2026秋高三数学复习 空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量(原卷版)

空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练

考点一已知线线角求其他量

1．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD,BC//平面PAD,BC^AB.

(1)证明：平面PAD^平面PAB.

3

(2)若AD=AB，PA=BC，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正

2

弦值.

2．（24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB^平面ABCD，AB^AD,AB∥CD，

且AB=1,AD=CD=2,E在线段PD上．

(1)若E是PD的中点，试证明：AE平面PBC；

(2)若异面直线BC与PD所成的角为∥60°，求四棱锥P-ABCD的侧视图的面积．

3．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB,AD,AP两两垂直，长度分别为1，2，

uuuruuuruuuruuur15

2，若DC=lAB，且向量PC与BD夹角的余弦值为.

15

(1)求实数λ值；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)求平面PBD与平面PCD夹角的余弦值.

4．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AAC11C^平面ABC，AA1=AC1，

AC=2，AC^BC，AA1^AC1.

(1)证明：BB1^平面A1BC；

1

(2)若异面直线AB,CA所成角的余弦值为，求BC.

113

5．（23-24高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD,AB^AD,AD∥BC，

AP=AB=AD=1,BC=2.

(1)求二面角B-PD-C的正弦值；

(2)在棱PC上确定一点E，使异面直线PD与BE所成角的大小为60o，并求此时点E到平面PBD的距离.

6．（2024·广西贺州·一模）某几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分），其中

A1ABB,1,CC1,DD1均与底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为120°，E为弧A1D1

的中点．

(1)证明：AB//平面CD1E．

9

(2)直线AB与CD所成角的余弦值为．

1110

（i）求直线AB1与平面CD1E所成角的正弦值；

（ii）求二面角C-D1E-D的余弦值．

7．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，CD^平面PAD，PA^AD．

(1)证明：PA^平面ABCD；

(2)若底面ABCD是正方形，AP=AB=2，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为

60°．

（ⅰ）求PF的长度；

（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．

8．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，VABC是底边为2的等腰三角形，且BA=BC=3，△DAC为等腰直

角三角形，ÐCDA=90°，将△DAC沿AC翻折到VPAC的位置，且点P不在平面ABC内（如图2），点F为线段

PB的中点．

(1)证明：AC^PB；

(2)当平面PAC^平面ACB时，求直线PB与平面ACF所成角的余弦值；

6

(3)若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面PAC与平面ABC的夹角为a，求cosa的值．

4

考点二已知线面角求其他量

1．（2025·云南·模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD^AB，侧面PAB^

1

底面ABCD，PA=PB=AD=BC=2，且E，F分别为PC，CD的中点，

2

(1)证明：DE//平面PAB；

(2)若直线PF与平面ABCD所成的角为30°，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

2．（2025·江西萍乡·三模）已知四棱锥S-ABCD中，二面角S-AD-B为直二面角，

4

AD=CD=2SD=4BC=4，ÐBCD=ÐADC=ÐASD=90°，M为棱DA上一点.

3

(1)证明：SA^SC；

(2)若M为DA中点，求二面角B-SC-M的正弦值；

π

(3)若BM//平面SCD，点N在平面SMB上，若直线AN与平面SCD所成角为，求MN的最小值.

6

3．（2025·四川乐山·三模）如图，直五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，四边形ABDE为正方形，

ææπöö

BD=DC=DD1=4，二面角B-DD1-C1的平面角为qçqÎç0,÷÷，P为AE中点.

èè2øø

2

(1)当tanÐCPC=时，证明：PD^平面CDDC；

1311

π

(2)当直线BC与平面DDCC所成的角为时，求cosq的值.

1116

4．（24-25高二下·广西贵港·期中）如图，边长为2的正方形ABCD是圆柱的轴截面，E为底面圆O上的点，F为

线段DE的中点．

(1)证明：AE^平面BCE．

(2)证明：OF//平面BCE．

219

(3)若直线BE与平面CDE所成角的正弦值为，求BE的长．

19

5．（24-25高二下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，BA=BD=BP=5，CD=1，

PA=PD=2，PA^PD，E是棱PA的中点，且BE∥平面PCD，点F是棱PD上的一点．

(1)求证：CD^平面PAD；

(2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值；

1135

(3)若直线PC与平面ABF所成角的正弦值为，求DF的长．

105

6．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

AC=BC=CC1=2,AC^BC,E,F分别为BC,BB1的中点.

(1)证明：C1E^平面ACF；

2

(2)在线段EC上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为14？若存在，求平面AFM与

11121

平面AC1E夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.

7．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD^平面ABCD，AD^CD，AB//CD，

AB=2，AD=CD=PD=4，M为PC中点．

(1)求证：BM//平面PAD；

(2)求三棱锥P-ABD的外接球的体积；

p

(3)线段PA上（不含端点）是否存在点N，使得DN与平面MBD所成角为？若存在，确定N点的位置；若不存

4

在，请说明理由.

