辽宁省普通高中2025-2026学年高二上学期期初开学考试模拟（3）数学试卷（含解析）

辽宁省普通高中2025-2026学年高二上学期期初开学考试模拟（3）数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则(

)A. B. C. D.2．当时，曲线与直线的交点个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.53．已知单位向量，互相垂直，若存在实数t，使得与的夹角为，则(

)A. B. C. D.4．(

)A. B. C. D.5．已知函数，下面关于函数的图象与性质描述正确的是(

)A.函数的图象关于y轴对称B.函数的最小正周期为C.方程在上有5个不同的实根D.恒成立6．粽子古称“角黍”，由粽叶包裹糯米等食材蒸煮而成，是中国传统节庆食物之一，因各地饮食习惯不同，粽子的形状和味道也不同.如图所示的是我国南方流行的“广式五角粽”，其形状可以近似看成正四棱锥.若一个广式五角粽的底面棱长为，并测得其侧面与底面夹角的正切值为，则该广式五角粽的侧面积为(

)A. B. C. D.7．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是(

)A. B. C. D.8．已知点G是边长为3的正三角形所在平面内的一点,满足,过点G的动直线分别交线段,于点E,F,则面积的最大值为()A.B.C.D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9．已知角A，B，C是的三个内角，下列结论一定成立的有(

)A. B.C.若，则 D.若，则是直角三角形10．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动.若某阻尼器离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间x（单位：s）满足函数关系：（，，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中a，b，c，d为未知数），则下列有关函数的描述正确的是(

)0xabd00c0A.函数的图象关于点对称B.函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到C.函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4D.函数的图象与函数的图象重合11．如图，在边长为2的正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是(

)A.B.的最小值为C.三棱锥的体积是定值D.不存在点P使直线与直线AP夹角的余弦值为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知，，则________________.13．在中，，，则中最小角的余弦值为________________.14．如果拉伸两个端头，下列绳子会打结的是？________________.四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数的最小正周期为.（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）当时，求的值域.16．（15分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b最大，.（1）求B；（2）若边上的高为4，求面积的最小值.17．（15分）如图，在中，，点M在边上，且，.（1）若，求的长；（2）求的最小值.18．（17分）在三棱锥中，，，，.点C在平面上的射影D恰好在上.（1）若E为线段的中点，求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（17分）在直三棱柱中，，，，点M是平面上的动点.（1）若点M在线段上（不包括端点），设为异面直线与所成角，求的取值范围；（2）若点M在线段上，求的最小值；（3）若点M在线段上，作平行交于点N，Q是上一点，满足.设，记三棱锥的体积为.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.据此，判断函数在定义域内是否存在，使得函数在上的图象是中心对称图形，若存在，求及对称中心；若不存在，说明理由.参考答案1．答案：C解析：由题意，故选：C.2．答案：A解析：作出函数和的图象，记，，函数在上递减，在上递增，，，，结合图象知在上有两个交点，故选：A.3．答案：D解析：因为，，，又与的夹角为，所以，即，解得：.故选：D.4．答案：A解析：.故选：A.5．答案：C解析：选项A，，，即不可能恒成立，A错；选项B，，即不可能恒成立，B错；选项C，，由得或，，则由得，由得，即在上有5个不同的实根，C正确；选项D，，D错.故选：C.6．答案：B解析：设该广式五角粽的直观图为如图所示的正四棱锥，则，取底面的中心O，棱的中点H，连接、、、，则，O为的中点，因为H为的中点，所以，且，因为，故，所以即为侧面与底面的夹角，所以.由正棱锥的几何性质可知平面，所以，则，故该广式五角粽的侧面积为.故选：B.7．答案：B解析：取的中点E，连接，，因为底面与侧面均是边长为2的正三角形，所以，，因为平面平面，交线为，且平面，所以平面，在上取点F，使得，故F为等边三角形的中心，该三棱锥外接球的球心O在平面上的投影为F，其中，，，设，连接，，过点O作于点G，则，，，设，则，即，解得，所以，该三棱锥外接球的表面积是.故选：B8．答案：C解析：取的中点为M,由,则,所以,①设,,,,,则,②所以结合①和②可得,整理得,又,,则,得,且,解得,又因为是边长为3的正三角形,则,,则的面积为,令,,则,,,,根据对勾函数的性质,当时,取得最大值,且最大值为,所以面积的最大值为.故选:C.9．答案：BC解析：对于A，因为，所以，A错误；对于B，因为，所以，B正确；对于C，设的外接圆半径为R，，可得，即，所以，C正确；对于D，如在中，，，，符合，但该三角形不是直角三角形，D错误；故选：BC.10．答案：BC解析：由五点法知，从而，，由正弦函数性质知，，，，，所以，选项A，，A错；选项B，，其图象可由的图象向右平移个单位得到，B正确；选项C，函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为，C正确；选项D，，D错.故选：BC.11．答案：ACD解析：以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，所以，，，设，则；因为，故，所以正确.因为，所以，，当时，取得最小值为，所以B错误.因为，平面，平面，则平面，所以三棱锥的体积为，故C正确.因为，，所以，，设与的夹角为，则因为，所以，故不存在点P使直线与直线夹角的余弦值为，故D正确.故选：ACD.12．答案：解析：，故答案为：.13．答案：解析：因为，所以，，又，所以，即，因此B最小，且，故答案为：.14．答案：1,2解析：绳子1的判断：当拉伸绳子1的两个端头时，由于绳子自身的缠绕方式，在拉伸过程中会形成一个结，可以想象将两个端头慢慢拉开，绳子中间的缠绕部分会收紧形成结；绳子2的判断：同样，对于绳子2，其缠绕方式使得在拉伸两个端头时，中间部分会因为绳子的交叉缠绕而形成一个结；绳子3的判断：绳子3在拉伸两个端头时，绳子可以顺利地被拉直，不会出现打结的情况，因为其缠绕方式并没有形成闭环式的交叉；绳子4的判断：绳子4拉伸时也能顺利拉直，不会形成结，其交叉部分在拉伸过程中会自然解开；根据对每根绳子拉伸过程的想象和判断，会打结的绳子是1，2，故答案为：1，2.15．答案：（1）2，，.（2）.解析：（1）因为，所以，由，得；所以，由，.得，.故函数的单调增区间为，.（2），..函数的值域为.16．答案：（1）（2）16解析：（1）因为，所以...因为b最大，所以，从而即，所以，即或（舍）从而.（2）法一：设面积为S，，因为，所以，又，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，面积的最小值为16.法二：由边上的高为4，可得，即，同理，，当且仅当即时取等号.面积的最小值为16.17．答案：（1）（2）.解析：（1）因为，，所以.又，，则，所以.（2）在中，，则，在中，，则.所以，当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为.18．答案：（1）证明见解析（2）.解析：（1）证明：连接，，平面，平面，平面，，，又，D为中点.又E为中点，又，，，平面，平面.（2）作于F，连接，平面，平面，则，又因为，平面，平面，而平面，.又，D，F为，的中点，所以，又，.则即为二面角的平面角.在中，.设，，则.因为，在中，，则，，.19．答案：（1）；（2）5；（3）存在，对称中心为，.解析：（1）在直三棱柱中，，作交于G，连接，则为异面直线与所成角或其补角，设，，由，得，则，，，在中，，由，得，则，，