考研数学（数学三）模拟试卷279

考研数学(数学三)模拟试卷279

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设f(x)在［a,b］上连续，在⑶b)内二阶可导，且r'(x)>O(xW(a,b)),又

/="叱£3(…)M=/(亨卜…)，M则下列不等式成立的

是

A、L>M>N.

B、L>N>M.

C、M>L>N.

D、N>L>M.

标准答案：B

知识点解析：【分析一】由题设知y=f(x)是［a,b］上的凹函数，借助几何直观我们

就口丫选出正确答案.L,M,N分别代表梯形ABCD,梯形ABFGF与曲边梯形

ABCGD的面积(如图⑴)，G是点।212〃EF是曲线Y=f(x)在点G处的切

线.于是由面积的大小关系可得L>N>M.故选

B.⑴⑵【分析二】y=f(x)M［a,

b］上的凹函数，由凹函数的性质可知

/⑺)爪)>/(亨)♦/(亨)(一审)C；二

L2”几何意义

是：弦沆曲线y=f(x)(x€(a,b))的上方，除C点外曲线y=f(x)(x曰a,b］)在曲线上G

点的切线EF的上方，如图(2)).将不等式中各项求积分得

♦倒值M同堂jo小>"C其中

=♦勺“@・；《一)2

6•«2

=g“)…)…

jMW4/，(乎乂一审)*加,一“)•()=,”

Jwl'2/12八2/JI2J因此L>N>M.故选B.

2、设f(x)在［0,1］上连续，又J"、皿"则

A、F(x+7t)>F(x)(x6(-oc,+co)).

B、F(X+TC)

C、F(x4-jr)=F(x)(xG(一00,+oo)).

D、x>0时F(X+TI)>F(X),X<0时F(X+TI)

标准答案：C

知识点解析：【分析一】f(IsinxI)是以兀为周期的周期函数，因而有

/II-♦••>(♦1T)|-/(wilU)

A'(x+ir)&If(\«in/|)ib======Jj(|»iu(»4+IT)|)d(u-¥it)

JZl-d—因此选c.

【分析

illr'*TWzi<T

・S(n-U+IT)-F(*)=(/(IMini)di-I/(Isitundi,

二】考察J…由于

/(阿一、『)-/(5dM”什加(一却)“l・im|)=0(x£(—8,

/(I♦F))-/(1>m.t|)•仆”(…造)|)■仆”(*，孙)于是

+8))，其中

0(x)=前数=0(0)

-f/(sin(f・TT)j)dr-|、i“f\)«b

Jnj0

.Q

=［7(•「/(山=0(Vx).

Jo/<•因此选c.

3、设f(X)在(-8,+8)上连续'<")=//(,则下列命题中错误的是

A、若f(x)是偶函数，则F(x)必是奇函数.

B、若f(x)是奇函数，则F(x)必是偶函数.

C、若f(x)以T为周期且是偶函数，则F(x)以T为周期且是奇函数.

D、若f(x)以T为周期巨是奇函数，则F(x)以T为周期且是偶函数.

标准答案：C

知识点解析：由变限积分(/'9的性质以及堪称区间上奇偶函数积分的性

质便可知A,B,D均正确，而C是错误的.或直接举例说明C是错误的.例如

f(x)三1是以T为周期的偶函数，但""⑺出二x不是周期函数，显然C不对.

4、若方程y+py+qy=O的一切解都是x的周期函数，则一定有

A、P>0,q=0.

B、P=0,q>0.

C、P<0,q=0.

D、P=0,q<0.

标准答案：B

知识点解析：这是二阶常系数齐次线性方程，其通解形式由特征方程J+Pr+q=O的

特征根”=2“a’所决定.①当p2—4q〉0F寸，n，r2为不等的实特征根，

原方程通解为y=cie'+cze?，这时y不可能是x的周期函数.②当p?―4q=0时，

E7

「尸2」2,原方程的通解为，=«+2)。’，也不?•能是x的周期函数.③当p2

一4q<0时，。―・与・—工原方程的通解为

,=。,回喂.不力…出行班只有当尸0时，它的通解才是X的周期

闲数，这时q>0,故选B.

5、下列矩阵中属干正定矩阵的是

12r

230

A、L105-

120'

25-I

B、L。・13-

I23"

250

C、L0-I

100'

023.

D、1。34-

标准答案：B

知识点解析：正定的充分必要条件是顺序主子式全大于0,正定的必要条件是

I2

aij>0.C中a33:一1<0,必不正定；A中二阶顺序主子式231必不正

定；D中｛阶顺序主子式IAI=—1<0,必不正定.由排除法可知，应选B.

