高数下知识点

微分方程

一、一阶微分方程求解

例1.求下列方程的通解

可分离变量方程字"⑴人⑶)

I3

dx(1)yJ/+』；

齐次方程—=(/)(-)y

dxx

(2)盯'=Jy_y2+.；

一阶线性方程孚+PMy=Q(x)

dr1

),=.回力］&幻/如皿也+0⑶y，=2x29

32

/八,6x+3xy

全微分方程(4))

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(丝=/3x2y+2y3

(办dxJ

关键：辨别方程类型，掌握求解步骤

提示:⑴因=/3/,故为分离变量方程：一///dy=炭dx

I

通解—e~y3=ex+C

3

(2)xyf=\x2-y2+y

方程两边同除以x即为齐次方程，令y=〃x,化为分

离变量方程._______

x>o时，y,=、1-(-)2+-,xu，='1"

\XX

》<0时，歹'=■xu'=-\1-u2

⑶户了二

2x-y

调换自变量与因变量的地位，化为亍dx-2x=-歹2,

用线性方程通解公式求解.y

6x3+3xy2

(4)y=-

3x2y+2y3

这是一个齐次方程.令"=>

x

二、高阶线性微分方程

(1)线性微分方程解的结构

定理1.若函数y(X),外(X)是二阶线性齐次方程

y"+I\x)yr+0(x)y=0

的两个解，则y=Gy(X)+(X)(G，G为任意常数)

也是该方程的解.(柠加原理)

定理2.若必(x)/2(x)是二阶线性齐次方程的两个线

性无关特解,则y=+c2y2。)(GC为任意常

数)是该方程的通解.

定理3.设y*(x)是二阶非齐次方程

/+/")》'+Q(x)y=/(x)①

的一个特解，丫(口是相应齐次方程的通解，则

y=y(x)+y*(x)②

是非齐次方痛的通解.“

定理4.设"(x)(〃=1,2,,〃)分别是方程

f

y"+l\x)y+Q(x)y=fk(x)(%=1,2,・•・,〃)

的特解，则V=£K是方程

k=ln

/+P(x)V+。(加=ffk(%)

的特解.(非齐次方程之解的目加小虱.)

例4.设线性无关函数必/2，%都是二阶非齐次线

性方程y"+P(x)V+2(x)y=/(x)的解，G<2是任意

常数，则该方程的通解是(I)).

的。旧+。2歹2+为；

,GM+C2乃+(。+。2)为；

+02乃一(1一(1一(2)为；

(。)(Ji+('2y2+(1一一(’2)'3・(89考研)

提不：(C)GO7]-为)+。2(为一乃)一乃

(。)Ci(y{-y3)+C2(y2-y3)+y3

乃一乃，乃一乃都是对应齐次方程的解，

二者线性无关.(反证法可证)

例5.已知微分方程y"+p(x)yf+q(x)y=f(x)有三

个解必=x,%=",%=求此方程满足初始条件

xo)=i,y(o)=3的特解.

解：乃-乃与乃-乃是对应齐次方程的解，且

"二以=与二王工常数

%一M《7

因而线性无关，故原方程通解为

x2x

y=q(e-x)+C2(e-x)+x

代入初始条件y(0)=1,了(0)=3,得G=-1,。2=2,

故所求特解为y=2/v-1.

二阶常系数线性非齐次微分方程：

yn+pyf+qy=f(x)(p,q为常数)

根据解的结构定理，其通解为

齐次方程通解非齐次方程特解

/(x)=/L型

当，是特征方程的《重根时，

可设/*0加(幻/“(〃=0,1,2)

/(X)=J''[//(x)COS69X+Pn(x)sin0x]型

%+/0为特征方程的AT：根(女=0,1),则可设特解:

k/x

y*=xe\Rmcosd+八〃？sinox]

其中m=max{/7,/}

X二阶常泰皴畿性微分方程的解挫

F+py"+4，=。(p,芽为常数)

特征方程：/+pr+q=0,特征根：外，〃

特征根通解

外。〃实根歹=(/、+的/'

r\=r2=~i

ax

八,2=a±Ry=e(C}cosJ3X+C2sin/?x)

以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.

例6.(填空)设V+N=/(x)

I)当/(X)=xcosx时可设特解为

y*=x[(6/X+A)C0SX+(cx+c/)sinx]

2)当j\x)=xcos2x+J"时可设特解为

y*=(ax+b)cos2x+(ex+d)sin2x

提示：1}(X)COSCOX-VPn(X)Sin69x

kAx

y*=xe[Mcos69x+Rm(x)sin69x]

m=max{z?,/)

便7.求微分方程V+W+4y=*»的通解(其中a

为实数).

