1.1.2 空间向量的数量积运算（讲义）（原卷版）数学人教A版 2019选择性必修第一册

第第页第一第一章空间向量与立体几何1.1.2空间向量的数量积运算课标要点1.理解空间向量夹角、垂直、投影向量的教材定义，牢记夹角取值范围，能准确区分向量夹角与几何体内角。2.熟记空间向量数量积定义式与三条运算律，会借助基底拆分向量完成无坐标形式的数量积计算。3.掌握数量积五条核心性质，能运用性质求解向量模长、夹角，证明空间两向量互相垂直。4.能结合立体图形分析投影向量几何意义，灵活利用数量积解决线段长度、空间垂直类几何问题。学习重难点重点：1.空间向量数量积定义、三大运算律，熟练运用公式完成向量化简、数量积基础计算。2.数量积核心性质，利用性质求向量模、夹角，借助证明空间线线垂直。3.投影向量的几何定义，理解投影向量与原向量的共线关系，能简单分析投影的正负含义。难点：1.在立体图形中找准向量夹角，区分向量夹角与几何体表面角，避免夹角取值符号计算出错。2.灵活拆分空间基底向量，结合运算律化简复杂向量式，处理多向量混合数量积运算。知识点一空间向量数量积定义已知两个________a→，b→，过空间任意一点O作OA→=a→，OB→=b→，则∠AOB叫作向量a1.当⟨a→,2.空间两个非零向量a→，b→的数量积定义：a→·数量积几何意义a→·b→等于a→的模|a→b→在a→方向上的投影向量：____________________________即学即练1如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（

）

A． B． C． D．2．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（

）A．4 B． C． D．2知识点二空间向量数量积运算律设a→,b1.交换律：a2.数乘结合律：(λ3.分配律：a常用公式：1.(a→+b→3.(a易错提醒易错提醒（1）数量积结果是实数，不是向量，不能写(a（2）由a→·b→=a→即学即练3．已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（

）A． B． C． D．知识点三空间向量数量积的应用1.求向量模长：|a→|=a2.求两向量夹角余弦：cos⟨a3.判定向量垂直：a→⊥4.立体几何应用：证明线线垂直、求异面直线夹角、计算线段长度、求解空间距离与最值。易错提醒易错提醒（1）判断夹角时，仅a→·b→>0不能判定为锐角，需排除⟨即学即练4．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（

）A． B． C． D．5．正四面体的棱长为2，设，，，则________.题型01求空间向量的数量积解题贴士解题贴士1.定义法核心解题：求解空间向量数量积统一使用定义公式a→2.运算律化简技巧：熟练运用数量积的运算性质，对向量和、差形式的复杂式子提前展开化简，例如(a典｜例｜精｜析【例1】如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（

）A．4 B．5 C．6 D．【例2】已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固【变式1-1】如图，在正方体中，为的中点，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】如图，在三棱锥中，平面，则_______．【变式1-3】在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则__________.题型02空间向量中的模（距离，长度）解题贴士解题贴士1.模长核心转化思想：空间向量模长求解全部依托数量积转化，固定公式为|a2.几何长度转化技巧：空间立体几何中的线段长度、棱长、空间两点距离、折线长度等几何量，都可以对应转化为空间向量的模长，通过向量数量积运算替代传统几何证明与勾股定理计算，解题更加通用简便。典｜例｜精｜析【例3】如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（

）A． B． C．2 D．【例4】设是的二面角内一点，，，、是垂足，，，则的长度为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固【变式2-1】在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______；【变式2-2】如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（

）

A．1 B． C．3 D．【变式2-3】如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）.题型03空间向量的投影（投影向量）解题贴士解题贴士公式记忆错位：求a→在b→上的投影，分母固定为被投影向量的模长|b典｜例｜精｜析【例5】在正方体中，向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【例6】在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固【变式3-1】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【变式3-2】在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【变式3-3】如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．题型04利用数量积求夹角解题贴士解题贴士1.对于任意两个非零空间向量，利用数量积变形公式cos⟨a2.空间向量夹角的取值范围为[0,π]，根据余弦值的正负可以快速区分夹角类型，余弦值大于0为锐角，等于0为直角，小于0为钝角。典｜例｜精｜析【例7】已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【例8】三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（

）A． B． C． D．90°变｜式｜巩｜固【变式4-1】已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【变式4-2】如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.【变式4-3】如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．(1)用表示，并求；(2)求与的夹角．题型05利用数量积证明垂直问题典｜例｜精｜析【例9】在平行六面体中，，，，，．(1)求；(2)求证：；(3)求的长．【例10】如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.

(1)若对角线的长度为时，求的值.(2)求证：.变｜式｜巩｜固【变式5-1】如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．

(1)用，，表示向量，并求的模长；(2)求证：，．【变式5-2】如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．

(1)求的值；(2)求证：；【变式5-3】如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为．(1)求的长；(2)求证：，，两两垂直．题型06求空间向量的数量积的最值或范围典｜例｜精｜析【例11】正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（

）A． B． C． D．【例12】如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12变｜式｜巩｜固【变式6-1】（多选）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（

）A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为【变式6-2】在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______．【变式6-3】已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为_______.基础通关1．对任意的空间向量，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．C． D．若，则2．已知空间单位向量的夹角为，则（

）A． B． C．1 D．3．在棱长为1的正方体中，设，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．4．在三棱锥中，若，，，则（

）A． B．1 C． D．05．在空间四边形中，，，则的值是（

）A． B． C． D．06．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（

）A．4 B．3 C．2 D．17．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若，则与的夹角是钝角C．若向量是共面的向量，则也是共面的向量D．若对空间中任意一点，有，则四点共面8．（多选）已知正方体的棱长为1，则（

）A． B．C． D．9．已知是两两垂直的单位向量，则________________．10．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量______．11．已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求：(1)；(2)；(3).12．如图，在四面体中，，，.

(1)求的值；(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.素养提升13．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（

）A．3 B． C． D．714．三棱锥中，，点是的重心，则等于（

）A． B． C． D．15．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．16．若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（

）A． B． C． D．17．在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（

）A． B． C． D．18．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（

）A． B．6 C．3 D．19．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：①是与都垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中，，则下列结论正确的是（

）

A．B．C．D．长方体的体积20．已知在棱长均相等的正四棱锥中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.21．已知异面直线所成角为60°，直线垂直于直线且分别与直线交于、两点.点直线a，点直线b，，，，则_____.22．如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的