2026秋高三数学复习 函数与导数：基本不等式(解析版)

基本不等式专项训练

考点目录

利用基本不等式求代数式最值利用基本不等式求解三角形中的最值问题

利用基本不等式求函数中的最值问题利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题

基本不等式的实际应用

考点一利用基本不等式求代数式最值

1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知a,b0且ab=1，则a+1b+1的最小值为（）

A．4B．6C．22D．8

【答案】A

【详解】由题意有a+1b+1=ab+a+b+1=2+a+b³2+2ab=4，

当且仅当a=b=1时，等号成立，

则a+1b+1的最小值为4.

故选：A.

2

a+312b2

2．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知a0，b0，则+的最小值为（）

b2a

A．4B．6C．12D．24

【答案】D

【详解】因为a0，b0，

a+322a+322

则12b12bæ9ö，

2+³22×=212´ça++6÷³212´12=24

babaèaø

2

ìa+312b2

ï2=

ïba2

当且仅当í时取等号，即a=b=3时.

9

ïa=

îïa

故选：D.

14

3．（24-25高二下·江西九江·期末）设0<m<1，若+³k2-8k恒成立，则k的最小值为（）

m1-m

A．9B．8C．－1D．－2

【答案】C

14æ14ö1-m4m1

【详解】因为+=ç+÷ëé1-m+mûù=5++³5+24=9，当且仅当m=时取等号，

m1-mèm1-møm1-m3

所以9³k2-8k，解得-1£k£9，

所以k的最小值为-1.

故选：C.

4．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知正数a,b满足a9´b27=3，则3a+2b的最小值为（）

A．9B．12C．18D．24

【答案】D

2323

+23

【详解】ababab，所以+=1，

9´27=3´3=3=3ab

因为a，b为正数，

æ23ö4b9a4b9a

所以3a+2b=3a+2bç+÷=12++³12+2´=24，

èabøabab

4b9a

当且仅当=时，即a=4，b=6时，等号成立，

ab

所以3a+2b的最小值为24.

故选：D.

2024

5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若x0，则x+³a恒成立的一个充分条件是（）

x

A．a80B．a<80C．a100D．a<100

【答案】B

2024

【详解】当x0时，x+³22024=4506，当且仅当x=2024时等号成立，

x

2024

因为x+³a恒成立，所以a£4506，

x

因为222=484，232=529，

其中22<506<23，所以88<4506<92，

2024

结合各选项知x+³a恒成立的一个充分条件为a<80.

x

故选：B.

6．（25-26高三上·陕西西安·开学考试·多选）已知x，y为正实数，x+y=4，则（）

A．xy的最大值为4B．x+y的最小值为22

34

C．+的最小值为3D．x2+1y2+1的最小值为16

xy

【答案】AD

(x+y)2

【详解】A选项，因为x,y为正实数，x+y=4，则xy£=4，当且仅当x=y=2时取等号，故A选项正

4

确；

2

B选项，x+y=x+y+2xy=4+2xy£4+24=8，当且仅当x=y=2时取等号，所以x+y的最大值

为22，故B选项错误；

134æxyöæ34ö34x3y7

C选项，因为x+y=4，则x+y=1，故+=ç+÷ç+÷=+++1³+3，当且仅当

4xyè44øèxyø44y4x4

x=83-12,y=16-83时取等号，故C选项错误；

D选项，因为x2+1y2+1=x2y2+x2+y2+1=x2y2+(x+y)2-2xy+1

=x2y2-2xy+17=xy-12+16，因为xy£4，

2

所以xy-1+16³16，所以x2+1y2+1的最小值为16，故D选项正确.

