河北省沧州市名校联考2025-2026学年高一数学下学期开学试题含解析

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.

Nx1x2

1.已知集合M2,1,0,1,2，，则MN（）

A.2,1,0B.1,0,1C.0,1,2D.0,1

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可求解.

【详解】因为M2,1,0,1,2，集合Nx1x2，

所以MN0,1，

故选：D.

2.在三角形ABC中，“cosAcosB”是“sinAsinB”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数的性质和充分必要条件的定义进行判断即可.

【详解】因为在三角形ABC中，0Aπ,0Bπ，cosAcosB，

所以AB，则sinAsinB，所以“cosAcosB”是“sinAsinB”的充分条件；

由于sinAsinB，所以AB或ABπ，又因为三角形ABC中，ABπ，

所以AB，所以cosAcosB.

所以“cosAcosB”是“sinAsinB”的必要条件；

综上，“cosAcosB”是“sinAsinB”的充要条件.

故选：C.

3.已知圆心角为2弧度的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为（）

ππ2

A.B.πC.2πD.

24

【答案】D

【解析】

【分析】先根据弧长求出扇形的半径，然后根据扇形的面积公式求解.

lπ

【详解】因为扇形的弧长为π，所以r==，

a2

11pπ2

所以S=lr=创π=．

2224

故选：D

2

4.已知函数fx2xa的最小值为1，则a（）

A.0B.1C.2D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】先利用二次函数x2的最小值为0，得到指数x2a的最小值为a，再根据指数函数的单调性，由

2a1解出a0.

【详解】y2x是增函数，所以fx的最小值由指数ux2a的最小值确定，

因为x20，所以ux2a的最小值为a（当x0时取得），

因此函数fx的最小值为2a，又已知fx的最小值为1，

所以2a1，解得a0．

故选：A.

5.当0a1时，关于x的不等式x31axa30的解集为（）

a3a3

A.，3，B.，3，

a1a1

a3a3

C.3，D.，3

a1a1

【答案】C

【解析】

a3a3

【分析】将原不等式转换为x3x0，在0a1的前提下，比较3和的大小即可得解.

a1a1

【详解】0a1时，1a0，

a3

不等式x31axa30可化为x3x0，

a1

a3a33a32a

因为3，且0a1，

a1a1a1

2aa3

所以0，3，

a1a1

a3

解原不等式，得3x，

a1

a3

所以原不等式的解集为x|3x.

a1

故选：C.

6.已知定义在R上的函数fx满足：fx1关于1,0中心对称，fx2是偶函数，且fx在0,2

上是增函数，则（）

A.f10f19f13B.f10f13f19

C.f13f10f19D.f13f19f10

【答案】D

【解析】

【分析】利用双对称函数来证明函数的周期性，再利用单调性可以比较大小.

【详解】因为fx1关于1,0中心对称，

所以fx对称中心是0,0，即fx是奇函数，故fxfx，

因为fx2是偶函数，所以fx的对称轴是x2，即f2xf2x，

所以f2xf2x中，将x替换为x2，得到fxf4x，

故fxf4x，将x替换为x4，得到f4xf8x，

所以fxf8x，因此fx的周期为8.

所以f10f2，f19f3f1，f13f5f1，

因为fx在0,2上递增且fx是奇函数，所以fx在2,2上递增，

所以f1f1f2，即f13f19f10.

故选：D.

7.设函数fxa2xa（a0且a1）在区间1,上单调递增，则a的取值范围是（）

11

A.1,2B.2,C.,1D.,12,

22

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数及复合函数的单调性求法，分析计算即可.

a

2xa,x

2

【详解】令t2xa，则f(x)at，

a

a2x,x

2

当0a1时，f(x)at在R上单调递减，

当a1时，f(x)at在R上单调递增，

aa

由一次函数的性质可得，t2xa在,上单调递增，在,上单调递减，

22

a

因为fx在区间1,上单调递增，根据复合函数的单调性可知a1，且1，解得1a2，

2

所以a的取值范围是1,2.

故选：A.

2m1

8.已知幂函数fxmm1x在0,上单调递增，若实数a,b满足a22abm，则

2a2b2的最小值为（）

353

A.B.1C.D.

442

【答案】B

【解析】

1a2

【分析】先根据幂函数的定义和单调性求出m，得到b，代入2a2b2利用基本不等式求解即可.

2a

【详解】因为fxm2m1xm1是幂函数，且在0,上单调递增，

m2m11

所以，解得m1，

m10

所以a22ab1，

1a2

易知a0，则b，

2a

22

1a8a412a2a49a2119a211

所以2a2b22a221，

4a24a244a2244a22

2

9a121

当且仅当，即a时等号成立，

44a23

所以2a2b2的最小值为1，

故选：B

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（多选）下列叙述中错误的是（）

A.若ab，则3a2bB.若a//b，则a与b的方向相同或相反

a

C.若，，则a//cD.对任一非零向量a，是一个单位向量

a//bb//ca

【答案】ABC

【解析】

【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.

