2017-2026十年高考数学专项汇编专题29 圆锥曲线选填题综合（椭圆、双曲线、抛物线）（教师版）

1

专题29圆锥曲线选填题综合

（椭圆、双曲线、抛物线）

（七大考点，137题）

考点分类十年考情（2017-2026）命题规律

1.圆锥曲线基础必考小题，以定义、

标准方程、顶点、焦点、长/短轴

2026上海、2023全国甲、2022为核心。

考点01椭圆方程全国甲/新高考Ⅰ、2021新高考2.核心考法：利用椭圆第一定义求

及其性质Ⅰ、2020山东/海南/上海、2019线段长、根据几何条件求椭圆方程、

全国Ⅰ/Ⅲ、2018上海/北京焦点三角形周长与边长计算。

3.常结合过焦点直线、两椭圆相交

模型命题。

1.高频中档难点，填空、选择均大

量出现。

2026上海、2023新课标Ⅰ、2022

2.依托焦点三角形、斜率、对称点、

考点02椭圆的离全国甲、2021全国乙/浙江、2019

六边形几何关系建立a,b,c等式求

心率北京、2018全国Ⅰ/Ⅱ、2017全

解离心率或范围。

国Ⅲ

3.容易结合不等式求离心率取值范

围。

1.题量最多的圆锥曲线考点之一，

2026全国二/北京、2025全国二/

核心包含渐近线、焦点、实虚轴、

天津/上海、2024天津、2023全

定义。

考点03双曲线方国甲/天津、2022天津、2021北

2.考法：求双曲线标准方程、渐近

程及其性质京/全国甲、2020浙江/天津、

线、焦点三角形面积、渐近线与圆

2019全国Ⅲ、2018全国Ⅰ/Ⅲ/浙

相交弦长、焦点到渐近线距离。

江、2017天津/山东

3.常和抛物线、圆交叉综合。

2026全国一卷/天津、2025全国

1.选填压轴热门题型，区分度高。

一/二/天津、2024全国甲/新课标

2.通过直角焦点三角形、圆与渐近

Ⅰ、2023新课标Ⅰ、2022全国甲

考点04双曲线的线相交、直线斜率、几何长度关系

/浙江、2021全国甲/天津、2019

离心率构造方程求离心率。

北京/全国Ⅰ/Ⅱ、2018全国

3.常设置离心率取值范围类多选题。

Ⅱ/Ⅲ、2017全国Ⅱ

考点05抛物线及2026全国一/二/天津/上海、20251.高考必考内容，核心为抛物线定

其性质全国一/二/北京、2024新课标Ⅱ/义（到焦点与准线距离相等）。

1

天津/上海、2023北京/新课标2.考法：焦半径、焦点弦、准线、

Ⅱ、2022全国乙/新高考切线、等边三角形、垂直直线、面

积最值、多选综合判断。

Ⅰ/Ⅱ、2021新高考Ⅰ/Ⅱ/北京、

3.多选多结论题型是新高考主流出

2020全国Ⅰ/Ⅱ/Ⅲ/浙江/北京、题形式。

2019全国Ⅱ/浙江/北京、2017全

国Ⅰ/天津

1.轨迹方程基础小题，难度中等。

2.考法：相关点法求轨迹、距离等

考点06曲线与方2024新课标Ⅰ/Ⅱ、2021浙江、式定义曲线、整点与曲线范围判断。

程2020全国Ⅲ、2019北京/上海

3.区分直线、圆、椭圆、双曲线、

抛物线四类轨迹。

1.选填压轴难题，多曲线混合命题。

2023全国乙/新课标Ⅱ、2022全

国乙、2021全国乙、2020全国2.综合椭圆、双曲线、抛物线、圆，

考点07圆锥曲线

考查中点、面积、向量最值、焦点

综合ⅠⅢ、全国Ⅲ浙江、

/2019/2018三角形综合计算。

全国Ⅰ/浙江、2017全国Ⅰ3.数形结合、设点联立是主要解题

思路。

考点01椭圆方程及其性质

x2

2

F,FC:y1PFPF0

1.（2023·全国甲卷·高考真题）设12为椭圆5的两个焦点，点P在C上，若12，

PFPF

则12（）

A．1B．2C．4D．5

【答案】B

PFF

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12的面积，即可解出；

方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．

PFPF0FPF90

【详解】方法一：因为12，所以12，

1

Sb2tan451PFPF

F1PF212PFPF2

从而2，所以12．

故选：B.

