2023考研全国统考数学三期末试卷（精排打印版）

2023考研全国统考数学三期末试卷（精排打印版）一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡对应位置上。）1.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且满足$f(0)=1$，$f'(x)=f(x)\ln(1+x)$，则当$x\to0$时，$f(x)-1$的等价无穷小是（）A.$x\ln(1+x)$B.$\frac{x^2}{2}\ln(1+x)$C.$\frac{x^2}{2}$D.$x^2\ln(1+x)$2.设函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{xy}+xy^3-x=1$确定，则当$x=1$时，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$的值为（）A.$-1$B.$-2$C.$1$D.$2$3.设函数$f(x)=\int_0^x(x-t)\sint\,\mathrm{d}t$，则$f'(x)$等于（）A.$x\sinx$B.$(x-1)\sinx$C.$x\cosx$D.$(x-1)\cosx$4.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=0,f(1)=1$，则对于任意$\lambda\in(0,1)$，至少存在一点$c\in(0,1)$，使得（）A.$f(c)=\lambdac$B.$f(c)=\lambda$C.$f(c)=\lambda^2$D.$f(c)=\lambda^3$5.设函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则当$x\to0$时，$f(x)$的泰勒展开式中$x^2$项的系数为（）A.$-\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{3}$C.$-\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$6.设函数$f(x)=x^2\ln(1+x)$，则$f'(x)$等于（）A.$2x\ln(1+x)+\frac{x^2}{1+x}$B.$2x\ln(1+x)$C.$\frac{x^2}{1+x}$D.$2x$7.设函数$f(x)=\int_0^x\mathrm{e}^{t^2}\,\mathrm{d}t$，则$f'(x)$等于（）A.$\mathrm{e}^{x^2}$B.$x\mathrm{e}^{x^2}$C.$\mathrm{e}^{x^2}+x\mathrm{e}^{x^2}$D.$x^2\mathrm{e}^{x^2}$8.设函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}$，则当$x\to0$时，$f(x)$的等价无穷小是（）A.$1$B.$x$C.$\frac{x}{2}$D.$x^2$9.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,\mathrm{d}t$，则$f'(x)$等于（）A.$\sin(x^2)$B.$x\sin(x^2)$C.$\cos(x^2)$D.$x\cos(x^2)$10.设函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}$，则当$x\to0$时，$f(x)$的等价无穷小是（）A.$1$B.$x$C.$\frac{x}{2}$D.$x^2$二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡对应位置上。）1.设函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x^n}{1+x^n}+\frac{x}{2+x}\right)$，则$f(x)$的值域为________。2.设函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则当$x\to0$时，$f(x)$的泰勒展开式中$x^2$项的系数为________。3.设函数$f(x)=x^2\ln(1+x)$，则$f'(x)$等于________。4.设函数$f(x)=\int_0^x\mathrm{e}^{t^2}\,\mathrm{d}t$，则$f'(x)$等于________。5.设函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}$，则当$x\to0$时，$f(x)$的等价无穷小是________。6.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,\mathrm{d}t$，则$f'(x)$等于________。三、解答题（共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=0,f(1)=1$，证明：存在$c\in(0,1)$，使得$f(c)=c$。2.（10分）设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,\mathrm{d}t$，求$f'(x)$，并证明$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调增加。3.（10分）设函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}$，求$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式，并求$f(x)$在$x=0$处的各阶导数。4.（10分）设函数$f(x)=x^2\ln(1+x)$，求$f'(x)$，并求$f(x)$在$x=0$处的各阶导数。5.（10分）设函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x^n}{1+x^n}+\frac{x}{2+x}\right)$，求$f(x)$的值域，并证明$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续。6.（20分）设函数$f(x)=\int_0^x\mathrm{e}^{t^2}\,\mathrm{d}t$，求$f'(x)$，并求$f(x)$在$(0,+\infty)$上的最小值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：由$f'(x)=f(x)\ln(1+x)$，得$\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln(1+x)$。两边积分得$\lnf(x)=\int\ln(1+x)\,\mathrm{d}x=x\ln(1+x)-x+\ln(1+x)+C$。由$f(0)=1$，得$C=0$，故$f(x)=\mathrm{e}^{x\ln(1+x)-x+\ln(1+x)}=(1+x)^x\mathrm{e}^{x-1}$。当$x\to0$时，$(1+x)^x\to1$，$\mathrm{e}^{x-1}\to1$，故$f(x)\to1$。又$f(x)-1=(1+x)^x\mathrm{e}^{x-1}-1$，当$x\to0$时，$(1+x)^x\approx1+x$，$\mathrm{e}^{x-1}\approx1+x-1=x$，故$f(x)-1\approxx(x-1)=x^2-x\to0$。因此，$f(x)-1$的等价无穷小是$\frac{x^2}{2}$。2.C解析：对方程$\mathrm{e}^{xy}+xy^3-x=1$两边关于$x$求导，得$\mathrm{e}^{xy}(y+xy')+y^3+3xy^2y'=0$。当$x=1$时，$y=0$，代入上式得$\mathrm{e}^0(0+y'+y\cdot1)+0+0=0$，即$y'+y=0$，故$y'=-y=-0=0$。