故选：AD

7．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习·多选）已知正实数a，b满足a+b³2，则（）

A．ab³1B．a2+2³2b

11

C．+³2D．2a+2b³4

ab

【答案】BD

【详解】对A：取a=2，b=0.1，此时a+b=2.12，但ab=0.2<1，故A错误；

2

a+b4

对B：a2+b2³==2，当且仅当a=b=1时，等号成立，故B正确；

22

11

对C：取a=2，b=2，此时a+b=42，但+=1<2，故C错误；

ab

对D：2a+2b³22a×2b=22a+b³222=4，

当且仅当a=b=1时，等号成立，故D正确.

故选：BD.

8．（25-26高二上·云南·开学考试·多选）已知正数a，b满足a+2b=2ab-3，则（）

æ1ö9

A．b的取值范围是ç,+¥÷B．ab的最小值为

è2ø2

111

C．a+的最小值为2D．2a+b的最小值

a2

【答案】AB

【详解】对于选项A：因为正数a，b满足a+2b=2ab-3，

2b+3a+31

则a=0，b=0，解得a1，b，故A正确，

2b-12a-22

对于选项B：因为a+2b=2ab-3³22ab，

231

整理可得2ab-22×ab-3=2ab+12ab-3³0，解得ab³，或ab£-（舍去），

22

当且仅当a=2b=3时，等号成立，

9

所以ab≥，故B正确；

2

11

对于选项C：因为a1，则a+2a×=2，

aa

1

所以2不是a+的最小值，故C错误；

a

a+3a+325

对于选项D：因为b=，则2a+b=2a+=2a-1++，

2a-22a-2a-12

且a1，则a-10，

22

可得2a-1+³22a-1´=4，

a-1a-1

2

当且仅当2a-1=，即a=2时，等号成立，

a-1

13

所以2a+b的最小值为，故D错误.

2

故选：AB.

y2x+y

9．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知x0，y0，则+的最小值为.

2xy

【答案】3

【详解】因为x0，y0，

y2x+yy2xy2x

所以+=++1³2×+1=3，

2xy2xy2xy

y2x1

当且仅当=，即x=y时等号成立，

2xy2

y2x+y

所以+的最小值为3.

2xy

故答案为：3

b1

10．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知a0，b0，且a+b=1，则+的最小值为．

ab

【答案】3

【详解】因为a0，b0，且a+b=1，

b1ba+bbaba

所以+=+=++1³2×+1=3，

abababab

11b1

当且仅当a=，b=时，等号成立，所以+的最小值为3．

22ab

故答案为：3

22

11．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若实数x,y满足x+1-xy+4-y=2，则4x+2y-1的最小值

为．

【答案】2

1242

【详解】令m=x2+1-x,m0，n=y2+4-y，则=x+1+x，=y+4+y，

mn

2

由题知m×n=2，则n=，

m

ì2

ìm=x2+1-xn=y2+4-y=

ï11æ1öïm1

所以íÞ-m=2xÞx=ç-m÷，íÞy=m-，

12m2m4m

ï=x+1+xèøï=y2+4+y=2m

îmîïn

1

111m-

-mm--1-m2m

所以4x+2y-=221x+2y-1=2m+2m=2m+

2

1

1-m

m-m1

令m，则t0，2=，

t=2t

1

1m-

-m2m1t1t21t

则4x+2y-1=2m+=+³2×=2×=2，当且仅当=，即t=2时取等号.

2t2t22t2

故答案为：2.

12．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知a0,b0，且2a+3b=3．

(1)求ab的最大值；

1

(2)求a-的最大值；

6b

23

(3)求+的最小值．

ab+1

3

【答案】(1)

8

1

(2)

2

25

(3)

