新北师大版75向量与向量运算学案

第五节空间向量与向量运算

【考试要求工了解空间向量的基本定理及其意义，，能运用向量的数量积判断向量的共

线与垂直.

夯实：主干知识知识诊断基础夯实、

■知识梳理回顾知识

1.空间直角坐标系

⑴空间直角坐标系的概念

过空间任意一点O,作三条两两垂宜的直线，并以点。为原点在B彳刀。平面

yOz平

三条直线上分别建立数轴：X轴，)，轴和Z轴，这样就建立了一个空平吗二窗已

间直角坐标系。一xyz.”

(2)相关概念

①坐标原点:O；②坐标轴：工轴(横轴)、上轴(纵轴)、乙轴(竖轴);③坐标平面:通过每

两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为皿平面、@平面、@平面.

(3)点的坐标表示

空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组唯一来刻画.三元有序

数组(%,y,z)叫作点P在空间直角坐标系中点的坐标，记作P(x,)，，z),其中，x叫作点尸

的横坐标，)，叫作点P的纵坐标，z叫作点尸的竖坐标.

(4)空间两点4为，加Z|),Bg%，Z2)间的距离

\AB\=7(X|—X2)2+()'|—>2)2+(Z[—Z2)2.

特殊情况，空间任意一点P(xo，和，Z0)与原点的距离|0P|=N君+1+4.

2.空间向量的概念

(1)定义：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.

(2)长度或模：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模.

(3)表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示.表示向量。的有向线段的长度

也叫作向量a的长度或模，用同表示.②字母表示法：用字母a,b,c,…表示.

3.空间向量的有关概念

名称定义表示法

自由向审与向量的起点无关

零向量模为2的向量0

单位向量模为1的向量\a\=\或而|=1

方向蛔且模

相等向审a=b或魂=CD

相等的向量

方向相反且模

相反向量-a

相等的向量

当表示向量的两条有向线段所在的直线拉或重佥时，

a//b

共线向最称这两个向量互为共线向量或壬任向量

规定：零向量与任意向量平行0//a

当表示向量a的有向线段所在直线平行于平面«或也平

a//a

共面向量面a内时，就说向量〃平行于平面a

平行于同一平面的向量，叫作共面向量.空间中，任意两个向量总是共画的

(1)线性运算：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：0C

=OA+OB=a+b,BA=OA~OB=a~b；OP=za(2eR).

(2)空间向量加法的运算律

①加法交换律：a+b=b+m

②加法结合律：(a+A)+c=a+(力+c).

(3)空间向量数乘运算满足以下运算律

①才(/心)=(4。〃；②(，+〃)0=%+"“；③23+/>)=加+动；其中2£R,〃£R.

5.关于空间向量的有关定理

定理语言描述

共线向两个空间向量a,bSWO)共线的充要条件是存在唯一的实数2使曰"杷这

量定理个定理称为共线向量基本定理(也称“一维向量基本定理”).

共面向任意给定两个不共线的向量mb,若存在实数X,卜使得向量。=.皿+)办.则向

量定理量c与。，力为共面向量.

空间向

如果向量。，上。是空间三个砂面的向量，p是空间任意一个向量，那么存

量基本

在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得〃=.ia+y)+zc.

定理

向量的夹角及取值范围

⑴两个向量夹角的定义：如图，已知两个非零向量*b,在空间中任取一点O,作晶

=a,OB=b,则NAO8叫作向量°,力的夹角，记作\a,by.

A

b

0B

b

⑵范围：OW<a,b>《Ji.特别地，当Q,b>=0时，向量Q与力方向相同；当〈。,

力)=2时，向量。与力方向相反，所以若。〃力，则〈〃，b>=0或兀；当《〃，力)=y时，

向量0,。互相垂直,记作

7.空间两向量的数量积及运算律

(I)空间向量数量积定义：已知两个空间向量a,b,把lallblcos〈0,b)叫作向量a,b

的数量积，记作。力，即a》=|a|/|cos(a,b).零向量与任意向量的数量积为Q,即0・G=Q.

(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(痴)仍=为°功)；②交换律：ab=ba；③分配

律：a(b+c)=a,b-\rac.

8.空间向量投影

(1)向量b在向量a方向上的投影向量

y\

如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作晶=〃，0乙~号一『4

6B=b,过点8作直线0A的垂线，垂足为点办，称向量初I为向量力在向量”方向上的

投影向量，则的=1臼cos<a,b}-A.

