全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷15

全国自考公共课线性代数(经管类)模

拟试卷15

一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

1、向量组a”(X2和向量组a2,(X3均线性无关,则向量组ai，a2,013()

A、一定线性无关

B、一定线性相关

C、不能由ai，a3线性表示

D、既可以线性相关也可以线性无关

标准答案：D

知识点解析：设则叫，线性无关，Q2»(X3线性

0

0

无关,但a>(12,C13线性相关;又设a尸则a1，(X2线性

无关,。2,a3线性无关，但ai，a2,013线性无关.

1

-2

2、设,则a3=时，有a],(12，ct3为M的基.()

A、(0,0,1)T

B、(0,1,0)T

C、(1,0,1)T

D、(2,1,2)T

标准答案：A

知识点解析：首先易知ai，a2线性无关(其坐标不成比例，)又令A=(ai，a2，&3)，

则ai，s，。3线性无关,|A|¥0.由于A的左上角2价主子式(记为|Aiil)不等于0,

0

0即可.(此时IA1=

U

故选a3=|An|x1^0).

3、设有向量组囚=(1,—1,2,4),a2=(0,3,32),a3=(3,0,7,14),

04=(L一2,2,0),a5=(2,1,5,10),则该向量组的极大线性无关组是()

A、a],a2，a3

B、a],a2，04，as

C、ai，a2,04

D、ai,a2，as

标准答案：C

知识点解析：(aj,。2,，。3,，O4T，a5T尸

(103121rl312103

rj4rj°]n-3nf12、

33-13|r21r3|o1101

-130-21r4-2n0

21725n-2no1101ri-4r3poo—]0

.1214010JU00-4oJlo0000,

故aj,aiT»CLJ线性无关，从而ai

,a2,(14是极大线性无关组.

4、若矩阵A与B等价，则()

A、|A|二|B|

B、A与B相似

C>A与B合同

D、r(A)=r(B)

标准答案：D

知识点解析：A与B等价的充分必要条件为A,B为同阶方阵，且r(A)=r(B).

5、设A,B是n阶正定矩阵，则是正定矩阵.()

A、A*.B*

B、A*+B*

C、kiA*+k2B*

D、A*—B*

标准答案：B

知识点解析：因为A,B是n阶正定阶阵，则A*,B*也是n阶正定矩阵，所以对

于任何非零实列向量x都有XTA*X>0,XTB*X>0,二式相加

XTA*X+XTB*X=XT(A*+B*)X>0对任何非零实歹U向量都成立，由定义知，A*+B宗为

正定矩阵.答案为B

二、填空题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

1oo

A=120

6、设U13'WJ|-A|=,|A2|=

标准答案：一6,36

知识点解析：|A|=(—1)3网=一网=一6,|A2|=|A|2=36.

7、设A为3阶方阵，其特征值分别为1,2,3,则IA+2E仁.

标准答案：60

知识点解析：|A+2E|=(l+2)x(2+2)x(3+2)=3x4x5=60.

8、若A2=E,则矩阵A的特征值为.

标准答案：X=±l

知识点解析：设A的特征值为入，对应的特征向量为。则A9就，

A2?A.Aq=A.a=KA&.又因A29E0故/炉E。又因为自为特征向量，故

九=±1.

A=,B=

9、设矩阵［2°U1°1J.©JATB=

22

-20

标准答案：I$1J

12)(22)

「2on

A1B=-10=-20.

Lo1J

知识点解析：I3I61J

10、已知a=(2,1,3),0=(-1,3,6)贝!I2a+30=.

标准答案：(1,11,24)

知识点解析：2a+3p=(4,2,6)+(-3,9,18)=(1,11,24).

122

A=022,

11、°°3它的第3行第2列元素0的代数余子式A32=

标准答案：一2

12

-2.

知识点解析:02

12

12、设矩阵45贝|J|AAT|=

标准答案：9

514

IAA9.

知识点解析:1叩:善扑1441

12=[T。]

25I26

13、己知,则*二

一-52-

标准答案:-22.

10-52-

X-

一22.