6

3

【详解】（1）由题意得2a+3b=3³26ab，得ab£，

8

331

当且仅当2a=3b=，即a=,b=时，等号成立．

242

3

故ab的最大值是．

8

33

（2）由2a+3b=3，得a=-b，

22

13æ31ö3311

则a-=-çb+÷£-2b×=，

6b2è26bø226b2

311

当且仅当b=，即a=1,b=时，等号成立．

26b3

1

故a-的最大值是1．

6b2

（3）由2a+3b=3，得2a+3b+1=6，

231æ23ö1é6(b+1)6aù1é6(b+1)6aù25

则+=ç+÷[2a+3(b+1)]=ê13++ú³ê13+2×ú=，

ab+16èab+1ø6ëab+1û6ëab+1û6

6b+16a61

当且仅当=，即a=,b=时，等号成立．

ab+155

2325

故+的最小值为．

ab+16

考点二利用基本不等式求解三角形中的最值问题

1．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a2=b2+c2，则A

的最大值为（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

【答案】B

c2b2

222+

【详解】由余弦定理得b+c-abc1，当且仅当b=c时取等号，

cosA==22³=

2bc2bc2bc2

ππ

因为0<A<π，y=cosx在0,π单调递减，所以0<A£，即A的最大值为．

33

故选：B．

1111

2．（25-26高二上·安徽·阶段练习）在锐角VABC中，已知sin2B=cos2A-cos2C，则++的最小值

2tanAtanBtanC

为（）

1313

A．3B．C．D．13

23

【答案】B

11

【详解】由sin2B=cos2A-cos2C可得sin2B=cos2A-cos2C=1-sin2A-1-sin2C=sin2C-sin2A，

22

由正弦定理可得2c2-2a2=b2，

如图，作BD^AC于D，设AD=x,CD=y,BD=h，

因为2a2+b2=2c2，所以2(y2+h2)+(x+y)2=2(x2+h2)，

化简得x2-2xy-3y2=0，解得x=3y，

tanA+tanC1-tanAtanC1

易知tanA+C=-tanB，=-tanB，所以=-，

1-tanAtanCtanA+tanCtanB

11111tanAtanC-1

因此++＝++

tanAtanBtanCtanAtanCtanA+tanC

h2

-1

xyxy4yh2-3y213yh13

=++＝+＝+³，

hhh4yh

hh+4h4y2

xy

13

当且仅当h=13y时取得最小值.

2

故选：B

3．（25-26高三上·山东济南·开学考试·多选）已知a,b,c分别为VABC内角A,B,C的对边，下面四个结论正确的是

（）

A．若acosA=bcosB，则VABC为等腰三角形

B．在锐角VABC中，不等式sinAcosB恒成立

π

C．若B=,a=23，且VABC有两解，则b的取值范围是2,23

3

D．若ÐABC=120°，ÐABC的平分线交AC于点D，BD=1，则4a+c的最小值为9

【答案】BD

ab2+c2-a2ba2+c2-b2

【详解】选项A，因为acosA=bcosB，即=，

2bc2ac

所以有a2b2+c2-a2=b2a2+c2-b2

整理可得a2-b2a2+b2-c2=0，所以a=b或a2+b2=c2，

故VABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

πππ

选项B，若VABC为锐角三角形，所以A+B，所以A-B0，

222

æπöæπö

由正弦函数y=sinx在ç0,÷单调递增，则sinAsinç-B÷=cosB，故B正确.

è2øè2ø

选项C，如图，若VABC有两解，则asinB<b<a，

所以3<b<23，则b的取值范围是3,23，故C错误．

选项D，ÐABC的平分线交AC于点D，BD=1，

由S△ABC=S△ABD+S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式，

11111

得acsin120o=asin60o+csin60o，即ac=a+c，得+=1，

222ac

11c4ac4a

得4a+c=(4a+c)(+)=++5³2×+5=4+5=9，

acacac

c4a

当且仅当=，即c=2a=3时，取等号，故D正确.

ac

故选：BD

4．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在VABC中，D为AC的中点，且BD=2，若AB=AC，则当BC×CD取得

最大值时，cosA=.