I"I

(2)向最b在向最a方向上的投影数量

称网cos(a,b)为投影向量OB\的数量，简称为向量b在向量a方向上的投影数量.结

合空间向量数量枳的定义可知，向量力在向量。方向上的投影数量为网cos(小=曹.

I"I

9.空间向量的坐标运算

a=(M，V，Z]),6=8，L，22)

向量和Q+6=(X1+.Y2，Yl+v2，Z[+z»

向量差。一1=Cq—12，w-72，zi-Z2)

数量积。•力=7型+y，2+z|Z2

数乘向量).a-(Ari,4H,久zi),4WR

a//b^3AGR,使得°=劝㈡使

%1=ZX2，

向量平行(共线)得彳》一切，

[Z)=AZ2.

垂直a_Lb3ab=0<=>xiX2+yij2+z1Z2=0.

cosQ,b)一⑷向一

夹角公式

XlX2+yi)'2+ziZ2,一八—

/2,o,//、(aNO,后0)・

4后版+K+Z受

［常用结论］

2.如图，在平行六面体AACQ-ASGU中，AC与5。的交点为M.设4南=Q,A乃产

b,Ai\=c,则下列向量中与瓦法相等的向量是()

A.-5"+]b+cB.24+/b+c

C.；；b+cD.一；J力+c

答案A

3.(多选题)下列各组向量中，是平行向量的是()

A.。=(1,2,—2),/>=(—2,—4,4)

B.c=(l,U,0),4=(-3,0,U)

C.e=(2,3,0),片(0,0,0)

D.g=(—2,3,5),/i=(16,-24,40)

ABC对于A,有b=-2a,所以。与》是平行向量;

对于B,有d=-3c,所以c与d是平行向量；

对于C,7是零向量，与c是平行向量：

对于D,不满足g=M,所以g与〃不是平行向量.

4.与向量(一3,-4,5)共线的单位向量是

3<22-J2幽

答案10，-5，2)

解析因为与向量。共线的单位向量是土含，

I"I

又因为向量(一3,—4,5)的模为N(―3)」+(-4)2+5?=5啦,

所以与向量(一3,一4，5)共线的单位向量是节/(—3,—4,5)=WS(—3,—4,5).

5.己知A,B,C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足说=1OA

+,为+］正，则点股(填“£”或“住”)平面ABC.

答案£

解析\'OMOAOBBC

JJJ

—励+|[OC-0B)

=|殖+；为+,沆，

122

V5+5+5=1，

：,M,A,B,C四点共■面.

即点M£平面ABC.

探究:核心考点考点突破支难解曳工

考点一空间向量的线性运算

1.（2022・四川省绵阳南山中学模拟）如图，设万I=a,OB=b,

OC=c,若病=NB,BM=2MC,则加=（）

I.12

A.20T不力一,c

II..2

B.-2a~6b+50

11fI

C.Ta-7b—qc

2o3

D'-2a+6短，

-A-»—>2-A1-A2-A-A1-A----►

A由题意得MN=MB+BN=]CB+]BA=q(OB-OC)+](OA-OR)=

1—1f2fl12

2+6°B~3OC=2%匕'故选L'

2.在四面体4BCO中，点尸在A。上，且4尸=2/2,E为3c中点，则济等于（）

A.EF=A€+1Afi-|/W

B.EF=-1AcAB+|Ab

C.EFACABAD

D.EF=~\ACAB—|AD

/4J

B在四面体ABC。中，点尸在AD上，且A/=2FD,E为BC

中点，

所以际=EB+函+AF=1(AB—Ac)-Q+|AD=

AC/W+|Ab,即际=-1ACAI3AD.故选B.

乙乙【乙乙D

3.如图，在正方体人8c。一人/6。1中，=a，Gi=b,

人；力i=c,O为底面4BCQ的中心，G为△QiGO的重心，则历=

()

A.T“+!c

32O

25

B.za+b+工c

3o

-1.2,1

C.3%叫fc

D.a+Jb+京c

A在正方体A8CQ—AiBiGA中，AA\=a,A\k\=b,A\b\=c,O为底面ABC。的

中心，G为△QGO的重心，连接OG,

则AG—AO+OG=T(AB+AD)+r(OD\+OCi)=J(A+c)+:

4，/rJ

I(而+正)+。。|+|(嬴+俞)+CC1

=zS+c)+:(一0+c)+：a+y(〃+c)+:a=|O+T力+，c.故选A.

/U1IJOJ乙vz

思维升华用基向量表示指定向量的方法

(I)结合已知向量和所求向量观察图形.

(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.

