2017-2026十年高考数学专项汇编专题03 等式与不等式综合（含基本不等式）（教师版）

1

专题03等式与不等式综合（含基本不等式）

（三大考点，44题）

考点分类五年考情（2017-2026）命题规律

1.题型以选择题为主，少量填空题，

整体难度偏低，属于基础题型。

2.核心考查不等式基本性质、作差/作

2026上海卷、2025北京卷、2024商比较大小，常结合实数范围判断命题

考点01不等式性

上海卷、2022上海卷、2019全国正误。

质

Ⅱ卷、2017山东卷3.命题形式简洁，多直接给出变量大

小关系，侧重对性质的理解与简单应用。

1.选择、填空均有考查，常与集合运

上海卷、全国二卷、

20262025算结合出题，是高考高频基础考法。

2025上海卷、2025天津卷、20242.重点考查一元二次不等式、高次不

考点02解不等式上海卷、2023新课标Ⅰ卷、2020等式求解，同时考查不等式恒成立求参

浙江卷、2020全国Ⅰ卷、2019全数范围问题。

3.部分试题结合函数综合考查，对分

国Ⅱ卷、2018天津卷

类讨论思想有一定要求。

2026天津卷、2026上海卷、2025

上海卷、2024北京卷、2024上海

1.考查题量最多，包含选择、填空、

卷、2023上海卷、2022全国甲卷、

解答题，有单选、多选形式，难度覆盖

新高考全国Ⅰ卷、新高

20222022基础到中档。

考全国Ⅱ卷、2021全国乙卷、2.核心考查利用基本不等式求最值、

考点03基本不等

2021新高考全国Ⅰ卷、2021天津判断不等式恒成立，重点考查“一正、

式

卷、2021上海卷、2020上海卷、二定、三相等”使用条件。

3.综合性强，常融合圆锥曲线、解三

2020山东卷、2020全国Ⅱ卷、

角形、函数、解析几何等知识命题，注

天津卷、江苏卷、

202020202019重配凑、换元等解题技巧。

天津卷、2018江苏卷、2018天津

卷、2017天津卷

1

考点01不等式性质

1.（2026·上海·高考真题）已知xy1，则下列不等式恒成立的是（）

22

A．xyB．xyxyC．xyD．xyxy

【答案】C

【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C.

22

【详解】对于A,取x3,y2，则x3,y4,故xy，所以A错误，

对于B，取x1.5,y1.2,则xy1.8,xy2.7，此时xyxy，故B错误，

22

对于C，由于xy1，故xx，因此xy，C正确，

对于D,取x3,y2，则xy5,xy6，此时xyxy，故D错误，

故选：C

2.（2025·北京·高考真题）已知a0,b0，则（）

111

22

A．ab2abB．abab

112

C．ababD．abab

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

22

【详解】对于A,当ab时，ab2ab，故A错误；

1111

2468

1111

a,babab

对于BD，取24，此时24，

1122

24642

ab11ab

24，故BD错误；

对于C，由基本不等式可得ab2abab，故C正确.

故选：C.

1

3.（2024·上海·高考真题）a，b，cR，bc，下列不等式恒成立的是（）

22222222

A．abacB．abacC．abacD．abac

【答案】B

【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.

bc22

【详解】对于A，若，则bc，选项不成立，故A错误；

22

对于B，由不等式的可加性可知，abac，故B正确；

对于C、D，若a0，则选项不成立，故C、D错误．

故选：B．

4.（2022·上海·高考真题）若实数a、b满足ab0，下列不等式中恒成立的是（）

aa

2b2ab2b2ab

A．ab2abB．ab2abC．2D．2

【答案】A

【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.

2

ab2abab0

【详解】因为ab0，则，故ab2ab，A对B错；

2

aaaa

2b2ab2b22b2b0a

22222b2ab

，即2，

a

2b

当且仅当2时，即当a4b时，等号成立，CD都错.

故选：A.

5.（2022·上海·高考真题）已知abcd，下列选项中正确的是（）

A．adbcB．acbd

C．adbcD．acbd

【答案】B

【分析】用不等式的基本性质得解.

【详解】3210，但3021，3021，A、C错

abcd，ac,bd，所以acbd.B正确.

30122

30212，但，D错.

故选:B.

6.（2022·上海·高考真题）xy0，xy10，则zx2y的最小值是___________.

1

3

【答案】2/1.5

31

x2yxyxy

【分析】分析可得22，利用不等式的基本性质可求得zx2y的最小值.

