinx一

2xcosx.

知识点解析：暂无解析

y

X

JJJE+

17、计算噂D是图中的阴影区域.

标准答案：区域D可视为两圆域之差（见右图），从而所求积分可化为两圆域上的二

y

重积分之差，且用极坐标系计算.设Di为大图，D2为小

J=0JW+0《心+y2ch

D成D,

图，则

知识点解析：暂无解析

〃（z）=当e号（千吨/年）.

18、已知某产品总产量的变化率为£问：（1）投产多少

年后可使平均产量达最大值，此最大值是多少？（2）在达到平均年产量最大时，再

生产3年，求这3年的平均年产量.

标准答案：（l）t年后平均年产量为

贸力=也=萍T.

得唯一驻点1=3.因当1>3

的Q）由Q）

时,“<0；当tV3时，山>0,故1=3为极大值点.因驻点唯一，该点也

是最大值点，最大值为贸3)=10©-1.(2)

灰力=把八。市ve'dt=K30e-'d(-7)

=乳d"=岑eT|*=10(e-+-e*,).

知识点解析：首先要算由l年屋平均年产量的表示式，再按微积分中的一般方法求

出极(最)大值点即可。

19、设f(x)在(0,十⑹内连续，f(l)=3,且丁严玲"E?也冲+丫/地油，其中x,

yG(0,+oo),求f(x).

标准答案：在等式两边依次对x,y求导，有y(xy)=Jp'f(t)dt+yf(X),

xf(xy)=xf(y)+J|Xf(t)dt.①在式①两边对x求导得到f(xy)+xyf(xy)=f(y)+f(x).②

a

取x=l,由式②得到f(y)+y7(y)=f(y)+3,得P(y尸，，积分得f(y)=31ny+C.由

f(l)=3,知C=3,所以f(y)=3(lny+l),即f(x)=3(lnx+l).

知识点解析：在所给等式两边分别对x,y求导.为去掉积分号需对x两次求导，

再将f(l)=3代入化为f(y)所满足的一阶微分方程解之，求得f(y),即f(x).

20、设有2个四元齐次线性方程组：

([)Xi+x2=0,(JJ(Xi-x2+x3=0,

x2-x4=0jlx2-x3+x4=o.方程组①和(n)是否有非零

公共解？若有，求出所有的非零公共解？若没有，则说明理由.

标准答案：关于(I)和(II)的公共解，可以用下列几种方法求之.把(I)、(口)联立

起来直接求解，设联立方程组的系数矩阵为A,用初等行变换将其化为含最高阶单

位矩阵的矩阵，直接写出其基础解系，从而求出所有的非零公共

「1100]rloor

010-1aio-1

A=*

1-110001-2

解.JO1-11.,0'000.由于n-r(A)=4-

3=1,基础解系是1.,1,2,”T,从而方程组(i卜(II)有公共解，且所有的

非零公共解为k[-1,1,2,1]Tk是任意非零实数：通过⑴与(口)各自的通解

寻找公共解，为此，先求方程组(U)的基础解系为外尸[0,1,1,op,2=[一1，

-i,o,1]T.下求方程组(I)的基础解系，由

110oirioor

.01o-1JLo1o一1」知，其基础解系含2个解向量：&=[0,

0,1,0]T,&=[一1,l,0,1]T.那么k哥+k2s，"1+12Tl2分别是(I)、(』)的

TTT

通解，令其相等，则有ki[0,0,I,0]+k2[-1,1,0,l]=li[0,I,1,0]4-l2

[一1,一I,0,I],，由此得[一k2，k2,k],k2]T=[一匕，h—I2，h，

12]T.比较两个向量对应分量得到ki=h=2k2=2”所有非零公共解是2k2[0,0,1,

0]T+k2[—1，1，0,l]T=k2L1,1,2,if,其中k2为非零任意常数.

知识点解析：两个齐次线性方程组的公共解可用多种方法求得.

21、设A为三阶矩阵，有三个不同特征值入1，九2,入3,对应的特征向量依次为

叫，（X2,013，令。=ai+ct2+a3.⑴证明：。不是A的特征向量；（2）。，A。，A2p

线性无关；（3）若A3p=Ap,计算行列式|2A+3E|.

标准答案：（1）可用反证法证之；（2）用线性无关定义证明；（3）因p,Ap,A2P线性

无关，用矩阵表示法可求出A的相似矩阵B,由|A|二|B|得|2B+3E|=|2A+3E|.⑴证

一假设0为A的特征向量，则存在Xo,使A0=kop,即A（ai+a2+a3）=Xo<

ai+ao+as）,得（k\-Xo）ai十（入2一口）。2+（九3一Ao）as=0.由ai,ai,（13线性无关

知入i=Xo=0，入2一Xo二O,九3一Xo=O,从而有2“=入2=九3,这与已知条件矛盾，因此

。不是A的特征向量.因（XI,（X2，。3是属于不同特征值的特征向量，故a|+C2+（X3

必不是A的特征向量:.（2）设kip+k2A[Hk3A2P=0,则

（ki+k2Q+k3入J）ai+（k[+k2入2+k3122）a2+（ki+k2入3+k3入23）ct3=O.由ai,012，013线性无

俏i+A"i+瓦"=0,

JM+&久2+自*=0，

关，得〔乐+4木+儿后=0・因上方程组的系数矩阵的行列式为三阶范德蒙行

列式，又因Q#九2743，故该方程组只有零解，故k尸k2=k3=0.所以0,Ap,A2[3

线性无关.⑶由题设有A[p,A[P，A2p]=[Ap,A2p,A3p]=[Ap,A2P，APHP，

300

232=15.

023

知识点解析：暂无解析

22、⑴设Xi，X2，…,Xn是来自参数为3的泊松分布总体的一个样本，试求人

的最大似然估计量和矩估计量.（2）设X],X2,…，Xn是取自总体X的简单随机

f(z)=袅一苧，—oo<x<+oo,A>0.

样本，X的概率密度为ZA试求入的矩

估计.

—

标准答案：(1)泊松分布的分布律为P(X=x)="！*x=0,1,2,其最大似然函

.

L(A)=(热％”)/(xi!S!…二!)，

InL(A)=gzJnA一/一InJJz!,

lw1

41n^A)=(2x.)/A-n=0,

"»=i

故人=上交4，即，=工£与以的最大似然估计依为，=冗

n£n仁

,因E(X)一yk-g(-1)!一明凌一1)!

=入•1=4,

数为令E(X)=A=又,则［=X为入的矩估计量.⑵

待求参数虽然只有一个，但由于X的一阶矩等于零，即IJgxfaMxtO,需考虑

其二阶矩UOYXARX作矩估计，因

E(")=匚"…加=J二尸•%卬业

=2『东*北=六厂(打e仔)

=—T⑶=2AS而样本二阶矩为

7故入的矩估计量为

2升=内格,即［=屣京OA>0).

知识点解析：未知参数的矩估计量可用样本原点矩代替同阶的总体原点矩即可:为

此，应先求出总体原点矩。为求九的最大似然估计，先写出最大似然函数，再对

参数求出其导数.令其等于()，求出用样本表示参数的式子.

23、设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，Y服从参数入=2的指数分布，且X,

Y