8．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）如图，在三棱锥A-BCD中，AC=AD=BC=BD=23，AB=CD=4，点

25

F在棱AB上（不与端点重合），直线AF与平面FCD所成角的正弦值为．

5

(1)求异面直线AB，CD所成角的正弦值；

AF

(2)求的值．

BF

考点三已知面面角求其他量

1．（2025·山东泰安·模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，PD^底面ABCD，底面ABCD为正方形，AD=PD=6，

uuuruuur

点E为AP的中点，点F在线段PC上，且PF=lPC.

1

(1)若l=，求证：EF^平面PDB；

2

2

(2)若平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，求l的值.

3

π

2．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为23的菱形，ÐBAD=，

3

PB=PD.

(1)证明：平面PAC^平面ABCD；

p

(2)若点P在平面ABCD内的投影为△ABD的重心，且直线CP与平面ABCD所成角为.

4

（i）求四棱锥P-ABCD的体积；

15CM

（ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），当平面ABM和平面BCM所成角的正弦值为时，求的值.

5CP

3．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2A1B1=2，

AA1=2，DD1^AD，ÐB1BA=ÐB1BC.

(1)证明：DD1^平面ABCD；

321

(2)点P在棱DD1上，当二面角P-AB1-C的正弦值为时，求DP.

14

4．（24-25高二下·福建龙岩·期末）如图，在三棱锥P-ABC中，AC^BC，AC=BC=32，PA^平面ABC.

(1)求证：平面PBC^平面PAC；

7

(2)若AP=AB，F为线段PC的中点，点E为线段PB的动点，且二面角E-AF-C的余弦值为，求BE.

7

5．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD^平面ABCD，底面ABCD是平行四

uuuruuur

边形，AD=2AB=2，ÐBCD=60°，AB^AP，点E满足PE=2EA，点F是线段AD的中点．

(1)证明：BD^平面PCD；

(2)若二面角E-BF-C的大小为135°时，求四棱锥P-ABCD的体积．

6．（24-25高二下·河南周口·期末）如图（1），在菱形ABCD中，AB=2，ÐBAD=60o，VEAD是以AD为斜边的

等腰直角三角形．将VEAD沿直线AD折起，落到△PAD的位置，此时PB=7，如图（2）．

(1)求证：AD^PB；

(2)求四棱锥P-ABCD的体积；

7PF

(3)设F为线段PB上的点，平面ADF与平面PBC的夹角为a，若cosa=，求的值．

14PB

7．（24-25高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，

1

AB^AD,CD^AD,AB=AD=PD=CD=1,PA=2,PC=5，点Q为棱PC上一点．

2

(1)用几何法证明：PD^平面ABCD；

(2)当点Q为棱PC的中点时，求

四棱锥Q-ABCD的体积；

①直线PA与平面BDQ所成角的正弦值；

3PQ

(3)②当二面角P-BD-Q的余弦值为时，求．

3PC

8．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD^平面ABCD，△PAD是边长为2的等边

三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB^AD，AB=BC=1．

(1)求证：AB^PD．

(2)求线段PA中点M到平面PCD的距离．

10PE

(3)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存

5PD

在，请说明理由．

考点四已知空间距离求其他量

1．（24-25高二下·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中．底面ABCD为矩形，侧棱PD^底面ABCD，

PD=DC=2AD=2，E是PC的中点．

(1)求证：PA∥平面EDB；

(2)求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值；

uuuruuur6

(3)若BF=lBP0<l<1，且点F到平面EDB的距离为，求l的值．

6

2．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA^底面ABCD，

PA=AB=2，AD=4，E是PD的中点．

(1)求证：PB//平面AEC；

(2)求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；

2

(3)若点F在棱PC上运动，当点F到平面AEC的距离为时，求PF的长度．

3

3．（24-25高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BD、CC1的中点，

点G是平面ADD1A1上的点.

uuuruuuruuur

(1)若点G是AD1的中点，证明：GF与AB、AD共面；

(2)求平面ADG与平面BDF所成的锐二面角的余弦值；

6

(3)若点G满足DG=lDADD1l,Î0,1，且点G到平面BDF的距离为，试确定点G的位置，使得GE与

3

平面BDF所成的角取得最大值.

4．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为3，D是BC的中

点．

(1)证明：A1B//平面ADC1；

(2)求直线A1B1与平面ADC1所成角的正弦值；

221A1E

(3)在线段AC11上是否存在一点E，使得点B1到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，

7AC11

请说明理由．

5．（24-25高二下·广东广州·期末）如图，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面，ÐADC=ÐBAD=90°，F为线

1

段PA上一点，PD=2，AB=AD=CD=1，四边形PDCE为矩形．

2

(1)若F是PA的中点，求证：AC//平面DEF；

(2)求直线AP与平面BCP所成角的余弦值

3

(3)若点F到平面BCP的距离为，求PF的长．

7

6．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）如图，在直四棱柱