解:特征方程户+4r+4=0,特征根：八二/2=-2

对应齐次方程通解：y=(G+。2幻。一”

任本一2时，令/=%能。代入原方程得A=

J(a+2)2

2xax

故原方程通解为y=(C[+C2x)e-+1^e

。=_2时，令代入原方程得8=]

*1232ax

故原方程通解为y=(q+C2x)e-^^xe

三，可降阶微分方程的解法一降阶法

1.”)=/(x)

逐次积分

2./=/(")

令」=以孙则歹"

dr

3.yn=J\y.yf}

令y二p(y)，则歹"=夕＞

例8.解初值问题

r

、歹|》=0=。，y\x=o=1

解：令V=则/=〃包，代入方程得

二dy

pdp=eydy

积分得"2=疗7+6

利用初始条件，得G=0,根据P产0=川》=0=1>0,得

dy

—=n=e-v

dx

积分得-e•'=x+C\,再由Wx=o=°，得C'2=-1

故所求特解为1—-X

例9.设/(x)二阶导数连续，且满足方程

/U)=sinA-J；(x-"(/)M

求f(x).

提示：/(x)=sinx-x1/(/)〃/+/(/)出,则

八幻=cosx-力-工了(幻+xf(x)

f\x)=-sinx-f(x)

问题化为解初值问题:｛常:广)益;;

1.X

最后求得/(X)=-sinx+-cosx

22

空间解析几何

一.向量运算及其基本性质一

数量积a-b=\a\\b\cosO6=cos(of)

(1)fl-fl=|fl|2.(2)a・b=o

数量积的坐标表达式Ci-b=axbix+avybJvr+aJzbJz

—♦

两向量的夹角余弦=>(：0§。=亘2,

I引叫

森/uo想及+/与+翻丸="

向量积axb

”，=同6卜加(%(),%力,QX5符合右手法则

axb=-bxa

应用S^RC=^ABXAC

明力平行=〃xb=O=&"

bbb.

x人JYG

c=axb,贝!!cJ_%c_L〃・

二空间直畿与平面的方程

空间平面

一般式4c+a+Q+Q=0

点:（朝，得,而）法向量焉=".方，0}

点法式4（x-通）+B（y-y。）+0（2-%）=0

空间直线

对称式匕%=匕&=口

x=x0+m/（与，见，z0）一点;

参数式<>=%+"，

1二{用，凡尸}方向向量.

、z=zo+〃/

X线面之间的相互关系

平面：/x+恢+Cz+Q=0,7J={A,B,C}

mnp

平行：~s-ri=0v>m4+nB+pC-0

夹角公式:sin。=

-sI—n»

4.距离公式

⑴点“0（通/0/0）到平面n：Ax+By+Cz+D=O

的距离为：1_I4%+（Z+/）|

J/2+外+。2

（2）点/o（Xo，M），z（））到直线八七色=匕竺=三幺

,，一一mnn

的距离为：।=-T,

,1Z7

d=..=Ki-x（）y\-yo4—Z0

ytjnr+“

丫mnp

三*空间曲面与曲蹒方程

1.空间曲面^（------三兀方程产（X,>%z）=0

2

•球面小一凝产+（y-y0）+（”〃面2=衣2

■旋转曲面

如，曲线1/?；）=。绕m轴的旋转曲面：

IX—U

〃士［W+/,刃=。

•柱面

如，曲面/心，y）=0表示母线平行幺轴的柱面.

又如，椭圆柱面，双曲柱面,抛物柱面等.

2.二次曲面^--->三元二次方程

222

■椭球面「+与+1=1

a2b2c2

・抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面

⑴M同号）X2”2x2y2

+—=z----+—=z

2P2q2p2q

•双曲面：单叶双曲面双叶双曲面

22

xyZ)T

a2b2c2L*

22

•椭圆锥面：］十一=z2

a1o

二、实例分析

例1.求与两平面x—4z=3f02x-y-5z=1的交线

平行,且过点(-3,2,5)的直线方程.

提示：所求直线的方向向量可取为

—♦—♦—♦

---7kI

s=n[xn2=10-4=(-4,-3,-1)

2-1-5

利用点向式可得方程

x+3_y-2_z-5

4=3=1

例室求直线，,与平面

2x+y+z-6=0"=,

的交点.

