人教版数学七年级上册知识点期末复习

初一上册数学知识点

第一章有理数

知识点一：有理数的分类

「正整数

正有理数,

含正有限小数和无限循环小数

L正分数

零

有理数

「负整数

负有理数Y含负有限小数和无限循环小数

'L负分数

有理数的另一种分类

正整叩

卜自然数

0J

负整数

,正分数

分数

负分数

想一想：零是整数吗？自然数一定是整数吗？自然数一定是正整数吗？整数一定是

自然数吗？

零是整数；自然数一定是整数；自然数不一定是正整数，因为零也是自然数；

整数不一定是自然数，因为负整数不是自然数。

判断正误：

①不带，，一，，号的数都是正数（）

②如果a是正数，那么一a一定是负数（）

③不存在既不是正数，也不是负数的数（）

④0C表示没有温度（）

知识点二：数轴

1、填空

①规定了唯一的原点，正方向和单位长度（三要素）的直线叫做

数轴。

②比一3大的负整数是；已知m是整数且-4。＜3,则m为。

③有理数中，最大的负整数是—，最小的正整数是—。最大的非正数是—。

④与原点的距离为三个单位的点有一个，他们分别表示的有理数是o

2、请画一个数轴，并检查它是否具备数轴三要素？

3、选择题

①在数轴上，原点及原点左边所表示的数是（：）

A整数B负数C非负数D非正数

②下列语句中正确的是（）

A数轴上的点只能表示整数B数轴上的点只能表示分数

C数轴上的点只能表示有理数D所有有理数都可以用数轴上的点表示出

知识点三：相反数

相反数:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。在数轴上位于原点

两侧且离原点距离相等。

1、填空

①-2的相反数是:它的倒数是;它的绝对值

是O

②|-3|的相反数是；它的倒数是;它的绝对值是

③相反数是它本身的数是0;倒数是它本身的数是1和-1;绝对

值是它本身的数是一非负数.

2、选择

①若a和b是互为相反数，则a+b=（）

A、-2aB、2bC、0D、任意有理数

②下列说法正确的是（）

A、-1/4的相反数是0.25B、4的相反数是-0.25

C、0.25的倒数是-0.25D、0.25的相反数的倒数是-0.25

③用-a表示的数一定是（）

A、负数B、正数C、正数或负数D、都不对

④一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是（）

A.-1B、1C、+1D、0

3、判断

①互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁（）

②在一个数前面添上”号，它就成了一个负数（）

③只要符号不同，这两个数就是相反数（）

4、计算：已知二1和2"—3的值互为相反数，求x的值。

34

知识点四：绝对值

1、绝对值的几何意义:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。

2、绝对值的代数定义：（1）一个正数的绝对值是它本身;（2）一个负数数的绝

对值是它的相反数;（3）0的绝对值是0；（4）|a|大于或者等于0。

3、比较两个数的大小关系

数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从大到小的

顺序，即左边的数小于右边的数。由此可知：（1）正数大于0,0大于负数,

正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。

1、化简

（1）_|_2/31=；

（2）|-3.3|-|+4.3|=—；

（3）1-|-1/2|=__；

（4）-1-|1-1/2|=o

3、填空题。

①若|a|=3,则a=___；|a+l|=0,则a=___。

②若|a-5|+|b+3|=0,则a=,b=。

③若|x+2|+|y-2|=0,则x=,y=。

④绝对值小于2的整数有_____o

⑤绝对值等于它本身的数有o

时，积为正；负因数的个数为奇数时,积为负。

③两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个

不等于0的数，都得」—0

④有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数

⑤除以一个不等于0的数等于乘以这个数的国虬。

知识点七：乘方

乘方定义：求〃个相同因数的积的运算,叫做乘方。

中，底数是。，指数是〃，募是乘方的结果；读作：。的n次方或。的n次

哥。

负数的奇次塞是负数，负数的偶次赛是正数。正数的任何次赛都是正数，0的任

何正整数次幕都是Oo

1、填空

①2?中，底数是；指数是；结果是；读

②(NT中，底数是；结果是o

③5中，底数是；指数是o

④偿丫中，底数是；指数是；募是

⑤「表示个相乘，结果是o

2^计算：

3*2=；-23=*；-1,=;

(-3尸=；05=；0.1J.

知识点八：运算律及混合运算

1、基本知识

士力口法交换律：a+b=b+a

♦乘法交换律：ab^ba

♦:♦加法结合律：〃+伍+.=(〃+/?)+C

♦乘法结合律：《)=(〃・/?)•(?

