2026-2027步步高人教数学选择性必修一第一章　§1.2　空间向量基本定理

空间向量基本定理第一章

§1.2学习目标1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.会用基底表示空间向量.3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法.我们学过的平面向量基本定理可以概括为给出一个二维的基底可以表示平面中所有的向量.上面的结论能否推广到三维空间，即如果给出一个三维的基底，能否表示空间中所有的向量呢？今天我们就来研究这个问题.导语内容索引01020503用基底表示空间向量空间向量基本定理的应用随堂演练空间向量基本定理04课时对点练01空间向量基本定理问题1

问题2请证明x，y，z的唯一性.

1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c

，那么对任意一个空间向量p，存在

的有序实数组(x，y，z)，使得

.2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个

，a，b，c都叫做基向量.3.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量

，且长度都为

，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.4.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使

.像这样，把一个空间向量分解为三个

的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识梳理不共面唯一p=xa+yb+zc基底两两垂直1a=xi+yj+zk两两垂直(1)空间中任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间中的所有向量均可由基底唯一表示.(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.(3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.注意点

若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是A.{c+a，c，c-a} B.{b，b+c，b-c}C.{b+c，a+b+c，a} D.{b+c，b-c，a}√

例1解析：对于A，因为(c+a)+(c-a)=2c，所以向量c+a，c-a，c共面，所以{c+a，c，c-a}不能构成空间的一个基底；对于B，因为(b+c)+(b-c)=2b，所以向量b+c，b-c，b共面，所以{b，b+c，b-c}不能构成空间的一个基底；对于C，因为(b+c)+a=a+b+c，所以b+c，a+b+c，a共面，所以{b+c，a+b+c，a}不能构成空间的一个基底；对于D，因为不存在x，y∈R，使得a=x(b+c)+y(b-c)，所以b+c，b-c，a不共面，所以{b+c，b-c，a}可以构成空间的另一个基底.基底的判断思路(1)判断空间三个向量能否作为一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.(2)在正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体中，我们通常选用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，有时，也在此基础上构造其他向量作基底.

反思感悟

(1)(多选)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，则可以与向量p=e1+e2，q=e1-e2构成基底的向量是A.e1

B.e3C.e1+2e2

D.e1+2e3跟踪训练1√√

√

02用基底表示空间向量

例2解：

例2解：

用基底表示向量(1)若基底已经明确，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则、向量减法的几何意义，以及向量数乘运算的运算律.(2)若基底不明确，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.

反思感悟

跟踪训练2解：

跟踪训练2解：

03空间向量基本定理的应用

(1)(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，∠DAB=60°，∠BAA1=60°，∠DAA1=60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点.求证MN⊥AC1.

例3

证明：

(1)(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，∠DAB=60°，∠BAA1=60°，∠DAA1=60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点.求证MN⊥AC1.

例3

证明：

(2)(课本例3)如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点.①求证：EF∥AC；

例3

证明：

(2)(课本例3)如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点.②求CE与AG所成角的余弦值.

例3

解：

例3

证明：

例3

证明：

例3解：

例3解：

例3解：

若本例条件不变，M为A1B的中点，证明：MF∥B1C.延伸探究

证明：

反思感悟

已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

.跟踪训练3

课堂小结1.知识清单：(1)空间向量基本定理.(2)空间向量基本定理的应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：(1)基向量理解错误，忽视基向量的条件.(2)利用基向量表示向量时，没有目标意识，缺少向量表示的方向性.04随堂演练1234

√

1234√

12343.在棱长为1的正四面体ABCD中，AB与CDA.相交

B.平行C.垂直

D.无法判断位置关系

√1234

√1234

05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案BDABCBABD题号91112131516答案BBCDAC1610.答案123456789101112

1314151610.答案123456789101112

13141516答案123456789101112

14.13141516答案123456789101112

14.131415161.已知λ，μ∈R，下列可使非零向量a，b，c组成的集合{a，b，c}成为空间的一个基底的条件是A.b=λc

B.a，b，c两两垂直C.a=λb+μc

D.a+b+c=0√答案123456789101112基础巩固13141516答案123456789101112131415解析：由基底的定义可知只有非零向量a，b，c不共面时才能构成空间的一个基底.对于A，b=λc，则b，c共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a与b，c共面，故A错误；对于B，因为非零向量a，b，c两两垂直，所以非零向量a，b，c不共面，可构成空间的一个基底，故B正确；对于C，易知非零向量a，b，c共面，故C错误；对于D，a+b+c=0，即a=-b-c，所以非零向量a，b，c共面，故D错误.16

√答案12345678910111213141516答案123456789101112131415

16

√答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516√答案123456789101112131415

165.已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB=2，CD=1，则异面直线l，m所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°√

答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415√16答案123456789101112

131415167.(多选)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列说法中正确的是A.若xa+yb+zc=0，则x=y=z=0B.a，b，c两两共面，但a，b，c不共面C.一定存在实数x，y，使得a=xb+ycD.{a+b，b-c，c+2a}一定能构成空间的一个基底答案123456789101112131415√16√√答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415

169.正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为

.答案123456789101112131415

16答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112131415综合运用√16答案123456789101112131415

16

√答案12345678910111213141516√√答案123456789101112131415

16

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

证明：

答案