提示：化直线方程为参数方程

x=2+/

<J7=3+/

z=4+2/

代入平面方程得/=-1

从而确定交点为CU%2)-

例3.求直线

x+y-z-1=0在平面x+y+z=0

x-y+z+1=0

上的投影直线方程.

提示：过已知直线的平面束方程

x+^-z-14-Z(x-y+z+l)=0

即(1+几)x+(l—4)y+(—l+4)z+(—l+4)=0

从中选择A使其与已知平面垂直:

(1+%)・1+(1-几)・1+(-1+/1)・1=0

得为=-1,从而得投影直线方程

；^-z-l=0---------这是投影平面

x+y+z=0

多元函数微分法

1.二元函数的定义域、极限与连续

•判断极限不存在及求极限的方法

•适T放缩、变显替换转化为一元函数的极限

•连续的概念

2.二元函数的偏导数与全微分

df_

Z；,工'(xj),

dx?dx

=lim/(“°+©，No)一/(X。)

Ax->0Ar

分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;

dz=/；(xj)ck+/；(xj)dy

重要关系:

3.多元函数微分法

［显示结构

（1）分析复合结构

隐式结构

自变量个数=变量总个数-方程总个数

自变量与因变量由所求对象判定

（2）正确使用求导法则

“连线相乘,分道相加”

注意正确使用求导符号

（3）利用一阶微分形式不变性

4.方向导数与梯度

函数外,7）在点卅（打,凡）可微，则沿任一方向/的

方向导数存在，’

%=AxoJo）cosa+/；（XoJo）cos£

d,5m

其中cosa,cos£是方向/的方向余弦.

dfdfdf

=■cos:/+,cosp+cosy

dldxdydz

grad/（x0,^0）=/；（/J）+/；（.%J。））,

函数在梯度方向上的方向导数最大

5*多元函数微分法的应用

（1）在几何中的应用

求曲线在切线及法平面（关魂:抓住身向窗

求曲面的切平面及法线（:关键;振件法向量）

C2）极值与最值问题

・极值的必要条件与充分条件

,求条件极值的方法（消元法，拉格朗日乘数法）

,求解最值问题

思考与球习

L二元函数/（冗刃在点（天,为）处两个偏导数

.兀伉，必）存在，是/（元力在该点连续的（（D））.

（A）充分条件而非必要条件；（B）必要条件而非充分条件；

（C）充分必要条件；⑴）既非充分条件又非必要条件。

象二元函数/（工/）二卜J-+，广,（xj）w（Q。）在点（%%）处（©）

0（x,y）=（o,o）

（A）连续、偏导数存在；（B）连续、偏导数不存在；

（0不连续、偏导数存在；（D）不连续、偏导数不存在。

3.考虑二元函数八元切的下面4条性质：

①/（xj）在点处连续，

②/（XJ）在点（%，%）处的两个偏导数连续，

③/（xj）在点（天,打）处可微，

④在点（X。,%）处两个偏导存在。

若用表示可由性质P推出性质Q,则有（八）o

（A）③n①⑻③n②n①

（C）③=>加①（D）③=>①二④

翱10求极限

觞令：非二次+片当恒产）7国四附*夕—0,

7..p-sinp

5mL一而收三=lim-——r-:-

XT0—.p->0p

T(f+j/户

..1-cosp［.sinp

=hm----=hm———

"T03P/T°6P6

例2,设W=/(x+y+z,xyz)，/具有二阶连续偏导数,

dwd2w

:——,-------

dxdxdz

解：令Z/=X+y+Z7#=XyZ7则

卬=/(〃/)

［=/11+/平

=力'(X+-+z,xyz)+yz月(X+歹+z,xyz)