6、设n维向量ai，a2……as的秩为r,则下列命题正确的是

A、aj,a2...as任何r—1个向必必线性无关.

B、ai，a2...as中任何r个向量必线性无关.

C、如果s>n,则a必可由a],a2...as线性表示.

D、如果r=n,则任何n维向量必可由ai，a2...线性表示.

标准答案：D

知识点解析：r(ai，U2...as)=rc^ai，a2...as中一定存在r个向量线性无关，而

任意r+1个向量必线性相关.当向量组的秩为r时，向量组中既可以有「一1个向

量线性相关，也可以有r个向量线性相关，故A、B均错误.例如向量ai,(X2,a3,a4

分别为(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(3,0,0,0),其秩为3,其

中ai,a4线性相关，aig,«4也线性相关.该例说明，4维向量可以有2个向量线性

相关，也可以有3个向量线性相关.但肯定有3个句量线性无关.当s>n时，表明

ai，a2...Os必线性相关,此时有理由可以由ai，…,ai-i,cq+i…，…，as线性表

示，但不一定能由四，…，0^1线性表示.故C不正确.若r(ai，

02...a5)=n,则对任何n维向量P必有r(ai,ai...as»p)=n故D正确.因此应选

D.

7、设事件A,B,C足一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为Q,则下列

结论中一军成立的是

A、是一个完备事件组.

B、A,B,C两两独立.

C、AUB与了U*独立.

D、HE是两两对立事件.

标准答案：C

知识点解析：入八建=逅=&而任何事件与概率为1的事件都独立,因此应

选C.进一步分析，由于AUBUC=C,若CW。，则AUB，Q,/八而小0,g|J

入，*相容；若C二°，，犷]=〃，但A与B不能都是必然事件Q,故“公不能都是

不可能事件0,即八・。・3不会两两互不相容，它们不能构成一个完备事件组，也

不能两两灯立，即选项A、D均不正确.其实，用文氏图判断A、D不正确，更是

一目了然.又因A,B,C两两不相容，于是有P(AB)=P(AC)=P(BC)=O,只要A,

B,C中有两个事件的概率大于零，A,B,C就不可能两两独立.因此也不能选

B.

8、设Xi，X2，…，X“+i是取自正态总体N(0,屋)的简单随机样本，记

A、T

B、二I

C、ko2.

D、o2.

标准答案：B

cov(x*)=cuv(-Lyx—y.Y)

知识点解析：建念r；t+—"由于X1，X2，…，Xn+l相互独

立，当峋时,cov(Xi，Xj)=0；当日时,cov(Xi，Xj)=o2,所以

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

9、极限=2叱-.

标准答案：1

lim-=lim-=0.._

知识点解析；由洛必达法则可得……”从而令”",«作换元，可得

|im£1^12=lim—=1

XT+8对应U—>0,于1,1r-一。«

性

10、设u(x,y)=y2F(3x+2y).若'2*则dx=.

8

标准答案：于L2>-l)

知识点解析：【分析一】由"(七卜J得:八3-1)即F(3X+])=4X2.设

I4、j

=

3x+l=t「=P-)则"‘)T)从而/⑶*2y)=y(3x+2,-1户于是

“(r,y)=^-y2(3x+2)-I)2

2

-=^ry(3x+2y-I)•6=春尸(3x+2y-I)「八垢一】山/、2口/二,o、

693【分析一】由u(x,y)=yF(3x+2y)

曰,"=3/尸(3#+2,)/、=>--^-F1(3x+1..〃(『・；)=6=

可得而①a、八十4②又由I21

)anR

£，小③由②，③"了/⑶+】)=2x,FY3-l)=于一寸[(3-1)-11

n广(3-2>)=/⑶+2…)代入①得M.(3,♦2y-l)

11、反常积分J。不如。>。)二.

IT

标准答案：2a

知识点解析：【分析一】令'=7,则

少=/2

o—♦a"JoI+(a/)’令

u.f**Inf.inu-ln«2,.w..IT.

,——=〃/1=---------------dt=70KT"'hu仔号/=【分析

«Jo1+(ar)*

三击=驷♦广]…山-二」我.「Incomdu

fa22aJo2aJo

二】令x=atant,则2aJ。2a

12、"连续且满足g(x尸l+2x+o(x)(x—0).又F(x)=f[g(x)],则

F'(0)=.