知识点解析：26

14^二次型f（xi，X2，X3）=X『+2XIX2+2X22+2X2X3+2K32的矩阵的系数矩阵为

,该二次型为定二次型.

110

A=»121，正

标准答案：1012

110

由题4=121.

012

11

由于-1>0・

12

110

且121=4-1—2>0,

知识点解析：012故该二次型为正定二次型.

15、二次型f(Xl，X2，X3)=a(X/+X22+X32)+4xiX2+4xiX3+X2X3经过正交变换X=Px可

化为标准形f=6yi2则a=.

标准答案：2

知识点解析：由二次型的标准形可知，二次型的矩阵A的特征值是6,0,0.由矩

阵的特征值的性质知，Ai+X2+A，3=6=aii+a22+a33=3a,故a=2.

三、计算题（本题共7题，每题7.。分，共7分。）

2111

1211

1121

16、计算四阶行列式11112

2]115111000

00

12115210100

10=5.

112151210010

01

标准答案：11)2512000

知识点解析：暂无解析

033

A=110

17、设〔一123J,且满足AB=A+2B,求B.

标准答案：

-23

AB=A+2B»(4-2E)B=1-1

-12

01101-10110

3033013253

1-123011033

01101-10110

3253010-123

1110.、001110

•

033

WB-(A-2E)-»A--123

110

知识点解析：暂无解析

110010)flo0120

A—011,P,=1oo=00.Pj=010

18、设11。101002001

0求:

⑴Pj013Ap3；Q)P2Api2013。

(010010100,

片00100010—E

标准答案：(1)因为1001.001001,,pF二p]2P尸p],故

nn2OI3

当位2为偶数时,Pi=E,当n为奇数时，P|=Pi，所以P]AP3=P1AP3,P|左

乘A相当于交换A的1,2两行，P3右乘P]A相当于PiA的第一列的2倍加到第

01112O,011

Pf013AP3=P1AP3110010130

二列，所以101001.121(2)同理

2O,3

P2AP|=P2AP1，P2左乘A相当于A的第三行各元素乘以2,P1右乘P2A相当于

交换P2A的1,2两列，

101010ri10

所以PzAPfW=01110001

20200122

知识点解析：暂无解析

一211-2

A1-21

19、设1-2,试确定a的值使r(A)=2.

标准答案:

1-211211-22

A1-21a11-203—303-32

11-221-20-33,000

当a=0时,r(A)=2.

知识点解析：暂无解析

20、用初等行变换求解线性方程组

标准答案:对增广矩阵施以初等行变换

2-1312-1312-13n2o06

(A/)4-25400-1201000-1

213-1020-2001-2001-2

=3

<12=-1.

故方程组的唯一解为1不=-2

知识点解析：暂无解析

110

A=012

21、求矩阵1°°3J的特征值和特征向量.

A-l-10

AE-A|=0A—1-2工(4一1K(2一3)工0.

标准答案：由0°a一3可得A的

特征值耳=入2=1，入3=3.对于特征值兀=入2=1，解齐次线性方程组(E—A)x=0,得

1

小=0

基础解系1°J所以属于特征值大产入2=1的特征向量为kmi(ki为非零的任意常

r

中=2

数).对于特征值入3=3,解齐次线性方程组(3E—A)x=0,得基础解系所

以属于特征值九3二3的特征向量为k2)12(k2为非零的任意常数).

知识点解析：暂无解析

22、已知二次型f(X],X2，X3)=2xj+5X2,5X32+4X|X2-4X1X3-8x2x3，用正交变

换化f(X],X2,X3)为标准形，并求出其正交变换矩阵Q.

标准答案：f(X],X2，X3)=2XI2+5X22+5X32+4X।X2―4x|X3—8x2x3,

'22-2'

/的矩阵A=25-4.

「2一45jA的特征多项式(pQ尸(九一1-(九一10),于是得到

A的特征值为人02二1，X3=10.对于特征值九1=入2=1，由方程组(E—A)x=0,得至IJ

属于特征值入产入2=1的两个正交的特征向量为

014

ai=1,a?=-1

J1.

0272

42

柒位化得Pl=2，P2=

6