考点二共线、共面向量定理的应用

M例U(1)(2022•山西太原期中)在△ABC中，点。在8c上，H.BD=2DC,过。攸直线

AAAAO

分，别交直线4K,AC于点M,N,记AM=XAB,AN=fiAC,若2=),贝U〃=()

5「3

A.1B.

C4D£

J354

C依题意而=AB+BD=AB+|BC=AB+,(AC-AB)={ABAC,

JJJJ

即位？=­AN,

AM,AN=f(AC,

所以箭)=Tx-AMx—AN=TAM~AN,因为A、M、N三点共线，

\24

所以］+］工=i,解得.故选c.

(2)已知4,B,C三点不共线，对平面A4C外的任一点O,若点用满足苏=1(0A+

OB+OC).

①判断就4，/办，瓶：二个向量是否共面:

②判断点M是否在平面A3C内.

解①由题知宓+OB+OC=3OM,所以晶-OM={OM-OB)+(原一

OC),即忘=BM4-0/=一而B-MC,所以话,MB,MC共面.

②由①知，MAfMB,MC共面且过同一点M,

所以M,A,B,。四点共面，从而点M在平面ABC内.

思维升华1.空间向量共线的判定

(1)空间共线向量定理：a〃MbRO)0a=母

(2)在平面中4,B,C三点共线的充要条件是：OA=xOB+)，沅(其中x+)，=l),O

为平面内任意一点.

2.证明空间四点P,M,A,8共面的方法

(1)MP=xMA+丽：

(2)对空间任一点O,OP=0M+.xMA+y麻；

(3)对空间任一点O,OP=xOM+yO4(x+)，+z=l);

(4)丽//AB(或启//MB或诵//AM).

IA

对点强化1⑴(2022•天津南开中学模拟)如图，在△ABC中，AD=§A

DC,P是线段BD上一点，若亦=mABAC,则实数m的值为\

()BC

A-3B.|

C.2D.\

D由由)=1DC可得：Ab=|AC,即/=4AD,

I44

4+-+-病--n

55,因为优P,。三点共线，所以机5///

=m.故选D.

（2）（2022・江苏模拟）A,B,C三点不共线，对空间内任意一点。，若丽=推后协

4o

OOC,则P,A,B,C四点（）

A.一定不共面B.一定共面

C.不一定共面D.无法判断是否共面

B因为而=15A+|5B+|OC,则而-OA=-15A+|+|de,

即种-OA=|（OB-OA）+|（OC-OA），许"=|+|AC,由空间向量

共面定理可知，AP,ABt危共面，则尸，A,B,。四点一定共面.故选B.

考点三空间向量数量积及其应用

命题点1空间向量数量积的运算

45眼如图所示，已知空间四边形A6CD的每条边和对角线长都等

于1,点E,F,G分别是AB,AD,C。的中点，计算：

(V)EF-BA；

(2)EG-BD.

解设油=a,AC=b,AD=c.

则⑷=|四=|c|=l,〈a,b>=</>,c)=〈c,a〉=60°,

2-

(\)EF=3BD=1c—；a,BA=~atEF,BA=(%一%),(—a)=ga1ac

1

4

(2)由•BD=(EA+病+DG)•(病~AB)

=(_/h+病+/一对・(AD-AB)

=(_紧+跟+；财•(AD-AB)

=(-%+*+/)・(c—a)

1

2.

［引申探究］已知MN是正方体内切球的一条直径，点。在正方体表面上运动，正方体

的棱长是2,则丽•丽的取值范围为（）

A.[0,4]B.[0,2]

C.[h4]D.[h2]

B设正方体内切球的球心为O,则OM=ON=1,

丽・PN=（历+而）,（元H■冰）=前十由*（0M4-d/V）+而,ON,

•:MN为球。的直径，

：,OM+痂=0,OM-ON=-1,

：.PM・PN=雨2一]

义P在正方体表面上运动，

・•・当尸为正方体顶点时，|历|最大，最大值为，5；当户为内切球与正方体的切点时,

|元最小，最小值为1,

：,PO2-ie[0,2],

即丽•前的取值范围为[0,2].故选B.

命题点2利用数量积求长度

、例同（2022•四川绵阳模拟）如图，空间四边形OABC中，OA=OB=X

OC=2,NA0C=N80C=《，，点、M,N分别在OA,BCM//\

4D

上，且。M=2MA,BN=CN,则MN=()

B

A返B通

A.33

C.呼D.耳

A〈OM=2MA,BN=CN,

f——1f—?―

:.MN=ON-OM=2(OB+OC)一？OA

=一,OAOB+；OC.

n

又OA—OB—OC—2,ZAOC-ZBOC-,ZAOB-

93，

所以a•OC=0,OB•OC=0,OA•OB=\OA\,\OB|cos=2,

J

+；OC2—彳OA,OB—彳

所以A^=(一］®+；加=*苏丽2

OA-OCOB•充=9画\OBF+；|OC|2-|a4•OB=1X22+^X2?+(

X2~3X2—~g,所以|M/V—.故选A.