1

方法二：

PFPF0FPF902

因为12，所以12，由椭圆方程可知，c514c2，

PF2PF2FF24216PFPF2a25

所以1212，又12，平方得：

PF2PF22PFPF162PFPF20PFPF2

121212，所以12．

故选：B.

x2y2

F,FC:1

2.（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，12为椭圆96的两个焦点，点P在C上，

3

cosF1PF2

5，则|OP|（）

13301435

A．5B．2C．5D．2

【答案】B

PFFOP

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12的面积，即可得到点P的坐标，从而得出的值；

PFPF,PF2PF2

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出1212，再结合中线的向量公式以及数量积即

可求出；

PF2PF2

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出12，即可根据中线定理求出．

π2F1PF22

F1PF22,0SPFFbtanbtan

【详解】方法一：设2，所以122，

222

cossin1tan31

cosF1PF2cos2tan

由cos2+sin21tan25，解得：2，

22222

由椭圆方程可知，a9,b6,cab3，

111

SFFy23y62

PF1F212ppy3

所以，222，解得：p，

23922930

xp91OPxpyp3

即62，因此22．

故选：B．

PFPF2a6PF2PF22PFPFcosFPFFF2

方法二：因为12①，12121212，

226

PF1PF2PF1PF212

即5②，联立①②，

1

1522

PF1PF2,PF1PF221

解得：2，

11

POPF1PF2OPPOPF1PF2

而2，所以2，

1122131530

POPF1PF2PF12PF1PF2PF2212

即222522．

故选：B．

PFPF2a6PF2PF22PFPFcosFPFFF2

方法三：因为12①，12121212，

226

PFPFPFPF1222

1212PFPF21

即5②，联立①②，解得：12，

30

2222OP

2OPF1F22PF1PF242FF23

由中线定理可知，，易知12，解得：2．

故选：B．

【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常

规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难

度不是很大．

x2y21

C:1(ab0)

22A,A

3.（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆ab的离心率为3，12分别为C的左、右

BABA1

顶点，B为C的上顶点．若12，则C的方程为（）

x2y2x2y2x2y2x2

111y21

A．1816B．98C．32D．2

【答案】B

BABA=122

【分析】根据离心率及12，解得关于a,b的等量关系式，即可得解.

2

2

cb1b8282

e12ba

【详解】解：因为离心率aa3，解得a29，9，

A,AAa,0,Aa,0

12分别为C的左右顶点，则12，

B为上顶点，所以B(0,b).

BA(a,b),BA(a,b)BABA1

所以12，因为12

282

22ba22

所以ab1，将9代入，解得a9,b8，

1

x2y2

1

故椭圆的方程为98.

故选：B.

x2y2

1

FF

4.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知1，2是椭圆C：94的两个焦点，点M在C上，则

MFMF

12的最大值为（）

A．13B．12C．9D．6

【答案】C

2

MF1MF2

MF1MF2

MFMF2a62

【分析】本题通过利用椭圆定义得到12，借助基本不等式即

可得到答案．

22MFMF2a6

【详解】由题，a9,b4，则12，

2

MF1MF2

MF1MF29

2MFMF3

所以（当且仅当12时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】

22

5.（2020·海南·高考真题）已知曲线C:mxny1.（）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为n

m

yx

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为n

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

【答案】ACD

【分析】结合选项进行逐项分析求解，mn0时表示椭圆，mn0时表示圆，mn0时表示双曲线，

m0,n0时表示两条直线.

x2y2

1

11

22

【详解】对于A，若mn0，则mxny1可化为mn，

1

11

因为mn0，所以mn，

即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

221

22xy

对于B，若mn0，则mxny1可化为n，

n

此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B不正确；

x2y2

1

11

22

对于C，若mn0，则mxny1可化为mn，

此时曲线C表示双曲线，

m

22yx

由mxny0可得n，故C正确；

21

22y

对于D，若m0,n0，则mxny1可化为n，

n

y

n，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算

的核心素养.

6.（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（）

A．3B．6C．8D．12

【答案】B

【分析】根据椭圆中a,b,c的关系即可求解.

【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，

所以2a10，2c8，可得a5，c4，

222

所以bac25169，可得b3，

所以该椭圆的短轴长2b6，

故选：B.

