福建省莆田市2027届高三开学质量诊断试卷数学+答案

莆田市2027届高中毕业班开学质量诊断练习试卷

数学

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷

上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.若z=i(√3-i),则|2|=

A.1B.2C.3D.4

2.设全集U-{x∈Zx(x-8)<0},集合A={1,3,5,73,则C,A=

A.{2,4,6}B.{0,2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{0,2,4,6,8

3.已知双曲线C:则C的离心率为

A.B.D.

4.曲线y=x³+1在点(1,2)处的切线方程为

A.y=x+1B.y=2xC.y=3x-1D.y=4x-2

5.若函数的图象关于直线对称，则@的最小值为

A.B.1C.2D.5

6.设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=f(x),当2≤x≤3时，f(x)=3-1og₂x,

则

A.4B.4-log₂5C.3-1og₂5D.2-1og₂5

数学试题第1页(共4页)

7.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；

冬至暑长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：二十四个节气可以通过特定标记的

日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最

大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立秋”时日影长度为

附：

二十四节气表

立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种夏至小署大署

立秋处署白露秋分寒露霜降立冬小雪大雪冬至小寒大寒

A.分B.分C.D.分

8.有6个相同的球，其中3个黄球，3个白球，依次从中无放回地随机抽取，每次取1个

球，直到取出2个黄球时停止取球.记X为停止取球时所取出的球的个数，则X的数

学期望为

A.2B.2.5C.3D.3.5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量a=(2,4),b=(1,t),则下列说法正确的是

A.|a|=20B.若a⊥b,则

C.若t=2,则a//bD.若t=0,则a在b上的投影向量为2b

10.在棱长为2的正方体ABCD-AB₁C₁D₁中

A.直线AC₁与BC是异面直线B.平面AB₁C//平面A₁C₁D

C.直线A₁C₁到平面AB₁C的距离为D.四面体D₁-AB₁C的外接球的体积为

11.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,准线为I;x=-1,过F作两条互相垂直的

直线，l₂,直线与C交于A,B两点，直线l₂与C交于D,E两点，则

A.p=2

B.|AB|+|DE|≥16

C.若弦AB的中点到I的距离为,则l的斜率为√3

D.设l₂交I于点M,则

数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知S是等比数列(a。)的前n项和，且a₁=1,a₂=2,则S₅=.

13.直线I:x-y-2=0被圆M:x²+y²-4x-6y+4=0所截得的弦长为·

14.定义：已知a,a₂,…,a10是10个互不相等的实数的一个排

列，且满足max{a₁₋1,a₁}>a(i=2,3,…9),则该排列的所有可能结果有_个.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2sinAcosB=sinC.

(1)证明：A=B;

(2)若b=2,a+c=2+√2,求△ABC的面积.

16.(15分)

近年来AI生成的艺术品备受关注，某艺术机构为了解购买AI生成的艺术品的意愿与

性别的关系，随机调查了100名顾客，得到如下列联表：

愿意不愿意合计

女性451560

男性251540

合计7030100

(1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析购买AI艺术品的意愿是否与性别有关；

(2)从这100名顾客中随机抽取两名，已知其中至少有一名为女性，求这两名顾客都

愿意购买AI艺术品的概率.

P(x²≥8)

附：0.1000.0500.010

x₀2.7063.8416.635

数学试题第3页(共4页)

17.(15分)

已知和B(2,0)为椭圆C:1(a>b>0)上两点.

(1)求C的方程；

(2)过点D(1,0)作直线1与C相交于P,Q两点，与y轴交于点E(点E在椭圆内部),

O为坐标原点，若△ODP的面积与△OEQ的面积相等，求直线I的方程.

18.(17分)

如图，在矩形ABCD中，AB=√3,AD=1,点E是线段AB上的动点，将△ADE沿DE

翻折至△A'DE.

(1)证明：DE⊥AA';

(2)若平面A'DE1平面BCDE,求A'在平面BCDE内的射影的轨迹的长度；

(3)当点E与B重合时，记二面角A'-DE-C的大小为θ,若,求直线BC

与平面A'DE所成角的正弦值的取值范围.