【详解】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；

对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；

对于C，若b为零向量，则a与c可能不是共线向量，故C错误；

a

对于D，对任一非零向量a，表示与a同向的单位向量，故D正确．

a

故选：ABC．

2

10.已知函数fxlog1x2xaaR，则（）

2

A.当a3时，fx的单调递减区间为1,

B.当a3时，fx的单调递增区间为,1

C.fx1的图象关于y轴对称

D.当a1时，fx的定义域为R

【答案】AC

【解析】

【分析】利用对数函数的性质，结合复合函数的单调性判断选项A、B，利用函数的对称性结合奇偶性判断

选项C，利用赋值法判断选项D．

2

【详解】选项A、B：当a3时，fxlog1x2x3，

2

x22x30，解得x1或x3，

函数fx的定义域为,31,，

函数yx22x3开口向上，对称轴为x1，

函数yx22x3在1,上单调递增，在,3上单调递减，

1

01，fylog1y在0,上单调递减，

22

函数fx在1,上单调递减，在,3上单调递增，故A正确，

3,1不在fx定义域内，故B错误；

2

fx1logx12x1alogx21a

选项C：11，定义域关于原点对称，

22

若图象关于y轴对称，则fx1是偶函数，即fx1fx1，

2

fx1logx12x1alogx21afx1

11，

22

fx1是偶函数，其图像关于y轴对称，故C正确；

22

选项D：当a1时，fxlog1x2x1log1x1，定义域为x|x1，不是R，故D错

22

误．

故选：AC．

π1

11.已知fx2cosxsinx，下面结论正确的是（）

62

A.fx的最小正周期为π

ππ

B.fx在,上单调递增

46

C.fx在0,2π上恰有3个零点

π

D.fx的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称

6

【答案】ABD

【解析】

π

【分析】先化简fxsin2x，再由函数yAsinx的性质逐项判断即可．

6

π1ππ1

【详解】fx2cosxsinx2cosxsinxcoscosxsin

62662

31121

2cosxsinxcosx3sinxcosxcosx

2222

31π2π

sin2xcos2xsin2x，所以Tπ，故A正确；

2262

πππππππππ

令t2x，当x,时，t2,2,，

646466632

πππ

因为ysint在,上单调递增，且t2x是关于x的一次函数，且单调递增，

326

ππ

所以fx在x,上单调递增，故B正确；

46

ππkππ

令fxsin2x0，则2xkπ，kZ，解得x，kZ，

66212

当x0,2π时：

ππ5π

当k1时，x；

21212

π11π

当k2时，xπ；

1212

3ππ17π

当k3时，x；

21212

π23π

当k4时，x2π，共4个零点，故C错误；

1212

ππππ

fx的图象向左平移个单位长度后，得到的函数为ysin2xsin2xcos2x，

6662

因为cos2xcos2x，所以ycos2x是偶函数，其图象关于y轴对称，故D正确．

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知正方形ABCD的边长为1，ABa，BCb，ACc，则abc为_____________．

【答案】22

【解析】

【分析】根据向量的加法法则和模长进行计算.

22

【详解】abcABBCACACAC2AC21122.

故答案为：22

ax

13.若f(x)3（a为实数且a0）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则

x22

MN_____________

【答案】6

【解析】

【分析】根据fx关于0,3对称即可求解.

axaxax

【详解】由于fxfx336，可得f(x)3关于点(0,3)对称，

x22x22x22

故MN6.

ππ

14.将函数fx2tanx0的图象向左平移个单位，得到函数gx的图象，若gx为

63

奇函数，则的最小值是_____________．

【答案】1

【解析】

ππ

【详解】将fx2tanx(0)向左平移个单位，

63

ππππ

得：gx2tanx2tanx，

3636

πkπ

又因为gx为奇函数，所以,kZ，

362

3k1

整理得：,kZ，

2

311

又因为0，所以1.

min2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知集合Ax2x5，Bxm1x2m1.

（1）若集合B为非空集合且ABA，求实数m的取值范围；

（2）若AB，求实数m的取值范围.

【答案】（1）2m3；（2）m2或m4.

【解析】

【分析】（1）分析得出BA，结合已知条件可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范

围；

（2）分B、B两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数m的不等式（组），由此可求得实数

m的取值范围.

m12

【详解】（1）由ABA知BA，因为B为非空集合，所以，2m15，解得2m3；

m12m1

（2）当B时，由m12m1得m2，此时B，满足AB；

m152m12

当B时，或，解得m4.

m12m1m12m1

综上所述，m2或m4.