F1(1,0)，(F21,)0│A│F│2│2F2B

7.（2019·全国I卷·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，

│A│B││BF

1，则C的方程为

1

x2x2y2x2y2x2y2

y21111

A．2B．32C．43D．54

【答案】B

FBnAF2n,BFAB3nAF2n△AFB

【分析】由已知可设2，则21，得1，在1中求得

13

cosFABn

1AFF

3，再在12中，由余弦定理得2，从而可求解.

FBnAF2n,BFAB3n

【详解】法一：如图，由已知可设2，则21，由椭圆的定义有

2aBFBF4n,AF2aAF2n△AFB

1212．在1中，由余弦定理推论得

4n29n29n2113

cosFAB4n24n222n2n4n

1AFF

22n3n3．在12中，由余弦定理得3，解得2．

x2y2

2221

2a4n23,a3,bac312,所求椭圆方程为32，故选B．

FBnAF2n,BFAB3n

法二：由已知可设2，则21，由椭圆的定义有

2aBFBF4n,AF2aAF2nAFFBFF

1212．在12和12中，由余弦定理得

4n2422n2cosAFF4n2,

21

n242n2cosBFF9n2AFF,BFFcosAFFcosBFF0

21，又2121互补，2121，两式消去

3

n

cosAFF,cosBFF22

2121，得3n611n，解得2．

x2y2

2221

2a4n23,a3,bac312,所求椭圆方程为32，故选B．

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直

观想象、逻辑推理等数学素养．

x2y2

1

8.（2018·上海·高考真题）设P是椭圆53上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（

1

）

A．22B．23C．25D．42

【答案】C

【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．

x2y2

【详解】椭圆53=1的焦点坐标在x轴，a=5，

x2y2

P是椭圆53=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=25．

故选C．

【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．

222

x2yx

1:2y1a12:221

9.（2026·上海·高考真题）已知椭圆a与椭圆b2b相交于A、B、C、

2

D四点，且与1和2的四个焦点在同一个圆上，则b_____________.

【答案】3

【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可.

【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，

所以根据椭圆1和2的对称性可知，该圆的圆心为原点，

22222

因此有a1b2ba3，

22

且两个椭圆的半焦距为b2b2，

22

因此该圆的方程为xy2，

又因为A、B、C、D四点与1和2的四个焦点在同一个圆上，

22

所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆xy2上，

3

x2x2

y212

322

2221yx

xy2y2:1

由2，代入椭圆b22b2中，

13

2

222

221b322

得b2b，又b0，故b3，

1

故答案为：3

x2y2

C:1(ab0)

22F

10.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆ab，C的上顶点为A，两个焦点为1，

1

FFAF|DE|6

2，离心率为2．过1且垂直于2的直线与C交于D，E两点，，则ADE的周长是

________________．

【答案】13

x2y2

1，即3x24y212c20

22AF

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为4c3c，根据离心率得到直线2的斜

率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：x3yc，代入椭圆方程

1313

22ca2c

3x24y212c20，整理化简得到：13y63cy9c0，利用弦长公式求得8，得4，根据

△FDE

对称性将ADE的周长转化为2的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a13.

c1

e2222

【详解】∵椭圆的离心率为a2，∴a2c，∴bac3c，∴椭圆的方程为

x2y2

1，即3x24y212c20

22FF

4c3c，不妨设左焦点为1，右焦点为2，如图所示，∵

AFO

AFa，O，Fca2c2AFFFAF

22，∴3，∴12为正三角形，∵过1且垂直于2的直线与C交于

3

AF

D，E两点，DE为线段2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为3，斜率倒数为3，直线DE的方程：

22

x3yc，代入椭圆方程3x24y212c20，整理化简得到：13y63cy9c0，

2

63c4139c26216c2

判别式，

2Δc

DE13y1y222646

∴1313，

1313

ca2c

∴8，得4，

AFADDF，AEEF△FDE

∵DE为线段2的垂直平分线，根据对称性，22，∴ADE的周长等于2的周长，

△FDE

利用椭圆的定义得到2周长为

DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEF2a2a4a13

2222111212.

故答案为：13.