3

m

2

mn11

n

x2ymxynxymnxmny

【详解】设，则mn2，解得2，

313

zx2yxyxy

所以，222，

3

因此，zx2y的最小值是2.

3

故答案为：2.

7.（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则

A．ln(a−b)>0B．3a<3b

C．a3−b3>0D．│a│>│b│

【答案】C

【分析】本题也可用直接法，因为ab，所以ab0，当ab1时，ln(ab)0，知A错，因为

xab333

y3是增函数，所以33，故B错；因为幂函数yx是增函数，ab，所以ab，知C正确；取

1ab2

a1,b2，满足ab，，知D错．

ab

【详解】取a2,b1，满足ab，ln(ab)0，知A错，排除A；因为9333，知B错，排除

1ab23

B；取a1,b2，满足ab，，知D错，排除D，因为幂函数yx是增函数，ab，所

33

以ab，故选C．

【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算

能力素养，利用特殊值排除即可判断．

8.（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是

1bb1

aalog2(ab)alog2(ab)a

A．b2B．2b

1b1b

alog2(ab)alog2(ab)aa

C．b2D．b2

【答案】B

b

a1,0b1,1,log2ablog22ab1,

【详解】因为ab0，且ab1，所以2a

1

fx2xx,x1fx2xln210fx2xx,x1

设，则，所以单调递增，

1

a

b11

2aabalog2(ab)

所以bb，所以选B.

【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单

调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数

函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.

考点02解不等式

x4

2

1.（2025·全国二卷·高考真题）不等式x1的解集是（）

A．{x∣2x1}B．{x∣x2}

C．{x∣2x1}D．{x∣x1}

【答案】C

【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

x4x2x2x10

20

【详解】x1即为x1即x10，故-2£x<1，

故解集为{x∣2x1}.

故选：C.

M2,1,0,1,2Nxx2x60

2.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则MN（）

2,1,0,10,1,222

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．

2

Nxxx60,23,M2,1,0,1,2

【详解】方法一：因为，而，

2

所以MN．

故选：C．

2

方法二：因为M2,1,0,1,2，将2,1,0,1,2代入不等式xx60，只有2使不等式成立，所以

1

2

MN．

故选：C．

3.（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（）

A．a<0B．a>0C．b<0D．b>0

【答案】C

【分析】对a分a0与a0两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.

【详解】因为ab0，所以a0且b0，设f(x)(xa)(xb)(x2ab)，则f(x)的零点

xa,xb,x2ab

为123

xxx>0

当a0时，则23，1，要使f(x)0，必有2aba，且b0，

即ba，且b0，所以b0；

xxx0

当a0时，则23，1，要使f(x)0，必有b0.

综上一定有b0.

故选：C

【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.

2

4.（2020·全国I卷·高考真题）已知集合A{x|x3x40},B{4,1,3,5}，则AB（）

A．{4,1}B．{1,5}

C．{3,5}D．{1,3}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得AB，得到结果.

2

【详解】由x3x40解得1x4，

Ax|1x4

所以，

B4,1,3,5AB1,3

又因为，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交

运算，属于基础题目.

5.（2019·全国II卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=

1

A．(-∞，1)B．(-2，1)

C．(-3，-1)D．(3，+∞)

【答案】A

【分析】先求出集合A，再求出交集．

Axx2或x3,Bxx1ABxx1

【详解】由题意得，，则．故选A．

【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．

x2

0

6.（2026·上海·高考真题）关于x的不等式x3的解集为____________.

【答案】(2,3)

x2

0

【分析】由x3可得:(x2)(x3)0，解不等式可得其解集.

x2

0

【详解】由x3可得:(x2)(x3)0，

解得:2x3，

x2

0

所以不等式x3的解集为(2,3).

故答案为：(2,3).

x1

0

7.（2025·上海·高考真题）不等式x3的解集为_________．

1,3

【答案】

x1x30

【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.

x1x30

【详解】原不等式转化为，解得1x3，

1,3

则其解集为.