就=力1・1+电・盯+v月+"［月］・1+・把］

C/九C7N-

为简便萩觉7蜕大川除+盯2z/玄+y月

例3.设人(X,历具有连续偏导数，已知方程//(X,1)=0,

求dz.zz

解法1利用偏导数公式.设z=/(》))是由方程

尸(±4=0确定的隐函数，则

zza=/zF；

.(一习+/.；,(一玄)x+V%

dz______・,____________z12

dy~印(一去)+弓・(_今一"""'；

故dz=ch+『dy=「(/沔+外片)

exdyxFx+yF2Q

解法2微分法.对方程两边求微分：

尸"=0

zz

/7・d(:+娉・d(1)=0

zz

邛("T吗+弓.(9y)=o

ZZ

z2Z

dz=：(^dx+Kdy)

xFx+y?2

例"求球面X2+2J/2+3Z2=36在点(1,2,3)处的切

解：令F(x,y,z)=x2+2y2+3z2-36

法向量57={2x,4y,6z}耳”)={2,8,18}=2{1,4,9}

切平面方程2(x-l)+8(j；-2)+18(z-3)=0

即x+4》+9z-36=0

法线方程x-1y-2z-3

1=4=9

翻黑求函数z=xe2y在点P(1,O)处沿从点P(1,O)到

点。(2,T)的方向的方向导数(沿直线的方向导赞)

解:这里方向/即向量画={1,-1}的方向，与/同

向的单位向量为

因为函数可微分，旦浮

=e2y=1,

OX1(1,0)(1,0)

dz2j，

=2xe二2,

(i,o)

(1,0)

所求方向导数为亲=1^+2(-^)=--

(1,0)、2\22

制心求旋转抛物面Z=x?+必与平面x+y-2z=2

之间的最短距离。

蝌.〃(匕1,二)为鳞懒固二二.V。,「上在一X知芦

WWx+y-2z-2=0将麻离为

d=U=|x+^-2z-2|

同遂妇鳗为6

［目赢弱熟(x+y-2z-2)2(min)

N：麻卷x2+/-z=0

维覆掇通徵=(x+y-2z-2『+A(z-x2-y2)

/-'(匚【二)=(.v+1—2二一2-十2(三一k-J户)

广片=2(工斗中一坊一有一”君00

,整;二空中旷一勿一2)_24y=0

做「

线=2(第4y—北一2X—2j+2

解此方程组得唯一驻点x=ly=lz=1.

448

由实际意义最小值存在，除

11111_7

^=7?4+4-4-2=W6

例7.求/(xj)=x(y—l)在上半圆周x24-/=3(y>0)

与X轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值。

解：（i）在D内部W=yT=o仆1/八八

&驻点（0,1）,

J二。

如

（2）在x轴上^=0,-V3<x<V3,〃兀。）二r

/（-V3,0）=V3,/（V3,0）=-V3

（3）在上半圆周上尸序了，-V3<x<V3,

Z(X,^,2)=X(J-1)+2(X2+/-3)

L[=y-l+24x=0

«L'v=x+2Ay-0

X2+/-3=0

可能的条件极值点1±行、台[63s出

IS-2=±4

C2

\/

比较上述五个点处的函数值得

二f{~邪,。）=也,篇=/（"。）=-£

注:边界容易显化时，转化为无条、件极徐

边界不易显化时¥用Lagraa嚣乘教法管

多元函数积分学

1.二重积分的计算

直角坐标系情形：

=即黑）/（“）u

JV（"）db=『dM：（；〃“）dx

极坐标系情形：

./（"）d。=ffpcos8/sin6）也d9

=f"d6/2（"）/（rcos^,rsin^）rdr

JaJ%（0）

选择合适的积分顺序：必要时交换积分顺序

利用区域的对称性与被积函数的奇偶性。

2.三重积分的计算

直角坐标靠第

方法1,投影法(“先一后二”)_

BV(3z)dv=]J0dx呵:蓝/(“⑶出

方怯M截面法(“先二后厂”)

jjj/(",Z)dP=J：dzjjf(x9y9z)dxdy

C1D-

柱坐标蔡笈.玄侦是将M,面上的点用极坐标表示

JJ|f(x,y9z)dxdydz=j|jf(rcos6,rsin4z)rdrdffdz

QQ

JaJr}(0)JZ](rcos<?,rsinO),)

酸面邈球施

B]/(xj/)dxdydz=]肝(。,0，)♦p'n”Ipd0d6

QQ

产(PM,。)=/(psin0cosapsin夕sin0,pcos(p)

例]交换下列积分顺序

/(xj)dy+J；"ckJo8-x2

/(xj)dy

解:积分域由两部分组成:

+y2=8

0<y<\8-x2

2：2

啜烹工2<x<2\2

y

视为忆型区域，则

o2272%

42y<x<^-y2

D:

0<y<2

/=JJ7(xJ)dxdy=。町'：一厂小j)dx

例3「计算二重积分。加7-

D

其中。为圆周x2^y2=所围成的闭区域.