标准答案：4e

知识点解析：由g(x)在点x=0处连续及g(x)=l+2x+o(x)(x-0)一

g(0)=limf(x)=1

x—0

<

=>K(0)=lim&⑺二=limb+3]2由复合函数求导法及变限积分求导法

8-0XX-olXJ

尸(：山)|

0)=/'(l)g'(0)=(J/(,2=4e

ro00-I001

A:鄂5001I

则

13、已知L()0I-ILo0onJ.A-

o0

0

3

!

00

标准答案:T

ro10-|010-I00-100-

0=100004

J所以

知识点解析：因为L。0001--00-00

010-001

A=I0050I

■003」-00】」那么

I001r0O-

A-=0500

-00I」3-L001-

010,

00roio-ii

—o--4

0100=53

1L°°,J00；

L00

3」3

14、设随机变量X],X2,…，Xi2独立同分布且方差存在，则随机变量

U=X1+X2+…+X7,V=X6+X7+…+X|2的相关系数Ppv=.

2

标准答案：T

知识点解析：设DXi=J,由于随机变量X],X2,X12独立同分布，故有

712

cov（4.V）=£玄皿（.1,为）

/，1j«6

DU=DV=7』.=+DXy=2。2（因为i，/时,gv（Xj.Xj）=0）于是

cov（£/.V）24?2

Pm-.—~zzzi=r-7=v

VDUE7027

三、解答题（本题共14题，每题1.0分，共14分。）

15、求不定积分-J（】.♦）“,

标准答案：【分析与求解一】作变量替换八""（一字<’〈最，则有

In/tanl♦-^-dr

'cosx/cortf./1\.

--------:------------*-|ln(tanf+----hisinr

JvcoiU/

CO*/再分部积分得

Inros：4C.

于是

5mMw*)+ln|cw|.C根据三角形示意图，易变量还原得

=------ln(r+、/1+/)--ln(1■¥x2)♦C

/TTP2【分析与求解二】为了作分部积分，先求

1

dx*■fcoB21.f..

(].j产J-T-dr=JcoU也=sinr♦C

盛z同样由三角形示意图，变量还原得

—&______」_+C

“♦/尸”/TTP-于是由分部积分得

知识点解析：暂无解析

/=Il-----------------dxdy

16、计算二重积分n(1+x24-y2)Jxi+V1其中D={(x,y)Iy>0,

l<x2+y2<2x}.

引入极坐标x=rcosO»y=rsinO.区域D的极坐标表示为

O=[(r,e)0W8Wr42cos],,

I3，故

/=ir-----------------dxdv=3广

।-y2rl1(于

=—Jsin",ln(1+J)dO=——J(in(I+4cus2d)-In2]dcostf

=====-[ln(1♦4u')-In2]dw=tln(I+)du--^-In2

1152

=­In5--In2-(2u-arctan2u)

2

=—In5-In2-】♦drctanZ-■彳)

知识点解析：暂无解析

2

一.人一八—r“一本C(Q)=-16。2+100Q♦1000—尹

R(Q)=a-"^_bQ(a>0,0<A<24)£,=部

当边际收益MR=44,需求价格弹性时获

得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数a与b的值.

—I

标准答案：收益函数八⑷=Q"(Q)="。-5初，当取得最大利润时，边际收益等于

边际成本，即MR=MC.又MR二R二a—bQ,于是44=C'(Q)=2Q2—32Q+100,即

2

Q—16Q+28=0.解得Qi=14,Q2=2.又

d5.d2c...„d2c|d2ci

•一r=-b<n0,----r=4。-32.-----=24>0n.----r.=-24

dQ2dQ・dQ2|«=z&o"«=2故当Q=14时

d2C一("》即44叫「引得

dU,屈]企业利润取极大值.由于MR=N'(Q)

[82:一»14

p=82.又做Q)MP于是，当Q=14时，有[44=38

“-6x1心解得距120,6=7当

Q=2时，得6=38,不满足0VbV24的条件，故舍去.所以当产量Q=14时，企业

利润取极大值，也是坡大值.

知识点解析：暂无解析

，

18、求累级数s乙-，-仙----------+----Q---(---n------+-----2---)-的收敛域D与和函数S(x).

标准答案：【解法一】易知暴级数.2。几口亍(二”一的收敛半径1^=1,且级数存

收敛区间(一1,1)的两个端点X=-1与x=l处都收敛，从而级数的收敛域为[一

s(x)=y-7_国_—,Xe[-l.l])

1,1],令.…2)用X?乘上靠级数即得

*“＜，)=£""+；)(1,+2»、逐项求导三次可知必(川"=六"e(-卬再

1/S(x)："=|=-ln(I-x),x€(-1.1).