1,3

故答案为：.

x

0

8.（2025·上海·高考真题）不等式x1的解集为_____．

【答案】(0,1)

x

0xx10

【分析】将不等式x1化为，即可得答案.

x

0xx10,x0,1

【详解】由题意得不等式x1即，

x

0

即不等式x1的解集为(0,1)，

1

故答案为：(0,1)

2

9.（2025·天津·高考真题）若a,bR，对x[2,2]，均有(2ab)xbxa10恒成立，则2ab的最

小值为_______

【答案】4

1

x

【分析】先设t2ab，根据不等式的形式，为了消a可以取2，得到t4，验证t4时，a,b是

否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设t2ab，原题转化为求t的最小值，

tx2t2axa10

原不等式可化为对任意的2x2，，

111

xtt2aa10

不妨代入2，得42，得t4，

4x242axa10

当t4时，原不等式可化为，

2

112

2xa1a0

即24，

1

2x120x

观察可知，当a0时，对2x2一定成立，当且仅当2取等号，

此时，a0,b4，说明t4时，a,b均可取到，满足题意，

故t2ab的最小值为4.

故答案为：4

2

10.（2024·上海·高考真题）已知xR,则不等式x2x30的解集为______．

x|1x3

【答案】

2

【分析】求出方程x2x30的解后可求不等式的解集.

2

【详解】方程x2x30的解为x1或x3，

2x|1x3

故不等式x2x30的解集为，

x|1x3

故答案为：.

x22xa2，x，0

fx

x22x2a，x．0

11.（2018·天津·高考真题）已知aR，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)

x

≤恒成立，则a的取值范围是__________．

1

1

,2

【答案】8

【分析】由题意分类讨论x0和x0两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.

fxx2

【详解】分类讨论：①当x0时，即：x2x2ax，

11

ax2x

整理可得：22，

121

axxx0

由恒成立的条件可知：22max，

结合二次函数的性质可知：

11211111

xxxa

当2时，22max848，则8；

fxx22

②当3x0时，即：x2xa2x，整理可得：ax3x2，

ax23x23x0

由恒成立的条件可知：min，

结合二次函数的性质可知：

x23x22

当x3或x0时，min，则a2；

11

,2,2

综合①②可得a的取值范围是8，故答案为8.

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②

对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

考点03基本不等式

14

(x)(x)

1.（2026·天津·高考真题）xx的最小值为（）

A．10B．9C．8D．6

【答案】B

142424

xxx252x259

【详解】因为xxxx，

24

x22

当且仅当x，即x2，x2时，等号成立,

1

14

xx

所以xx的最小值为9.

x,yx,yx

2.（2024·北京·高考真题）已知11，22是函数y2的图象上两个不同的点，则（）

y1y2x1x2y1y2x1x2

log2log2

A．22B．22

y1y2y1y2

log2x1x2log2x1x2

C．2D．2

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

x

xxx1x20yy

【详解】由题意不妨设12，因为函数y2是增函数，所以022，即12，

xxxx

2x12x212yy12

2x1·2x22212220

对于选项AB：可得2，即2，

yyx1x2xx

log12log2212

ylogx22

根据函数2是增函数，所以22，故B正确，A错误；

x0,x1y1,y2

对于选项D：例如12，则12，

y1y23y1y2

log2log20,1log21x1x2

可得22，即2，故D错误；

11

y,y

x1,x212

对于选项C：例如12，则24，

y1y23y1y2

log2log2log2332,1log23x1x2

可得28，即2，故C错误，

故选：B.

mmm

3.（2022·全国甲卷·高考真题）已知910,a1011,b89，则（）

A．a0bB．ab0C．ba0D．b0a

【答案】A

mlog101

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9，再利用基本不等式，换底公式

log9m

可得mlg11，8，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】［方法一］：（指对数函数性质）

22

lg10lg9lg11lg992lg10lg11

mlog101lg9lg111lg10

m9

由910可得lg9，而22，所以lg9lg10，

mlg11

即mlg11，所以a101110110.

1

22

lg8lg10lg802lg9lg10

lg8lg10lg9

log9m

又22，所以lg8lg9，即8，

mlog9

所以b898890.综上，a0b.

［方法二］：【最优解】（构造函数）

mmlog10(1,1.5)

由910，可得9．

mm1

根据a,b的形式构造函数f(x)xx1(x1)，则f(x)mx1，

1

f(x)0xm1mmlog10(1,1.5)x(0,1)

令，解得0，由9知0.

f(x)在(1,)上单调递增，所以f(10)f(8)，即ab，

log910

又因为f(9)9100，所以a0b.

故选：A.