3

【答案】/0.75

4

【详解】设BC=m,CD=n,m0,n0，则AD=n,AB=AC=2n，

由cosÐADB+cosÐCDB=0，再分别在△ABD和△BCD中用余弦定理，

AD2+BD2-AB2CD2+BD2-BC2

得+=0，

2×AD×BD2×CD×BD

n2+22-(2n)2n2+22-m2

即+=0，化简得m2+2n2=8，

2×2n2×2n

根据基本不等式，有m2+2n2=8³22mn，当且仅当m=2n=2时等号成立，

即mn£22，即BC×CD取得最大值时，BC=2,CD=2，

AB2+AC2-BC2(2n)2+(2n)2-m2(22)2+(22)2-223

所以当BC×CD取得最大值时，cosA====.

2×AB×AC2×2n×2n2×22×224

3

故答案为：

4

2π

5．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=，角A的平

3

分线交BC边于点D.若AD=1，则4b+c的最小值为.

【答案】9

π

【详解】因为角A的平分线为AD，则ÐBAD=ÐCAD=，

3

1π1π12π

因S=S+S，且AD=1，则´csin+´bsin=bcsin，

△ABC△ABD△ACD232323

11

所以b+c=bc，所以+=1，

bc

æ11ö4bc4bc

则4b+cç+÷=++5³5+2×=5+4=9，

èbcøcbcb

ì4bc

=ì3

ïcbïb=

当且仅当í，即í2时取等号．

11

ï+=1îïc=3

îïbc

所以4b+c的最小值为9．

故答案为：9

a-bsinC-sinB

6．（25-26高三上·山东·开学考试）已知VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=

csinA+sinB

(1)求A；

(2)若VABC的面积为43，且BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值．

π∠

【答案】(1)

3

(2)23

abc

【详解】（1）在VABC中，由正弦定理得==.

sinAsinBsinC

a-bsinC-sinBa-bc-b

因为=，所以=.

csinA+sinBca+b

整理得b2+c2-a2=bc.

b2+c2-a21

故cosA==.

2bc2

π

又AÎ0,π，故A=.

3

π13

（2）由VABC的面积为43，A=,得bcsinA=bc=43，解得bc=16，

324

π

AD为内角A的角平分线，ÐBAD=ÐCAD=，

6

∵∴1π1π

由S=S+S，得43=AD×csin+AD×bsin，

VABCVBADVCAD2626

因此163=c+b×AD，

163163

AD=£=23，当且仅当b=c时取等号.

c+b2cb

所以线段AD长的最大值为23.

7．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且3a-3bcosC=c.

(1)求cosB；

(2)若VABC的面积为32，求b的最小值.

1

【答案】(1)

3

(2)23

【详解】（1）因为3a-3bcosC=c，由正弦定理得3sinA-3sinBcosC=sinC，

又sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC，

代入化简得3cosBsinC=sinC，

1

因为sinC¹0，所以3cosB=1，则cosB=；

3

22

（2）由（1）可知，sinB=1-cos2B=，

3

12

则VABC的面积S=acsinB=ac=32，可得ac=9，

23

22

由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac³2ac-ac=12，

33

当且仅当a=c=3时，等号成立，

从而b³23，即b的最小值为23.

8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且VABC的周长为

3bsinC

sinB+sinC-sinA

(1)求角A；

(2)若a=3，求VABC面积的最大值．

π

【答案】(1)

3

33

(2)

4

3bsinC3bc

【详解】（1）由正弦定理可得=，

sinB+sinC-sinAb+c-a

3bsinC

因为VABC的周长为，

sinB+sinC-sinA

3bc

所以a+b+c=，即a+b+cb+c-a=3bc，化简可得b2+c2-a2=bc，

b+c-a

b2+c2-a21

故由余弦定理可得cosA==，

2bc2

π

因为AÎ0,π，所以A=；

3

π

（2）因为a=3，A=，所以由余弦定理2bccosA=b2+c2-a2

3

可得bc=b2+c2-3³2bc-3，解得bc£3，当且仅当b=c时取等号，

11333

所以VABC面积S=bcsinA£´3´=，

VABC2224

33

即当b=c时，VABC面积取最大值.

4

9．（25-26高三上·河北·开学考试）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且

3sinCsinA+cosCsinA=sinB+sinC.