1

16.已知函数fx是函数gxlogax（a0，且a1）的反函数，gx的图象过点,2．

9

（1）求函数fx的解析式；

（2）若g3x1gx5成立，求x的取值范围．

x

1

【答案】（1）fx

3

13

（2）xx

32

【解析】

【分析】（1）先根据gx的图象经过的点坐标求出a，然后求出其反函数即可；

（2）结合对数函数的定义域及其单调性求解不等式即可.

【小问1详解】

1

因为gxlogax（a0，且a1）的图象过点,2，

9

11

gxlog1x

所以loga2，解得a，所以．

933

又因为函数fx是函数gx的反函数，

x

1

所以fx．

3

【小问2详解】

因为函数gxlog1x的定义域为0,，且在0,上单调递减，g3x1gx5，

3

3x10

13

所以x50，解得x，

32

3x1x5

13

所以x的取值范围为xx.

32

17.某芯片生产企业准备再建一条AI芯片生产线，在现有条件下，每月生产x（千片）芯片，每片芯片售

价0.3万元且全部销售完.该生产线每月需投入500万元的固定成本，另需投入的成本Gx（万元）与x的

2x2200x,0x40,

关系满足：Gx2500

301x1400,x40.

x

（1）求每月的利润Fx（万元）关于月产量x（千片）的函数解析式（利润=销售额-成本）；

（2）求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量.

2x2100x500,0x40,

【答案】（1）Fx2500

900x,x40.

x

（2）最大利润是800万元，此时月产量为50000片.

【解析】

【分析】（1）根据Fx300xG(x)500，分0x40、x40分别求出函数解析式，即可得解；

（2）当0x40时根据二次函数的性质求出最大值，当x40时利用基本不等式求出最大值，即可得解.

【小问1详解】

当月产量为x千片时，销售额为0.3x1000300x（万元），

∴Fx300xG(x)500，

2x2200x,0x40,

又Gx2500

301x1400,x40.

x

当0x40时Fx300xG(x)500

300x2x2200x5002x2100x500，

当x40时Fx300xG(x)500

25002500

300x301x1400500900x，

xx

2x2100x500,0x40,

所以Fx2500

900x,x40.

x

【小问2详解】

当0x40时，

Fx2x250x6257502(x25)2750750，

当且仅当x25时取等号.

25002500

当x40时，Fx900x9002x800，

xx

2500

当且仅当x，即x50时，取等号，

x

∵800750，

∴该企业每月所获取的最大利润是800万元，此时月产量为50000片.

1π

18.已知函数fxcos2x

36

（1）求函数fx的增区间

（2）直接写出fx取得最大值时x的集合；

2π133π

（3）若关于x的方程9fxacos2xa0在0,上有四个不同的实数根，求实数a的

3424

取值范围．

5ππ

【答案】（1）kπ,kπ,kZ；

1212

π1

（2）xxkπ,kZ；

122

6

（3）a1.

5

【解析】

【分析】（1）根据余弦函数的图像性质即可求解；

11π1

（2）由题意，可得fx的最大值为，令cos2x，解方程即可求解；

3363

（3）将函数fx的解析式代入方程，结合三角恒等变换，化简可得

2ππ11

cos2xacos2xa0，通过换元法结合函数图像性质分析，即可求解.

3342

【小问1详解】

1π

由题意，函数fxcos2x，

36

π5ππ

令π2kπ2x2kπ,kZ，解得kπxkπ,kZ，

61212

5ππ

故函数fx的单增区间为kπ,kπ,kZ；

1212

【小问2详解】

11

由题意，可得fx，即fx的最大值为，

33

1π1π

令cos2x，即cos2x1，

3636

ππ1

故2xkπ,kZ，解得xkπ,kZ，

6122

π1

故fx取得最大值时x的集合xxkπ,kZ；

122

【小问3详解】

2π13

由9fxacos2xa0，

342

2ππ13

可得cos2xacos2xa0，

6342

2ππ13

即sin2xacos2xa0，

3342

2ππ13

即1cos2xacos2xa0，

3342

2ππ11

即cos2xacos2xa0，

3342

2π133π

又根据题意，方程9fxacos2xa0在0,上有四个不同的实数根，

3424

2ππ113π

即方程cos2xacos2xa0在0,上有四个不同的实数根，

33424

π211

令tcos2x，则tata0，

342

轹

3πππ11ππ33

又，则，所以，即Îê-÷，

x0,2x,1cos2xtê1,÷

433632滕2

ππ11π

令T2x,，则tcosT，如图，

336

2ππ113π

所以要使cos2xacos2xa0在0,上有四个不同的实数根，

33424

211