2026年全国高中数学联合竞赛题目及答案

2026年全国高中数学联合竞赛题目及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则实数a的取值集合为(A){1,1/2}(B){1/2}(C){1}(D){0,1/2}2.函数f(x)=log_a|x-1|(a>0,a≠1)的图像关于y轴对称，则a的取值范围是(A)(0,1)(B)(1,+∞)(C)(0,1)∪(1,+∞)(D)(0,+∞)3.已知复数z满足z^2=1+√3i，则z的三角形式为(A)2(cosπ/3+isinπ/3)(B)2(cos2π/3+isin2π/3)(C)√2(cos3π/4+isin3π/4)(D)√2(cos5π/4+isin5π/4)4.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=5,S_3=9，则该数列的公差d为(A)-2(B)-1(C)0(D)15.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则方程f(x)=0的实数根的个数为(A)0(B)1(C)2(D)36.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，则sinA的值为(A)3/5(B)4/5(C)3/4(D)4/37.已知点P在曲线y=x^2上，则点P到直线y=-x+2的距离的最小值为(A)1/2√2(B)√2/2(C)1(D)28.已知函数f(x)=sinx+cosx，则f(x)的最小正周期为(A)π(B)2π(C)π/2(D)4π9.在一个不透明的袋中装有5个红球和若干个白球，已知从中随机抽取一个球得到红球的概率为1/3，则袋中共有球(A)10个(B)15个(C)20个(D)25个10.已知函数f(x)=x^2-2ax+3在区间(-1,1)上的最小值为2，则实数a的取值范围为(A)[-1,3](B)(-∞,-1]∪[3,+∞)(C)(-1,3)(D)[-2,4]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卡对应位置）11.若x+1/x=2，则x^4+1/x^4的值为________.12.已知圆O的半径为1，圆心O到直线l的距离为√3/2，则直线l与圆O的位置关系为________.13.在等比数列{a_n}中，若a_2=6,a_4=54，则该数列的通项公式a_n=________.14.已知函数f(x)=tanx的定义域为(-π/2,π/2)，则f(x)的值域为________.15.一个盒子里有3个红球，2个白球，1个黑球，从中随机取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为________.三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[-1,4]上的最大值和最小值.17.(本小题满分15分)在△ABC中，已知a=3,b=√7,C=π/3，求sinA的值.18.(本小题满分15分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1,S_n+S_n+1=n(a_n+a_n+1)(n∈N*)。(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)求数列{a_n}的前n项和S_n。19.(本小题满分20分)已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，直线l的方程为ax+by-1=0。(1)求圆C的圆心和半径；(2)若直线l与圆C相切，求实数a和b的值。20.(本小题满分20分)甲、乙两人约定在6:00到7:00之间在某地会面，约定先到者等待另一人15分钟，过时就离开。假设两人在6:00到7:00之间（含6:00,7:00）的任何时刻到达都是等可能的，求两人能会面的概率。试卷答案一、选择题1.(A)解析：A={1,2}。由B⊆A，得B=∅或B={1}或B={1/2}。若B=∅，则ax=1对任意x不成立，a=0。若B={1}，则a*1=1，得a=1。若B={1/2}，则a*(1/2)=1，得a=2。综上，a的取值集合为{0,1,2}。但选项中只有{1,1/2}，故a=1/2也符合B⊆A的条件，选项A正确。2.(C)解析：f(x)=log_a|x-1|的图像关于y轴对称，则f(-x)=f(x)对任意x成立。即log_a|-x-1|=log_a|x-1|对任意x成立。由对数函数性质，得|-x-1|=|x-1|对任意x成立。此等式恒成立，故a的取值不受此条件限制。但题目中给出a>0,a≠1，故a的取值范围是(0,1)∪(1,+∞)。3.(D)解析：设z=a+bi(a,b∈R)，则z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=1+√3i。比较实部和虚部，得a^2-b^2=1,2ab=√3。解得a=√2/2,b=√6/4或a=-√2/2,b=-√6/4。故z=√2/2+√6/4i或z=-√2/2-√6/4i。将z转换为三角形式，模为|z|=√((√2/2)^2+(√6/4)^2)=√(2/4+6/16)=√(8/16+6/16)=√(14/16)=√7/2。辐角θ满足cosθ=√2/2,sinθ=-√6/4(因为b<0)。θ在第四象限，θ=5π/4。故z=√2/2(cos5π/4+isin5π/4)。4.(A)解析：S_3=a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=9。由a_1=5，得3*5+3d=9，解得15+3d=9，3d=-6，d=-2。5.(C)解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√(1-2/3)=1±√1/3=1±√3/3。