19.(17分)

己知函数f(x)=1n(1+x)-/α,

(1)当k=1时，求f(x)的单调区间；

(2)证明：

(3)当x>0时，g(x)-f(x)≥1,求k的取值范围.

数学试题第4页(共4页)

莆田市2027届高中毕业班开学质量诊断练习试卷

数学试题参考解答及评分标准

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的

一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4.只给整数分数.单项选择题和单空填空题不给中间分.

一、选择题：每小题5分，满分40分.

题号12345678

答案BADCCBCD

二、选择题：每小题6分，满分18分.(本题为多项选择题，每小题中，全部选对得6分，

部分选对的得部分分，有选错得0分)

题号91011

答案CDABCABD

三、填空题：每小题5分，满分15分.

12.3113.3√214.512

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.本小题主要考查正余弦定理，面积等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力

等；考查数形结合思想，函数与方程思想等；考查逻辑推理，数学运算，直观想象等核心

素养；体现基础性和综合性.满分13分.

法一：

(1)证明：因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B),………………2分

数学参考解答第1页(共11页)

所以2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB4分

即sinAcosB-cosAsinB=05分

所以sin(A-B)=06分

又A-B∈(一π,π),所以A-B=0,即A=B7分

(2)由(1)可得，a=b=28分

因为a+c=2+√2,所以c=√29分

由余弦定理得，………10分

………11分

所以△ABC的面……13分

法二：

(1)证明：由正弦定理得，2a·cosB=c2分

由余弦定理得，………4分

整理得，a²+c²-b²=c²,即a²=b²5分

所以a=b6分

所以A=B7分

(2)由(1)可得，a=b=28分

所以△ABC是以C为顶点的等腰三角形9分

因为a+c=2+√2,所以c=√210分

过C作CD⊥AB于D,则……………11分

所以△ABC的面积……………13分

16.本小题主要考查条件概率，独立性检验等基础知识；考查逻辑推理能力，运算求解能

力，应用意识等；考查统计与概率思想，转化与化归思想等；考查逻辑推理，数学运算，

数学抽象，数学建模等核心素养；体现基础性、综合性.满分15分.

解：(1)零假设H₀:购买AI艺术品的意愿与性别无关联2分

数学参考解答第2页(共11页)

根据列联表中的数据，经计算得到

…………4分

≈1.786<2.7065分

根据小概率值α=0.100的独立性检验，

没有充分证据推断H₀不成立，因此可以认为H₀成立6分

即认为购买AI艺术品的意愿与性别无关联7分

(2)设事件A=“所选的两名顾客至少有一名是女性”…8分

B=“这两名顾客都愿意购买AI艺术品”…9分

………………………1分

……………12分

………………14分

所以所求的概率为……………15分

17.本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知

识；考查逻辑推理能力，运算求解能力等；考查转化与化归思想，数形结合思想，函数与

方程思想等；考查逻辑推理，数学运算，直观想象等核心素养；体现基础性和综合性.满

分15分.

解：(1)依题意得，……2分

数学参考解答第3页(共11页)

解得....................................................................................................................4分

所以C的方程为.......................................................................................5分

(2)

法一：

依题意可知，直线1的斜率存在且不为零.

设直线l:x=my+1(m≠0),P(x₁,y₁),Q(x₂,y2),………6分

所以………………7分

联立整理得(m²+2)x²+2my-3=0,…_8分

……………………9分

设原点O到I的距离为d,

因为△ODP的面积与△OEQ的面积相等，

,得|DP|=|EO|……………10分

……11分

依题意，y与异号，……………12分

………………………13分

所以,解得m=±√2,………………14分

所以直线I的方程为x-√2y-1=0或x+√2y-1=0.…………………15分

数学参考解答第4页(共11页)

法二：

依题意可知，直线l的斜率存在且不为零.

设直线l:y=k(x-1)(k≠0),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),6分

所以E(0,-k),………7分

联立得(2k²+1)x²-4k²x+2k²-4=0,………………8分

所以………………………9分

因为△ODP的面积与△OEQ的面积相等，

…………………10分

所以y||=|-kl|x₂|,则|k(x₁-1|=|kx₂|,即|x₁-1|=|x₂|………1分

依题意，x₁-1与x₂异号，…………………12分

所以x₁-1+x₂=0,则………13分

解得…………………………14分

所以直线1的方程为x-√2y-1=0或x+√2y-1=0.…………15分

法三：

数学参考解答第5页(共11页)

依题意可知，直线I的斜率存在且不为零.