3.A解析：由$f(x)=\int_0^x(x-t)\sint\,\mathrm{d}t$，得$f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^x(x-t)\sint\,\mathrm{d}t=(x-x)\sinx+\int_0^x(-\sint)\,\mathrm{d}t=-\int_0^x\sint\,\mathrm{d}t=x\sinx$。4.A解析：由$f(0)=0,f(1)=1$，根据介值定理，对于任意$\lambda\in(0,1)$，至少存在一点$c\in(0,1)$，使得$f(c)=\lambda$。又$f(c)=\lambdac$，故至少存在一点$c\in(0,1)$，使得$f(c)=\lambdac$。5.B解析：由$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，得$f'(x)=\frac{x\cdot\frac{1}{1+x}-\ln(1+x)\cdot1}{x^2}=\frac{1-\ln(1+x)}{x^2}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}$。当$x\to0$时，$\ln(1+x)\approxx-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$，故$f'(x)\approx\frac{1-x+\frac{x^2}{2}-\cdots}{x^2}-\frac{x-\frac{x^2}{2}+\cdots}{x^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}+\cdots$。因此，$f(x)$的泰勒展开式中$x^2$项的系数为$\frac{1}{3}$。6.A解析：由$f(x)=x^2\ln(1+x)$，得$f'(x)=2x\ln(1+x)+\frac{x^2}{1+x}$。7.A解析：由$f(x)=\int_0^x\mathrm{e}^{t^2}\,\mathrm{d}t$，根据牛顿-莱布尼茨公式，得$f'(x)=\mathrm{e}^{x^2}$。8.C解析：由$f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}$，得$f'(x)=\frac{x\mathrm{e}^x-(\mathrm{e}^x-1)}{x^2}=\frac{\mathrm{e}^x(x-1)+1}{x^2}$。当$x\to0$时，$\mathrm{e}^x\approx1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots$，故$f'(x)\approx\frac{(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots)(x-1)+1}{x^2}=\frac{x+\frac{x^2}{2}+\cdots-x^2+\cdots+1}{x^2}=\frac{1+\frac{x}{2}+\cdots}{x^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2x}+\cdots$。因此，$f(x)$的等价无穷小是$\frac{x}{2}$。9.A解析：由$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,\mathrm{d}t$，根据牛顿-莱布尼茨公式，得$f'(x)=\sin(x^2)$。10.C解析：同第8题，$f(x)$的等价无穷小是$\frac{x}{2}$。二、填空题1.$[0,1]$解析：当$x\in(-\infty,0)$时，$\frac{x^n}{1+x^n}\to0$，$\frac{x}{2+x}\to\frac{1}{2}$，故$f(x)=\frac{1}{2}$；当$x\in(0,1)$时，$\frac{x^n}{1+x^n}\to0$，$\frac{x}{2+x}\to\frac{x}{3}$，故$f(x)=\frac{x}{3}$；当$x\in[1,+\infty)$时，$\frac{x^n}{1+x^n}\to1$，$\frac{x}{2+x}\to\frac{1}{2}$，故$f(x)=\frac{1}{2}$。因此，$f(x)$的值域为$[0,1]$。2.$\frac{1}{3}$解析：同第5题，$f(x)$的泰勒展开式中$x^2$项的系数为$\frac{1}{3}$。3.$2x\ln(1+x)+\frac{x^2}{1+x}$解析：同第6题，$f'(x)=2x\ln(1+x)+\frac{x^2}{1+x}$。4.$\mathrm{e}^{x^2}$解析：同第7题，$f'(x)=\mathrm{e}^{x^2}$。5.$\frac{x}{2}$解析：同第8题，$f(x)$的等价无穷小是$\frac{x}{2}$。6.$\sin(x^2)$解析：同第9题，$f'(x)=\sin(x^2)$。三、解答题1.证明：由$f(0)=0,f(1)=1$，根据介值定理，对于任意$\lambda\in(0,1)$，至少存在一点$c\in(0,1)$，使得$f(c)=\lambda$。令$g(x)=f(x)-x$，则$g(0)=f(0)-0=0$，$g(1)=f(1)-1=0$。由罗尔定理，至少存在一点$c\in(0,1)$，使得$g'(c)=0$，即$f'(c)-1=0$，故$f(c)=c$。2.解：由$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,\mathrm{d}t$，根据牛顿-莱布尼茨公式，得$f'(x)=\sin(x^2)$。当$x>0$时，$0\leqx^2<+\infty$，故$0\leq\sin(x^2)\leq1$，即$f'(x)\geq0$。因此，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调增加。3.解：由$f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}$，得$f'(x)=\frac{x\mathrm{e}^x-(\mathrm{e}^x-1)}{x^2}=\frac{\mathrm{e}^x(x-1)+1}{x^2}$。当$x\to0$时，$\mathrm{e}^x\approx1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots$，故$f'(x)\approx\frac{(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots)(x-1)+1}{x^2}=\frac{x+\frac{x^2}{2}+\cdots-x^2+\cdots+1}{x^2}=\frac{1+\frac{x}{2}+\cdots}{x^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2x}+\cdots$。因此，$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式为$1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\cdots$。各阶导数为$f^{(n)}(0)=\frac{(n-1)!}{2}$（当$n\geq2$时）。4.解：由$f(x)=x^2\ln(1+x)$，得$f'(x)=2x\ln(1+x)+\frac{x^2}{1+x}$。当$x\to0$时，$\ln(1+x)\approxx-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$，故$f'(x)\approx2x(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots)+\frac{x^2}{1+x}=2x^2-x^3+\frac{2x^4}{3}-\cdots+\frac{x^2}{1+x}=2x^2-x^3+\frac{2x^4}{3}-\cdots+x^2-x^3+\cdots=3x^2-\frac{3x^3}{2}+\cdots$。因此，$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式为$x^2+\f