提示:利用极坐标

(0<r</?cos0'r=Rcos0

原式=「de［"cos，八〃2-Md/

J-宠Jo

=2/?3^(l-sin3^)d^

例3计算jj歹一x2松T.其中Z):-l<x<l,0<J<1.

D

解先去掉绝对值符号，如图

JJy-x2^ta

D

=ff(x2-yyia+Jj(j-x2y/a

Dj+D?Uj

v2

=pirjo(x-y)dy+「少［：(7一片)@=・

例4.计算三重积分jjjxdxdydz,其中Q为三个坐标

面及平面x+2y+z=「所围成的闭区域.

z<\-x-2y

解：Q-0<^<|(l-x)

、0<x<l

JUxdxdydz

Qf1"。一幻尺1X2y

=JoxAdxJodyj°(~~dAz

=二田］，1)(1-2y)dy

=-2x2+x3)dx=—

4*48

例6.计算三重积分明罂号’其中。由抛物面

x2+y2=4z与平面z=//(//>0)所围成.z

^<z<h

解：在柱面坐标系下。乂0<r<2^l~h

O<0<2;r

,.一Xy

原式=frl7T帕

J()AV=rdrd^dr

&%rr2

=27r\--(h——}dr

Jo4

=-[(l+4/?)ln(l+4/?)-4/?]

4

3.曲线积分的计算

积分上限大于下限

第一类曲线积分(弧隼匕二〜

£/(x,y)ds-=)^/z(z)17^2(z)+(0d/

第二类曲线积分(坐标)

[P(xj)dr+2(xj)dy

JL

=，{“so“(/)](p(f)+。[。()“(/)】〃'(/)}dt

积分限从弧的起点到或“-

4.曲面积分的计算

篥一类曲面积分£面枳)

光滑曲面Z:z=z(x,y)9(x,y)eDxy

fff(x,y,z)dS

=JJ/(xJ))J1+z；2(xJ)+z[2(x,y)dxdy

4，

第二类面面枳分f型标》：曲面的侧

JJ〃(x,y,z)dxdy=±jj。&(x,y,z(x,y))dxdy

5.格林公式会将平面曲线积分转化为二重积分

条件L闭区域D是由分段光滑正向曲线L围成，

条件蠹函数尸(xj),Q(x,y)D上具有连续一阶编导教

［饕嗡眄=产+驯

复连通区域上的格林公式：

外边界的正向是逆时th内边界的正向是胴忖钟

‘整洞法”和s封口法”两类典型方法

色高斯公式2将曲面积分转化为三重积分

没空间闭区域。由分片光滑的闭曲面Z所围成，

裳件L用曲面Z的方向取外侧；

条件室P,。,火在Q上有连续一阶偏导薮，

+~+~dxdydz图濒*叠式)

嵋\dxdydz

=屯Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

高斯公式中“封口法”的使用

7.格林公式的应用工

(1)平面曲线积分］/尸公+。力在单连通区域G内

与路径无关V=►誓=T

at砂

(2)二元函数的全微分求积问题.、

Q朋

R/r+0改为某个二元函数〃的全微分<=>；=乐

3xdy

Lf("J)八，/、，

且〃=Pdx+Qdy

J(今，)b)

(3)利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简

化平面曲线积分。

例1.计算］/「&•,其中上是抛物线歹=一上点o(o,o)

与点3(1,1)之间的一段弧.

解：・・・/二、=工2(0<^<1)

1/产心=1%.\1+(2X)2

y例i』)

=「x\1+4—dx

=—(1+1X

12

=^(5V5-1)

例Z求.『=JH疝y-+间杰+®颉y-myfy

y

酷等磬〃2

dxQy

补充有向线段04形成比曲线，满足条件

/记户/磁力y—僦&£+')］由:+(£缓篇辎费”

好°xuy北京

1=-jJd：siny-啾x+y)]dt+(/cmy-电4y

在CM上，y=0,dy=O,x从0变到2。幽麴口辍评

m/rcTf2。3瀛彩z?