❖乘法分配律：G0+c)="+ac

♦有理数混合运算顺序：先.乘方；再乘除；最后算加减。

有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

同级运算，从左到右进行,

2、计算

(1).6-(-12)+(-3)

(2>(-7)x(-5)-90^(-15)

(3)(-48)+8-(-25)x(-6)

23

(4).42x(--)+(--)-(-0.25)

—JI

知识点九：科学记数法近似数

把一个大于10的数表示成4X10”的形式(其中〃是整数数位只有一位的数，

即〃是正整数)，使用的是科学记数法。如：57000000=5.7xl07o

知识点十：近似数

1、近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准

确数非常地接近，像这样的数我们称它为近似数。

2、近似数的分类：

(1)具体近似数(如30.2、58.0…)(2)带单位近似数(如2.4万…)

(3)科学记数法(如3.2x105…)

3、精确度：用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数，有一个近，以程

度的问题，这个近似程度就是精确度。四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位(看

精确度得到原数中去看在哪一位上，如：2.4万精确到千位，而非十分位,因为2.4

万就是24000,4在千位上)。

4、有效数字：对于一个不为0的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到末

尾数止，所有数字都是这个近似数的有效数字。

求近似数要求保留n个有效数字时，第n十1个有效数字作四舍五入处理。

例：0.0109有三个有效数字1、0、9,要求保留2个有效数字时，0.01091勺第

三个有效数字9四舍五入，变为0.0110,保留两个有效数字1、1后求出近似数

0.0109^0.Oik

5、计算

按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：

(1)0.1296(精确到0.1/0.01/0.001)

(2)220.45(精确到个位/0.1)

(3)0.0099999(保留3个有效数字)

第二章整式的加减

知识点一：整式的相关概念

代数式中的一种有理式：不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数，

但除式或分母中不含变数者，则称为整式。(分母中含有字母有除法运算的，那

么式子叫做分式)

1,单项式：数或字母的积(如5n,/等)，单个的数或字母也是单

项式。

(1)单项式的系数:单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。(如

果一个单项式，只含有数字因数，系数是它本身，次数是0)。

(2)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的

次数(非零常数的次数为0)。

2.多项式

(1)概念：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项

式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。

(2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次

数。

(3)多项式的排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式

按这个字母降幕排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起

来，叫做把多项式按这个字母升基排列。

在做多项式的排列的题时注意：

(1)由于单项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项

的性质符

看作是这一项的一部分，一起移动。

(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：

a.先确认按照哪个字母的指数来排列。

b.确定按这个字母降累排列，还是升累排列。

3、整式：单项式和多项式统称为整式。

4、列代数式的几个注意事项：

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“-”乘，或省略不写；

（2）数与数相乘，仍应使用“X”乘，不用“-”乘，也不能省略乘号；

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如aX5应写成5a；

（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如axj应写成3a；

22

（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3+a写成°的

a

形式；

（6）a与b的差写作a-b,要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，

则应分类,写做a-b和b-a.

知识点二：整式的加减运算

L同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项,

几个常数项也是同类项。（同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关）.

2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。法则：同类项

的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。不能合并的项单独作

为一项，不可遗漏

3.整式加减实质就是去括号，合并同类项。

注；去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来

的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的

符号相反。一般地，儿个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类

项。

4、几个重要的代数式：（m、n表示整数）

（1）a与b的平方差是：aJ-b2；a与b差的平方是：（a-b）」；

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b,则三位整数是：lOOa+lOb+c；

（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n；偶数是：2n,

奇数是：2n+l；三个连续整数是：nT、n、n+1；

（4）若b>0,则正数是:且也,负数是：土也,非负数是：al，非正数

是：中.

补充例题如下:

例.当X=1时,♦+石《-2=3;则当x=・1时尸3+bx-2=

解：将x=1代入办3+/>x—2=3中得：

a+b-2=3

a+b=5;

当,=・1时

ax'+bx—2=>a-b-2

=-(a+b)-2

=-5-2

=-7

例.如果关于X的多项式(81+66+14)_(8储+6x4-5)的值与x

无关，贝痴的取值为

解：原式=8x2-+-GaxSx2—6x—5

=(8x2—Sx2)+(6ax—6x)+(14—9)

=(6<7—6)X4-5

由题意知，贝h

6a-6=0

---a=1

例.已知数a.b在数轴上的位置如图所示

----------------------000--------------------------------►

a0b

化简下列式子：

a—2a+b—3\b-a

解：由题意知：a<0,b>0且

二原式=d2[・(a+b)]・3(b・a)

=-a+2[a+b]-3b+3a

=-a+2a+2b-3b+3a

=(-a+2a+3a)+(2b-3b)

