山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数z满足，i为虚数单位，则(

)A. B. C. D.2．下列选项正确的是(

)A.若，则B.的充要条件是且C.若，，则D.若平面内不共线的四个不同的点A，B，C，D满足，则四边形是平行四边形3．已知非零向量，，，在上的投影向量为，则与的夹角为(

)A. B. C. D.4．对于不同的直线l，m和不重合的平面α，β，γ，下列选项不正确的是(

)A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则5．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走100米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山的高度为(

)A.米 B.米 C.米 D.米6．已知在四面体中，，，的中点为M，则直线与直线夹角的余弦值为(

)A. B. C. D.7．先后抛掷一枚骰子两次，记事件甲为“第一次的点数为奇数”，事件乙为“第二次的点数为偶数”，事件丙为“两次点数之和是8”，事件丁为“两次点数之和为7”，这四个事件中，相互独立的是(

)A.甲与丙 B.甲与丁 C.乙与丙 D.丙与丁8．已知点P是所在平面内一点，，延长交于D，则与的面积之比为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知z是复数，i为虚数单位，则下列选项正确的是(

)A.若，则B.若，则C.D.已知是关于x的方程O的一个根，m，，则10．下列选项正确的是(

)A.如果事件A，B互斥，那么是必然事件B.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：5，8，12，a，24，，26，27，30，31，39，若该组数据的第40百分位数为20，则C.用分层随机抽样抽取的样本共分2层，第1层样本的平均数为2，方差为2，第2层样本的平均数为6，方差为1.若第1层与第2层的样本容量之比为，则总样本的方差为D.若，，…，的平均数为3，方差为4，则11．如图，已知在三棱锥中，，，平面，，E，F分别为，上的动点，，则下列选项正确的是(

)A.与所成的角为B.若平面与平面所成的锐二面角的大小为，则C.三棱锥的体积为D.的取值范围为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知某学校高一，高二，高三年级学生人数之比为，为了了解学生平均每学期阅读文学名著的情况，利用分层抽样的方法抽取了容量为40的样本，则从高二年级抽取的学生人数为_____________.13．如图的组合体是一个正四棱锥和一个正四棱台拼接而成的，已知，则这个组合体的表面积为________.14．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，已知在中，，M是线段的中点，过M的直线交线段于点E，交线段于点F，，.(1)用向量，表示；(2)求的值.16．（15分）学生体质健康状况是评价学生综合素质的一个重要指标，结合新时期青少年体质健康状况和体育教育教学工作实际，高一年级随机抽取了40名学生进行体质测试，成绩分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值；(2)求抽取的40名学生的成绩的中位数；(3)若从抽取的成绩在的学生中任取2人，求这两名学生成绩都在内的概率.17．（15分）近年来,共享电动车在许多城市迅速流行起来,成为人们日常出行的重要选择.已知某品牌共享电动车收费标准如下:按租车时间t(分钟)分段计算,时,收费3元,时,收费4元,时,收费5元.现甲,乙两人各租了一辆该品牌电动车,甲,乙两人的租车时间的概率分别为,,的概率分别为,两人的租车时间都不超过60分钟,甲乙租车相互独立.(1)求甲乙两人所付租车费用相等的概率;(2)求甲乙两人所付租车费用和不大于8元的概率.18．（17分）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)若为锐角三角形，求的取值范围；(3)若D为外一点，A，D位于两侧，与相交于点M，，，，求四边形的面积.19．（17分）已知在四棱锥中，，，，，，.（不可以建系）