1

x2y2

1

11.（2020·上海·高考真题）椭圆43，过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点，P在第二象限已

Qx,y,Qx,yyy0

知QQQQ都在椭圆上，且QQ，FQPQ，则直线l的方程为________

【答案】yx1

【分析】根据已知可得Q,Q关于x轴对称，再由FQPQ，可得QFx45，结合点P的位置，可得直

线l的倾斜角，即可求出结论.

Qx,y,Qx,yyy0

【详解】已知QQQQ都在椭圆上，且QQ，

Q,Q关于x轴对称，再由FQPQ，QFx45，

过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点，P在第二象限，

所以直线l的倾斜角是135，tan1351，

F1,0

直线l的斜率是1，且过点，

yx1

得到直线l的方程为，即yx1.

故答案为：yx1.

1

【点睛】本题考查椭圆的对称性以及直线与椭圆位置关系，属于基础题.

x2y2

F，FC:+1

12.（2019·全国III卷·高考真题）设12为椭圆3620的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.

MFF

若12为等腰三角形，则M的坐标为___________.

3,15

【答案】

MF、MF

【分析】根据椭圆的定义分别求出12，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.

22222

【详解】由已知可得a36,b20,cab16,c4，

MFF

又M为C上一点且在第一象限,12为等腰三角形，

MFFF2c8MF4

112．∴2．

1

S△FFy4y

x,yx0,y0MF1F21200

设点M的坐标为0000，则2，

122

S△482415,4y415

MF1F20y15

又2，解得0，

2

x215

01

x3x3

3620，解得0（0舍去），

3,15

M的坐标为．

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直

观想象、逻辑推理等数学素养．

考点02椭圆的离心率

x2x2

C:y21(a1),C:y21

122e,e

1.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆a4的离心率分别为12．若

1

e3e

21，则a（）

23

A．3B．2C．3D．6

【答案】A

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

41a2123

223a

e3ee3e2

【详解】由21，得21，因此4a，而a1，所以3.

故选：A

x2y2

C:221(ab0)

2.（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆ab的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y

1

轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为4，则C的离心率为（）

3211

A．2B．2C．2D．3

【答案】A

y2122

1x1y1

221

Px,yQx,y22

【分析】设11，则11，根据斜率公式结合题意可得x1a4，再根据ab，将

yx

1用1表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

【详解】[方法一]：设而不求

Px,yQx,y

设11，则11

yyy21

1kk111

kAPkAQAPAQ22

则由4得：x1ax1ax1a4，

22b2a2x2

x1y121

1y1

由a2b2，得a2，

222

bax1

212

ab1

222

所以x1a4，即a4，

cb23

e12

所以椭圆C的离心率aa2，故选A.

1

[方法二]：第三定义

kk

设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：PBAQ

1

kAPkAQkPAkPB

故4，

b2

kPAkPB

由椭圆第三定义得：a2，

b21

故a24

cb23

e12

所以椭圆C的离心率aa2，故选A.

x2y2

C:221(ab0)

3.（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆ab的上顶点，若C上的任意一点P都满

足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是（）

2121

,1,10,0,

22

A．B．2C．D．2

【答案】C

Px,yB0,bPBPB

【分析】设00，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再

构建齐次不等式，解出即可．

x2y2

001

Px,yB0,b22222

【详解】设00，由，因为ab，abc，所以

22324

2222y02cbb22

PBx0y0ba12y0b2y022ab

bbcc，

b3

b22

byb222PB4bPB2b22

因为0，当c，即bc时，max，即max，符合题意，由bc可得

2

220e

a2c，即2；

344

b2b22b222

bPBabab4b222

222max22cb0

当c，即bc时，c，即c，化简得，，显然该

不等式不成立．

故选：C．

PB

【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论

函数的单调性从而确定最值．

1

22

xy1

221

4.（2019·北京·高考真题）已知椭圆ab（a＞b＞0）的离心率为2，则

A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2bD．3a=4b

【答案】B

【分析】由题意利用离心率的定义和a,b,c的关系可得满足题意的等式.

c1222

e,cab22

【详解】椭圆的离心率a2,化简得3a4b,

故选B.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.

FFPFPF

5.（2018·全国II卷·高考真题）已知1，2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12，且

PFF60

21，则C的离心率为

331

1

A．2B．23C．2D．31

【答案】D

|PF|m|FF|,|PF|

【详解】分析：设2，则根据平面几何知识可求121，再结合椭圆定义可