J0I-，

心⑴]，=Jln(l-t)ilt=jjn(l-r)d(I-t)

)ln(l-O

।Q>aI-<

=一(-«)ln(I-x),xe(-I.I).

积分三次，就有⑴山…(加(一/)出人.

-01•»(I-O]d/2+J(oI-i)I令1一t=U

(I—i)ln(I-r)<kwJ

lihiudu=、

。不(

作换元可得24利用求得的上述结果

即知当0<IXI<1时」⑴二;三-4/必”7）而5（0尸0.【解法二】用通项

।】丁：x"11*'

y---i-----Z丁.鼻”一一2^・

分拆法分解累级数可得・与乂“+】）（”♦力利用已知

的和函数公式：当0<IxI<1时：2'7就有

k丁ItIII\

)।3-I♦—>---I——ln(zI-x).

3t',।।温।

=-T*7lnn=-27，，，（，・”代入即得与【解法一】中同样的结

果.

知识点解析：暂无解析

（叭x）dx2f/（x）dx

19、设f（x）在[a,b]上连续且单调增加，试证：兀2兀

标准答案：【分析与证明一】引进辅助函数，把证明常数不等式转化为证明函数不

等式（可用单调性方法）.令

F（X）二J叭，）山-Zb）山，Xe[a.A].

F*（x）=xf（x）-x-yJ/（，）&=-yJf（1）

=gj,Sz）-/⑴：曲MO（iw[a,b]）、的、田才廿出

21。->F（x）单倜不减，故

F（x）>F（a）=O（xe[a,b]）特别有F（b）NO,即""力川【分析与证明二】

改写不等式，,要证2°分别在区间

卜胃1与【丁川上应用积分中值定理即可得证.要证

加）也>心力叫即要证J'1号>”他才0.又

'“：卜-胃+：（一中川"由积分中值定理*,存

在和€。【卡同使

/=f（fl）/.（X・胃+/（£力.（*_/4th

=（宁）-"G〕由f（x）单调增加，

电2）旗欧），故I知，得证.

知识点解析：暂无解析

0

(i)，ax।♦a2Xj=0,

已知4元齐次线性方程组心+=。的解全是4元方程(ii)xi+x2+x3=0的

解，

20、求a的值;

j|♦x%♦x4=0

,…、«*|*/4=

(m).

ax2♦=-0.

标准答案：因为方程组⑴的解全是(ii)的解，所以⑴与*,♦*+*、=。同解.那

I0

II0

H=0/

a0M00a0

么⑴和(iii)的系数矩阵L。“o“?」与I有相同的秩.如a=0,

则r(A)=l,而r(B)=2,所以下设a#0.由于

I0I•

・1”—I

0”因为a和a—1不能同时为0,故

秩r(A)-3.又

II0

8="°M

0a0

III

£

"-2,r(B)=3,此时(i)与(iii洞解.

知识点解析：暂无解析

21、求齐次方程组⑴的解；

II0I

4一02T2।1T

标准答案：由于UoI-J基础解系为"卜妻♦・2」」)，则通解是kn，

其中k为任意实数.

知识点解析：暂无解析

22、求齐次方程(ii)的解.

标准答案：由于X|+X2+X3=0的基础解系为T|l=(—1，1，0，0)T，n2=(—1，o，

1，0)T,n3=(0,0,0,1)T,则通解是kini+k2r|2+k3n3，其中ki，k2，k3是任意实

数.

知识点解析：暂无解析

已知三元二次型XTAX的平方项系数均为0,设a=(l,2,一1)T且满足Aa=2a.

23、求该二次型表达式；

)

022aI-tt=2.

一〜二4,

标准答案：据已知条件,・2」即2“门=-2解出

ai2=2,ai3=2,a23二一2,所以XAx=4xIX2+4X1X3-4X2X3.

知识点解析：暂无解析

24、求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换.

-2-2

|八£-AxA2=(A-2)2(A+4)

标准答案：由2A得矩阵A的特征值为2,2,

-2-21I-I-J

(2E-A)x=0,22-000

一4.由2「1。oo」得九=2的特征向量加二(1,1,

(-4)x=0,

T

0),a2=(h0,1)T；由o」得人一4的特

征向量。3=（一1，I，1）L将ai,a2正交化.令仇=01],则

1nI

〃（角・仇）。।1

S-Tfl~1^'=I=y-I

1。」I?」再对0|,阳。3单位化，有

!I

百.万「一

II

一=-A•

氏8