=4a-b

第三章一元一次方程

知识点一：方程的相关概念

等式：表示相等关系的式子。

方程：含有未知数的等式。（方程一定是等式，但等式不一定是方程）。

方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。

一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数是1,并且等式两边都是整式的

方程。

同解方程：两方程的解相同。

知识点二：等式的性质

等式的性质1:等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即：如果〃=那么a±c=b±c°

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即：如果那么=如果4=/?（＜:工0）,那么@=

CC

知识点三：解一元一次方程

一般解法：

i去分母：两边同乘以各分母的最小公倍数；

ii去括号；

iii移项：移项要变号；

iv合并同类项：把方程化成ax二b（aWO）的形式；

v系数化为1：两边同除以未知数的系数，得到方程的解x=b/a。

一元一次方程的应用（重点难点）：

列方程解应用题的关键是：仔细审题，找出能正确表达题目整体数量关系的一个

相等关系，再设未知数，并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。

几种常见问题：

L和差倍分问题：这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”

“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。

2.行程相遇问题：三个基本量的关系路程;速度X时间

⑴两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间：甲的路程+乙的路程二

一圈的长度（直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同）；

（2）两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:快人的路程-慢人的路

程二一圈的长度。

3.工程任务问题：三个基本量的关系:工作量二工作效率X工作时间

一般情况下，把全部工作量看做1（即100%）,工作效率=1/工作时间（各个量一

定要对应，自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量）。合作效率二各个人的

效率之和。

4.利润问题：利润二售吩-成本二成本X利润率；利润率=利润+成本；实际售价二

标价X折扣率。

5.分配问题：例：某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母，每人每天平均

生产螺栓120个或螺母200个，一个螺栓要配两个螺母（建立等量关系的依据），

应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产拈刚

好配套？

6.水上航行问题:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度二静水速度-水流速度。

应用举例：

1.一本书，小明第一天读了十分之一，第二天读了10页，已读的是未读的1/

4,请问这本书一共有多少页？

等量关系：已读的+未读的二总页数（或己读的=总页数-未读的，未读的=总页数-

已读的）。

2.某服装七月份下降了10%八月份上升了10%,则八月份价格与原价比（）

A.不变B.增加1%C.减少9%D.减少1%

注意：不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降

10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。

3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步，甲每秒跑9米，乙每秒跑7米，

（1）当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇？

（2）当两人同时同地同向而行时\经过多少秒后两人首次相遇？

分析（1）:设经过x秒首次相遇。两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以

等量关系式是：甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米甲的路程二甲的速度X

时间x乙的路程二乙的速度X时间x得到方程:9x+7x=400

（2）设经过x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇，

所以等量关系式是:快人的路程-慢人的路程二一圈的长度400米,在这即是甲的

路程-乙的路程二400。

4.一项任务，甲独做需x天，乙独做需y天,若两人合作需天

分析:合作时间二工作量/合作效率工作量=1合作效率二甲的效率+乙的效

率

甲的效率;工作量/甲的时间二1/x乙的效率=工作量/乙的时间=1/y

・•・合作时间=1//x+1/y）

5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商

品每件标价多少元？

分析：设标价x元，等量关系：利润（求）・成本（已知250元）=利润率（已知

15.2%）

利润二实际售价（标价的9折即90%x）-成本250

A（90%x-250）/250=15.2%

练习：小明、小红买工具，所带钱之比为7：6,小明用掉50元，小红用掉60

元，两人余下钱之比为3：2,,求他们分别余下多少钱？

第四章图形认识初步

知识点一；几何图形

1、我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

2、有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。如长方体、正

方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。

3、有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。如线段、角、三

角形、长方形、圆等。

4、立体图形与平面图形虽然是两类不同的几何图形，但是立体图形中某些部分

是平面图形，对丁•些立体图形的问题，常把它们传化为平面图形来研究和史理。

有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平

面图形，这样的平面图形成为相应立体图形的展开图0

知识点二：点、线、面、体

1、立体图形是几何体，简称体：包围着体的是面，面有平面和曲面；面和面相

交的地方形成线，线有直线和曲线；线和线相交的地方是点。

2、几何图形都是由点、线、面、体组成，点是构成图形的基本元素。

知识点三：直线、射线、线段

1、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。

射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

2、点与直线的位置关系：点p在直线a上（或说直线a经过点p）；

点p不在直线a上（或说直线a不经过点p）o

过一点可画无数条直线，过两点有且仅有一条直线。简述为：两点确定一条

直线。

3、线段的中点：把一线段分成两相等线段的点。

两点的所有连线中，线段最短，简述为：两点之间，线段最短。

两点间的距离：连接两点间的线段的长度。

线段的长短比较：⑴度量法；⑵叠合法

判断：①两点间的距离是指两点间的线段。（）

②两点间连线的长度叫这两点间的距离。（）

知识点四：角

角：由两条具有公共端点引出射线组成的图形（也可看做是由一射线绕端点旋转

而成）。

角的表示：三个大写字母;一个大写字母（不混淆情况下方可使用）；一个数字;一

个希腊字母。

角的要素：顶点和边，角的大小与边的长短无关。

角的单位：度，分，秒①1°的60分之一为1分，记作1',即1。-60'