Iz=------------mxax=---

2Jo2

例3.计算曲线积分J(siny-y)(ir+x(cosy-l)以

其中£为从点0(0,0)沿圆周/+J,=2x

在第一象限部分到4(1,1)的路经。y

2

解：由于义=cosy-仁竺y=\2x-x

A

dxdy

故所曲线积分在xoy面内与路径无关，B

因此考虑改变积分路径：OB+BA0x

Jjsiny_y)dx+x(cosy_l)dy

=Jg+以Giny-y)dx+x(cosy-\)dy

Jjsiny_y)dx+x(cosy-l)dy

+物⑸”_y)dx+x(cosyT)dy

在OB上，y=0,省=0,

，用(siny-y)dx+x(cosy7)dy

=[0-J.r=0

J0

在/IB上，x=l,dx=0,

J/(siny_y)dx+x(cosy-l)dy

=j'(cosj-l)^=sin1-1

£(siny-y)6/r+x(cosy-l)(yy=sinl-1

例4,设曲线积分J/92d工+70（x）dy与路径无关，其中

火力具有连续导数,且姒0）=0,计算

］；：）切2dx+y（p（x）dy的值.

解：先求出。（工），

由?-二孚，得2盯=坟/（力

dyox、J

即0（x）=/+c又40）=0/.c=o

得0（X）=/

［（L1）xy2dx+yx2dy=，工］,"）=-

J（。,。）2-^o,o）2

倒鼠设椭球面的表附嬲为.M

跳,设£:必+必=1,M

r不工狼豕£涮黑圈线游

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领第iffxdydz+ydzdx+zdxdy-4冗abc

E

豳嶷作施琳薪◎

例8.计算j］/yzdS,其中Z是由平面x+y+z=l与

坐标面所围成的四面体的表面.

解：设Z|,Z2，Z3，Z4分别表示Z在平面

x=O,y=O,z=O,x+y+z=\上的部分，则

iy

原式xyzAS

JJ?xyzdSdS=Jl+zj+z；dxdy=A/^dxd(

vi/、八fO<y<l-x

L4.z=\-x-yt(x9y)eDxy:i。九4

='3小时：\(—)力=五0

例9.计算曲面积分［［孙zdxdy,其中Z为球面+

+y2+z2=1外侧在第一和第八卦限部分.

解：把Z分为上下两部分

Xi：Z=-1-x2-y2X

VSi

3=\1q7(x，i

xy・x>0,y>0

/.j^xyzdxdy=xyzdxdy+［卜盯zdxdy

=-JL9(-\12_y2)dxd“

%+JLxyJI-x2-y2dxdy

=2JJxy\-x2-y2dxdy=2/

Dx715

2

例10.设2为曲面z=2-x-/,1WZW2取上侧，求

/加z+x)dydz-x2yzdzdx-x2z2dxdy.

解：补Z：:z=l取下侧

22

Dxy={(x,y):x-^y<

/二ffTJ柱坐标

=Jjjdxdydz_(_］)jj(

I2?1

=J；deJ。「呵Jdz-］：8s2ed6Jo，"

=137

12

无穷级数

007^^S(X)(在收敛域内进行)

»，〃(x)

〃二0展开

当

X=xo时为数项级数；

00

当zj(x)=时为哥级数；

〃二0

当un(x)=ancosnx+b降sinnx

(4,粼为傅氏系数)时，为傅立叶级数.

基本问题：判别皴散,求收数域今

求和函魏拳级数展开.

L常数项级数的性质及审敛法

设收敛级数S=石〃〃

limun-0.

n=\00

正项级数的判别法:

比较审敛法比值审敛法根值审敛法

交错级数的判别法：莱布尼兹判别法

任意项级数的判别法绝对收敛与条件收敛的概念

.特殊级数收敛性：等比级数、调和级数、P一级数

2.嘉级数的收蒸域与和函数

嘉级数收敛域的性质.阿贝尔定理

嘉缓数收敛半径的求法:

00〃

Z*/的系数满足limI*11=0则4=

n=o28anp

收敛域的求法.只含奇数或偶数项、关于(X-Xo)的累级数

・标准形式幕级数：先求收敛半径式，再讨论》=±火

处的敛散性.

［通过换元转化为标准形式

•非标准形式幕级数.

直接用比值法或根值法

事级数和函数的求法

•求部分和式极限

•初等变换法：分解、套用公式

•利用性质法(在收敛区间内)

.数项级数f直接求和：直接变换，求部分和等

求由［间接求和：转化成曷级数求和，再代值

例L求下列级数的收敛域：

71=1乙1

〃+12(〃+1)

x

解：因Hm=］沁上-----------=

，T8Un(x)w->cc〃2〃2

2〃

x2

当］<1,即时，级数收敛；

当工=±\2时，一般项〃〃不趋于0,级数发散;

故收敛区间为(-、2,\2).