【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

m

法二：利用a,b的形式构造函数f(x)xx1(x1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解．

22

4.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足xyxy1，则（）

A．xy1B．xy2

2222

C．xy2D．xy1

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

2

aba2b2

ab22

【详解】因为22（a,bR），由xyxy1可变形为，

2

2xy

xy13xy3

2，解得2xy2，当且仅当xy1时，xy2，当且仅当

xy1时，xy2，所以A错误，B正确；

22

22xy

22xy1xy22

由xyxy1可变形为2，解得xy2，当且仅当xy1时取等号，所

以C正确；

1

2

y32y3

22xy1xcos,ysin

因为xyxy1变形可得24，设22，所以

1252111

xcossin,ysinx2y2cos2sin2sincos1sin2cos2

33，因此33333

42π2

sin2,233

x,y22

3363，所以当33时满足等式，但是xy1不成立，所以D错误．

故选：BC．

5.（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

4

ysinx

2sinx

A．yx2x4B．

4

x2xylnx

C．y22D．lnx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出

B,D不符合题意，C符合题意．

yx22x4x1233

【详解】对于A，，当且仅当x1时取等号，所以其最小值为3，A不符

合题意；

4

ysinx244

0sinx1sinxsinx2

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以

其最小值不为4，B不符合题意；

x2xx4

xy222x244

对于C，因为函数定义域为R，而20，2，当且仅当2x2，即x1时取

等号，所以其最小值为4，C符合题意；

4

ylnx0,11,

对于D，lnx，函数定义域为，而lnxR且lnx0，如当lnx1，y5，D不

符合题意．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的

性质即可解出．

x2y2

1

FF

6.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知1，2是椭圆C：94的两个焦点，点M在C上，则

1

MFMF

12的最大值为（）

A．13B．12C．9D．6

【答案】C

2

MF1MF2

MF1MF2

MFMF2a62

【分析】本题通过利用椭圆定义得到12，借助基本不等式即

可得到答案．

22MFMF2a6

【详解】由题，a9,b4，则12，

2

MF1MF2

MF1MF29

2MFMF3

所以（当且仅当12时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】

7.（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（）

2222

A．ab2abB．ab2ab

ab2|ab|ab2|ab|

C．D．

【答案】B

ab20

【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是

否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.

22

【详解】A.由基本不等式可知ab2ab，故A不正确；

2

2222ab0

B.ab2abab2ab0，即恒成立，故B正确；

C.当a1,b0时，不等式不成立，故C不正确；

D.当a3,b1时，不等式不成立，故D不正确.

故选：B.

8.（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

2211

ab2ab

A．2B．2

logalogb2

C．22D．ab2

【答案】ABD

【分析】根据ab1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

1

2

111

22a

a2b2a21a2a22a1

【详解】对于A，222，

1

ab

当且仅当2时，等号成立，故A正确；

1

2ab21

对于B，ab2a11，所以2，故B正确；

2

ab1

log2alog2blog2ablog2log22

对于C，24，

1

ab

当且仅当2时，等号成立，故C不正确；

2

ab12ab1ab2

对于D，因为，

1

ab

所以ab2，当且仅当2时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学

运算的核心素养.

x2y2

C:221(a0,b0)

9.（2020·全国II卷·高考真题）设O为坐标原点，直线xa与双曲线ab的两条渐

近线分别交于D,E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）

A．4B．8C．16D．32

【答案】B

x2y2b

C:1(a0,b0)yx

【分析】因为a2b2，可得双曲线的渐近线方程是a，与直线xa联立方程求

|ED|22

得D，E两点坐标，即可求得，根据ODE的面积为8，可得ab值，根据2c2ab，结合均值不

等式，即可求得答案.

x2y2

C:221(a0,b0)

【详解】ab

b

yx

双曲线的渐近线方程是a

x2y2

C:221(a0,b0)

直线xa与双曲线ab的两条渐近线分别交于D，E两点

不妨设D为在第一象限，E在第四象限

xa

bxa

yx

联立a，解得yb

1

故D(a,b)

xa

bxa

yx

联立a，解得yb

故E(a,b)

|ED|2b

1

S△ODEa2bab8

ODE面积为：2

x2y2

C:221(a0,b0)

双曲线ab

22

其焦距为2c2ab22ab2168

当且仅当ab22取等号

C的焦距的最小值：8

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求

最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

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10.（2026·上海·高考真题）已知a4b1，则ab的最大值为__________．

1

【答案】4/0.25

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【分析】根据基本不等式可得a4b4ab，结合条件即可求结论.

a24b2a22b22a2b4ab

【详解】因为，当且仅当a2b时等号成立，