②1'的60分之一为1秒，记作1",即1'=60"

角的大小比较：⑴度量法；⑵叠合法。

角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这人角分成两个等角，这条射线叫

角平分线。

余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果

两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。

性质：等角的补角相等；等角的余角相等。

题型一：作图题

例1、已知：线段01、n（如图）

om

c3

求作：线段AC,使AC=m-no

作法：（1）作射线AM；.0y

（2）在射线AM上截取AB=mo

（3）在线段AB上截取BC=no

A~~G）-BM-

则线段AC就是所求作的线段。

题型二：线段的分类考虑

例2已知线段44=8cm,在直线用上画线段比,使它等于3cm,求线段4。的

长.

解：本题分两种情况：

如图4—4—9所示，当点。在线段力8的延长线上时，4广7

AC=AB-\-BC=8+3=11（crn）；图4-4-9

如图4—4—10所示，当点C在线段48上时，——「

AC-AB-BC=8—3=5（cm）.

所以线段力C的长为11cm或5cm.图公4”。

例3经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（）

A.1或3B.3C.2D.1

解析：这道题要分两种情况考虑：一是这三点都在一条直线上时，就只能画

出一条直线；二是这三点不在同一条直线上时，此时共可以画出三条直线.答

案：A

题型三：两角互补、互余定义及其性质的应用

例4一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数.

解：设这个角是,则它的补角是（180—X：°.

由题意，得180—《=4必解得x=36.所以这个角是36".

点拨

本题主要考查补角定义的应用，数学中利用方程、转化思想，可将“形”的

问题转化为“数”的问题研究，从而简捷解决问题.

例5如果一个角的补角是120。，那么这个角的余角是（）

A.30°B.60°C.90°D.150°

解析：本题是对余角、补角的综合考查，先根据这个角的补角是120。，求

出这个角是60°,再求出它的余角是30°.答案：A

例6根据补角的定义和余角的定义可知,10°的角的补角是170。，余角是80°；15°

的角的补角是165。，余角是75°；32°的角的补角是148。，余角是58°.

观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?请用任意角。代替题中的10°、15°、

32°的角来说明你的结论.

解：结论为：一个角的补角比这个角的余角大90°.

说明：设任意角是。（0V。<90°）,。的补角是180°一a，。的余角是

90°-a,

则（180°-。）一（90°-<7）=90°.

题型四：角的有关运算

例7如图4—4—3所示,力8和⑦都是直线，/力〃£=90°,

Z3°=4FOD,Zl=27°20，,求N2、N3的度数.

解：因为N4施=90°,

所以N2=90°-Zl=90°-27°20'=62°40'.

又因为/力⑺=180°-Zl=152°40',/3=NA9〃，

所以N3=LNAOD=76°20'.

2

所以上2=62°40',Z3=76°20'.

例8如图4—4—4所示，如、％是AAOD内任意两条射线，

OM平分/AOB、ON平分/若/MON=a、/BOO8.

A

图4-4-4

用。、8表示/AOD.

解：因为乙胆M=i,/BOOB,

所以N80什ZCON=AMON-ABOOa-p

又。犷平分N/l勿，QV平分NQ加，

所以/A0B+ZCOD=2ZBOM+2ZCON

=2(/B0M+/C0M=2(a—B),

所以N/OQN力/+N6W+/夕％=2(o—£)+£=2。一£.

例9(1)用度、分、秒表示54.12°.

(2)32°44'24〃等于多少度?

(3)计算:133°22'43〃4-3.

解：(1)因为0.12°=60'X0.12=7.2',0.2'=60"X0.2=12",

所以54.12°=54°7'12〃.

(2)因为24〃=(-!-)'X24=0.4,，44.4'=(—)°X44.4=0.74°,

所以32°44'24〃=32.74°.

(3)133°22'43〃+3=(1320+82’)+3+43〃4-3=44°+82'・3+43〃+3

=44°+(81'+1')+3+43"4-3=44°+27'+1'+3+43"4-3

=44。I27，门03〃：3^44。I27，I3〃=44。27'3〃.

方法总结

角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算.角度制的单位

是60进制的，和计量时间的时、分、秒一样.加减时，要将度、分、秒分别相

加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘

一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式

除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的yr*、

余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数.A)11f

题型五：钟表的时针与分针夹角问题