(1)求角A；

(2)若VABC边BC上的中线AD的长度为23，求VABC面积的最大值．

π

【答案】(1)

3

(2)43

【详解】（1）在VABC中，sinB=sinëéπ-A+Cûù=sinA+C=sinAcosC+sinCcosA，

代入3sinCsinA+cosCsinA=sinB+sinC整理得3sinCsinA=sinCcosA+sinC，

又因为A,CÎ0,π，sinC¹0，所以3sinA=cosA+1，

æπöæπö1

所以3sinA-cosA=2sinçA-÷=1，解得sinçA-÷=，

è6øè6ø2

πæπ5πöπππ

因为A-Îç-,÷，所以A-=，解得A=.

6è66ø663

uuur1uuuruuur

（2）因为D是BC中点，所以AD=AB+AC，

2

uuur21uuuruuur21uuur2uuur2uuuruuur

两边平方得AD=AB+AC=AB+AC+2AB×AC，

44

1

所以12=c2+b2+2bccosÐBAC，即b2+c2+bc=48，

4

又由均值不等式可得b2+c2+bc³2bc+bc=3bc，

当且仅当b=c时等号成立，所以bc£16，

1

所以S=bcsinA£43，即VABC面积的最大值为43.

VABC2

10．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形ABC中，记a，b，c分别为内角A，B，C的对边，

3

asinB=c．

2

11

(1)求+的值；

tanAtanB

(2)求角C的最大值．

23

【答案】(1)

3

π

(2)

3

33

【详解】（1）因为asinB=c，由正弦定理可得sinAsinB=sinC，

22

又因为sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB，

3

即sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

2

æπö

且VABC为锐角三角形，则A,BÎç0,÷，则sinA0,sinB0,cosA0,cosB0，

è2ø

3æ11ö1123

可得1=ç+÷，所以+=.

2ètanAtanBøtanAtanB3

1123æπö

（2）因为+=，且A,BÎç0,÷，则tanA0,tanB0，

tanAtanB3è2ø

23

可得tanA+tanB=tanA×tanB³2tanA×tanB，解得tanA×tanB³3，

3

π

当且仅当tanA=tanB=3，即A=B=时，等号成立，

3

23

tanA×tanB

tanA+tanB231

则tanC=-tanA+B==3=，

1

tanAtanB-1tanAtanB-131-

tanAtanB

11

因为tanA×tanB³3，则0<£，

tanA×tanB3

13

211<£

可得£1-<1，12，

3tanA×tanB1-

tanA×tanB

231æ23ù

tanC=Î,3

则1çú，

31-è3û

tanAtanB

æπö

即tanC的最大值为3，且CÎç0,÷，

è2ø

π

所以角C的最大值为.

3

11．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，O为其外心，且满足

uuuruuuruuuruuur

AO×BC=BO×CA.

(1)证明：a2+b2=2c2；

(2)求角C的最大值.

【答案】(1)证明见解析

π

(2)

3

【详解】（1）如图所示，取BC的中点D，连接OD，

uuuruuur

由O为VABC的外心可知OD^BC，DO×BC=0

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

则AO×BC=(AD+DO)×BC=AD×BC+DO×BC=AD×BC，

uuur1uuuruuuruuuruuuruuur

因为D为BC的中点，AD=(AB+AC)，且BC=AC-AB，

2

uuuruuuruuuruuur1uuuruuuruuuruuur1uuur2uuur21

所以AO×BC=AD×BC=(AB+AC)×(AC-AB)=(AC-AB)=(b2-c2)，

222

同理，取AC的中点E，连接OE，

uuuruuur

由O为VABC的外心可知OE^AC，EO×CA=0

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

则BO×CA=(BE+EO)×CA=BE×CA+EO×CA=BE×CA，

uuur1uuuruuuruuuruuuruuur

因为E为AC的中点，BE=(BA+BC)，且CA=BA-BC，

2

uuuru