命题点3利用数量积求夹角

必5峋(2022-四川省成都市模拟)已知a=(cos。，-1,sin。)，》=

(sina,-1,cosG),则向量。+)与“一力的夹角为()

A.90°B.60°

C.30°D.0°

A因为a=(cosa,—I,sina),

Z»=(sina,-1,cosa),

所以a+)=(cosa+sina,-2,sina+cosa),

a—b=(cosa-sinc,0,sina—cosa),

设向量a+b与a—b的夹甬为fi,

则cosB—

(cosa+sin<?)X(coso—sina)+(-2)X0+(sina+cosa)(sina—cosa)

I~~2/22

(cosa+sina)+(—2)+(sina+cos。)X(cosa-sina)+0I2+3(sina—cosa)

cos2a-sin2a+0+sin2a-cos2a

=------———=0

N6+2sin2aX-\j2-2sin2a

因为££[0,n],所以S=T,故向量a+)与。一〃的夹角为蓝.

思维升华(1)由向量数量积的定义知，要求。与力的数量积，需已知⑷，网和〈明力〉,

。与力的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a协计算准确.

(2)求模长时，可根据同=，不+)彳+舟:

(3)求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos〈%6〉=工尚.要判断空间两向量垂直时,

可以求两向量的数量积是否为0,即ab=OOaJ_b.

〈a,b〉为锐角=。仍>0;〈a,b〉为钝角•瓦通菖■通过计算〃•力的值来判断两向量夹

角是锐角还是钝角.

对点强化2(1)三棱锥P—ABC中，△以B和△A8C都是等边三角形，A8=2,PC=\,

。为棱居上一点，则协•正的值为()

A.B.1

3

C.5D.与。点位置有关

A如图所示,

取A8的中点&连接PE,CE,

和4ABC都是等边三角形，：.PE±ABtCEA-AB,

•・•PEDCE=E,：.AB±面PEC,:PCU面PEC,

：,AI3-LPC,在△4PC中，AP=AC=2fPC=\,

AP^PC^-AC244-1-4」

由余弦定理cosZAPC=

2APXPC=-4-=4

—>—►—►—>—>—>—>—>—►—>—>

:.PD•PC={PA+A。）PC=B4PC+AO-PC=PA・PC=2X1X-=-.故

选A.

(2)(2022•江苏南京市中华中学模拟)在空间直角坐标系O入＞中，若a=(1,3

2),力=(2,-1,1),。与方的夹角为120°,则2的值为()

A.IB.-17

C.-1或一17D.17或一1

D由题意，向量。=(—1,A,-2),b=Q,—1,1),可得。力=—2一7一2=-4—2,

⑷=$+/[2，回=#,因为。与方的夹角为120°,可得cos120°=箭，即一;=

-4-x

整理得万一]62—17=0,解得九=一1或/D.

、5+炉•水

(3)(2022•全国模拟)在棱长为1的正方体中，若点E是线段A8的中点,

点M是底面48CO内的动点，且满足4MJ_GE，则线段AM的长的最小值为()

3当B.平

JJ

C.1D.当

B如图所示，建立空间直角坐标系，设4(0,0,1),Ci(l,1,

1),40,0),M(xfy,0),

所以y,—1),C\E=y-^~I,-l),AiM±C\E

可得一^x-)，+l=。，即x+2y-2=0,所以线段AM的长的最小值

22小金

为/,—;—<•故选B.

J2+225

考点四向量法证明平行、垂直

45咽如图，已知A4_L平面ABGBS〃A4i，AB=AC=3,

,BBi=2巾，点E和尸分别为BC和AC的中点.

（1）求证：E/〃平面八山18A；

（2）求证：平面AE41平面BCBi.

证明因为A8=AC,E为8C的中点,

所以4”IBC.

因为平面48c,A41/7BB1,

所以以过E作平行于BBi的垂线为z轴，EC,EA所在直线分别为工

轴，丁轴，

建立如因所示的空间直角坐标系.

因为AB=3,BE=yf5,

所以AE=2,

所以E(0,0,0),C(>/5,0,0),。(0,2,0),

B(-<5,0,0),丛(一小，0,2巾).

,1,乎).

4(0,2,巾),则

=（坐坐，赢（一小