(1)若点M在线段上，平面，求；(2)设P在底面的射影为O，求；(3)求三棱锥的外接球被平面截得的圆的半径.参考答案1．答案：B解析：因为，所以，所以.2．答案：D解析：选项A：向量是同时具有大小和方向的量，方向无法比较大小，因此向量之间不存在大小关系，仅模长可进行大小比较，故A错误；选项B：向量相等的充要条件是模长相等且方向相同；若，两向量方向可能相反，此时即使，也无法推出，故B错误；选项C：规定零向量与任意向量平行，若，则满足、时，和不一定平行，故C错误；选项D：由可得，且与方向相同，即且，结合A，B，C，D是平面内不共线的四个不同点，可知四边形有一组对边平行且相等，因此是平行四边形，故D正确.3．答案：A解析：根据投影向量定义，在上的投影向量为，将代入化简得，即.又因为，所以.4．答案：C解析：A.若，，则，由平面平行的传递性知：平行于同一平面的两个平面平行，故正确；B.如图所示：过l作平面γ，有，因为，所以，同理，过l作平面δ，有，因为，所，则，又，，则，又，所以，则，故正确；C.若，，则或，故错误；D.由面面垂直的性质，如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，故正确.5．答案：A解析：依题意，，，，，又，则，即有，，在中，，由正弦定理，得，在中，，所以山高为米.6．答案：B解析：取的中点N，连接，，因为的中点为M，所以，且，所以（或其补角）为直线与直线所成的夹角.因为，，所以，所以，所以，同理可得，在中，由余弦定理可得，所以直线与直线夹角的余弦值为.7．答案：B解析：先后抛掷一枚骰子两次，总的样本空间有个等可能结果.第一次的点数为奇数有1，3，5共3种等可能结果，故，第二次的点数为偶数有2，4，6共3种等可能结果，故，两次点数之和为8有共5种等可能结果，，两次点数之和为7有共6种等可能结果，，对于A，第一次为奇数，两次和为8有共2种等可能结果，故，又，所以，所以甲与丙不相互独立，故A错误；对于B，第一次为奇数，两次和为7有共3种等可能结果，故，又，所以，所以甲与丁相互独立，故B正确；对于C，第二次为偶数，两次和为8有共3种等可能结果，故，又，所以，所以乙与丙不相互独立，故C错误；对于D，两次和为8与两次之和为7不会同时发生，故，又，所以，所以丙与丁不相互独立，故D错误.8．答案：C解析：因为，，所以，解得因为A，P，D共线，所以设，因为B，D，C共线，所以设，且，因为，即，所以，因为B，D，C共线，所以系数和为1，即，解得，即，即，所以，因为，，所以，解得，即，即，所以，设，因为，所以，因为，所以，因此，则选项C正确.9．答案：ACD解析：A选项：，正确；B选项：满足的复数有无数个，例如也满足，错误；C选项：虚数单位幂次周期为4，且，，故原式，正确；D选项：实系数一元二次方程虚根共轭，另一根为，由韦达定理得，，则，正确.10．答案：BC解析：选项A：互斥事件仅指A，B不能同时发生，二者的并集不一定覆盖全部样本点，只有对立事件的并集才是必然事件，故A错误；选项B：，则，解得，故B正确；选项C：设第1层样本量为k，第2层样本量为，总样本平均数，总方差为，故C正确；选项D：由题意可得，即，故，即，故D错误.11．答案：ABD解析：A选项，，故，所以与所成的角等于与所成的角，即，因为，，所以，A正确；B选项，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，设平面平面，则，，故，又，则平面与平面所成的锐二面角为，故，由勾股定理得，因为平面，平面，所以，因为，所以，由勾股定理得，，，故，在中，由正弦定理得，即，解得，故，故，B正确；C选项，，因为，所以，故，C错误；D选项，，，，在中，由余弦定理得，由勾股定理，，，，在中，由余弦定理得故，因为，所以，故，因为，所以的取值范围为，D正确12．答案：12解析：已知高一、高二、高三的人数比为，那么高二年级人数占总人数的比例为，样本容量为40，根据分层抽样的按比例抽取原则，从高二年级抽取的人数为.13．答案：解析：设正四棱台侧面的高为h，则，即，则，，，故这个组合体的表面积为.14．答案：解析：由，则，由，则，故，，令，则，令，则，故，当且仅当，即，即，即时，等号成立，故的最小值为.15．答案：(1)(2)3解析：(1)由，得，又，所以，又因为，又因为M是线段的中点，所以.(2)由(1)知，又，，所以，，所以，又因为E，M，F在同一直线上，所以，所以.16．答案：(1)0.02(2)87.5(3)解析：(1)由图可得，解得；(2)由，，故中位数，有，解得，即抽取的40名学生的成绩的中位数为87.5；(3)，，故成绩在的学生共6人，其中成绩在的有2人，成绩在的有4人，设成绩在的2人分别为a，b，成绩在的4人分别为A，B，C，D，则从这6人中任取2人，有、、、、、、、、、、、、、、共15种不同可能，这两名学生成绩都在内的可能为，共1种，故这两名学生成绩都在内的概率为.17．答案：(1)(2)解析：(1)甲、乙两人所付费用相同即同为3,4,5元.都付3元的概率为;都付4元的概率为;都付5元的概率为;故所付费用相同的概率为.(2)设两人费用之和为6、7、8的事件分别为事件A、B、C;则,,.设两人费用之和不大于8的事件为M,则,所以两人费用之和不大于8的概率.18．答案：(1)(2)(3)3解析：(1)因为，所以，则，由正弦定理得，在中，得，则；(2)因为为锐角三角形，所以，得，则，则，故的取值范围为；(3)设，则，，在，中利用正弦定理得，，因为，所以，得，则，则，则，因为，所以，，在中由正弦定理得，得，因为，，所以，故四边形的面积为319．答案：(1)(2)6(3)解析：(1)过点M作交于点N，连接，因为，所以，则M，N，C，D四点共面，因为平面，平面平面，平面，所以，则四边形是平行四边形，则，因为，，所以，则；(2)因为，所以其在平面内的射影，，长度相等，即，则O为的外心，由可知O为线段的中点，因为，，，则，因为，所以为等边三角形，则；(3)因为O为线段的中点，所以平面，因为平面，所以平面平面，在直角梯形中，，则，则，因为平面，平面平面，所以平面，设S，E分别为，的外心，过E，S分别作平面和平面的垂线交于点F，则点