设直线l:x=my+1(m≠0),P(x₁,y),Q(x₂,y2),6分

所以………………7分

联立得(m²+2)y²+2my-3=0,…………………8分

所以…………………………9分

设原点O到1的距离为d,

因为△ODP的面积与△OEQ的面积相等，

,得|DP|=|EO|…………………10分

所以DE与PQ的中点重合，………………1分

又因为PQ的中,DE的中点…………………12分

所以………………13分

所以,解得m=±√2,……………14分

所以直线I的方程为x-√2y-1=0或x+√2y-1=0.……15分

18.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面，空间角等基础知识；考查空

间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力，创新意识等；考查转化与化归思想，数形结

合思想，函数与方程思想等；考查逻辑推理，数学运算，直观想象，数学抽象等核心素

养；体现基础性、综合性和创新性.满分17分.

解：

A

作AH⊥DE于H,连接A'H,由翻折性质知，A'H⊥DE.…………1分

(1)连接AA'.

∵AH⊥DE,AH⊥DE,………………2分

数学参考解答第6页(共11页)

又AH,AHc平面A'AH,AH∩AH=H,3分

∴DE⊥平面A'AH,4分

又∵A'Ac平面A'AH,

∴DE⊥AA'.……………5分

(2)

法一：

∵平面A'DE⊥平面BCDE,平面A'DE∩平面BCDE=DE,

A'Hc平面A'DE,A'H⊥DE,……6分

∴A'H⊥平面BCDE,

∴H为点A'在平面BCDE上的射影.7分

又AH⊥DE,可知H的轨迹是以AD为直径的一段圆弧，…………………8分

∴当点E从A移动至B时，H的轨迹长度从0增长至最大.

∵点E与B重合，∴AB=√3,又AD=1,,……………9分

∴A'在平面BCDE的射影的轨迹长度为

法二：

以D为原点，以向量DA,DC的方向为x轴，y轴正方向，如图建立空间直角坐标系，则

D(0,0,0),A(1,0,0).6分

∵平面A'DE⊥平面BCDE,平面A'DE∩平面BCDE=DE,

A'Hc平面A'DE,A'H⊥DE,………7分

∴A'H⊥平面BCDE,

数学参考解答第7页(共11页)

∴H为点A'在平面BCDE上的射影.8分

,则H(cos²α,cosasina,0),即

取AD中点,则

∴H的轨迹是以F为圆心，以为半径的圆弧，且圆弧对应的圆周角为,.......9分

∴该圆弧的长度为…………10分

(3)

法一：

以D为原点，以向量DA,DC的方向为x轴，y轴正方向，如图建立空间直角坐标系，则

D(0,0,0),B(1,√3,0),C(0,√3,0).

过A作DE的垂线，垂足为I,求得

二面角A′-DE-C的平面角为θ,则.………11分

设平面A'DE的法向量为n=(x,y,z),

DE=(1,√3,0),,………………12分

由n.DE=0,n·DA=0,得

数学参考解答第8页(共11页)

…………13分

令x=√3,则y=-1,代入解得

即平面A'DE的一个法向量…………………14分

直线BC的方向向量CB=(1,0,0),设直线BC与平面A'DE所成角为φ,

……………15分

,sinθ单调递增，

……………16分

即直线BC与平面A'DE所成角的正弦值的取值范围为…………17分

法二：

作AG⊥平面A'DE于点G,连接GH,GD.

∵DEc平面A'DE,∴AG⊥DE.11分

又AH⊥DE,AG,AHc平面AGH,AG∩AH=A,

∴DE⊥平面AGH,12分

又GHc平面AGH,

∴DE⊥GH,13分

数学参考解答第9页(共11页)

∴∠GHA是二面角A'-DE-A的平面角，14分

∴∠GHA=θ.

在△AGH中，

又AH=ADsin60°=sin60°,

设直线BC与平面A'DE所成角为φ,又BC//AD,所!....15分

sinθ单调递增，

……………16分

即直线BC与平面A'DE所成角的正弦值的取值范围