由f'(x)=3(x-(1+√3/3))(x-(1-√3/3))，可知f(x)在区间(-∞,1-√3/3)上单调递增，在区间(1-√3/3,1+√3/3)上单调递减，在区间(1+√3/3,+∞)上单调递增。计算f(1-√3/3)=(1-√3/3)^3-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)+2=8/27-3(2/3-√3/3)+2-2√3/3+2=8/27-2+√3+2-2√3/3+2=8/27+2-2√3/3+2=8/27+4-2√3/3>0。计算f(1+√3/3)=(1+√3/3)^3-3(1+√3/3)^2+2(1+√3/3)+2=8/27+3√3/9+1-3(1+2√3/3+3/9)+2+2√3/3+2=8/27+8√3/27+1-3-2√3-1+2+2√3/3+2=8/27-2√3/27+1>0。计算f(0)=0^3-3*0^2+2*0+1=1。计算f(3)=3^3-3*3^2+2*3+1=27-27+6+1=7。f(x)在x=1-√3/3和x=1+√3/3处取得极大值，且f(1-√3/3)>0,f(1+√3/3)>0。f(0)=1>0。f(3)=7>0。需要判断是否存在极小值点。由于f(x)在(1-√3/3,1+√3/3)上单调递减，且两端点处函数值大于0，如果存在极小值点x_0∈(1-√3/3,1+√3/3)，则f(x_0)<f(1-√3/3)=8/27+2-2√3/3<0。这与f(x)在该区间内恒大于0矛盾。因此，f(x)=0没有极小值点，只能有1个极大值点，故方程f(x)=0只有一个实根。6.(B)解析：直角三角形中，sinA=对边/斜边=BC/AB=4/5。7.(B)解析：点P(x,x^2)到直线y=-x+2的距离d=|x-(-x)+2|/√(1^2+(-1)^2)=|2x+2|/√2=√2|x+1|。当x=-1时，d取得最小值，最小值为√2*|-1+1|=√2*0=0。但需要考虑x≠-1的情况，最小值出现在x=-1附近。考虑函数g(x)=√2|x+1|，g(x)在x=-1处取得最小值0。但题目问的是最小值，需要考虑g(x)的最小正数值。由于g(x)在x=-1处取得最小值0，且g(x)在x=-1两侧单调递增，故g(x)的最小正数值为g(0)=√2|0+1|=√2*1=√2/2。8.(A)解析：f(x)=sinx+cosx=√2(sinxcosπ/4+cosxsinπ/4)=√2sin(x+π/4)。正弦函数的周期为2π，故f(x)的最小正周期为2π/(2π/4)=π。9.(B)解析：设袋中共有n个球，则P(红球)=5/n=1/3。解得n=15。10.(A)解析：f(x)=x^2-2ax+3=(x-a)^2+3-a^2。函数图像是开口向上的抛物线，对称轴为x=a。当a≤-1时，函数在区间(-1,1)上单调递增，最小值在x=-1处取得，f(-1)=(-1)^2-2a(-1)+3=1+2a+3=4+2a=2，解得a=-1。当a≥3时，函数在区间(-1,1)上单调递减，最小值在x=1处取得，f(1)=1^2-2a(1)+3=1-2a+3=4-2a=2，解得a=1。当-1<a<3时，函数在区间(-1,a)上单调递减，在区间(a,1)上单调递增，最小值在x=a处取得，f(a)=a^2-2a^2+3=3-a^2=2，解得a^2=1，a=±1。由于-1<a<3，得a=1。综上，a的取值范围为{-1}∪[1,3]=[-1,3]。二、填空题11.2解析：x+1/x=2。两边平方，得(x+1/x)^2=4，即x^2+2+1/x^2=4，x^2+1/x^2=2。两边平方，得(x^2+1/x^2)^2=4，即x^4+2+1/x^4=4，x^4+1/x^4=2。12.相交解析：圆心到直线的距离d=|-2+6|/√(1^2+(-3)^2)=4/√10=2√10/5。圆的半径r=1。由于d<r，故直线与圆相交。13.2*3^(n-1)解析：设公比为q。a_4=a_2*q^2=6*q^2=54，解得q^2=9，q=±3。若q=3，a_n=a_2*q^(n-2)=6*3^(n-2)=2*3^(n-1)。若q=-3，a_n=a_2*q^(n-2)=6*(-3)^(n-2)=2*(-3)^(n-1)。由于题目未指明公比符号，通常取正值，故a_n=2*3^(n-1)。14.(-∞,+∞)解析：tanx的定义域为(-π/2,π/2)，在该区间内，sinx和cosx不同时为0。cosx≠0，故sinx/cosx可以取任何实数值。15.3/5解析：基本事件总数为C(6,2)=15。取出的2个球颜色不同包含的基本事件数为C(3,1)*C(2,1)+C(3,1)*C(1,1)=3*2+3*1=6+3=9。概率为9/15=3/5。三、解答题16.解：(1)f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√1/3=1±√3/3。由f'(x)=3(x-(1+√3/3))(x-(1-√3/3))，可知f(x)在区间(-∞,1-√3/3)上单调递增，在区间(1-√3/3,1+√3/3)上单调递减，在区间(1+√3/3,+∞)上单调递增。故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,+∞)，单调递减区间为(1-√3/3,1+√3/3)。(2)由(1)知，f(x)在x=1-√3/3处取得极大值，在x=1+√3/3处取得极小值。计算f(1-√3/3)=(1-√3/3)^3-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)+1=8/27-3(2/3-√3/3)+2-2√3/3+1=8/27-2+√3+2-2√3/3+1=8/27+1-2√3/3+1=8/27+2-2√3/3>0。计算f(1+√3/3)=(1+√3/3)^3-3(1+√3/3)^2+2(1+√3/3)+1=8/27+3√3/9+1-3(1+2√3/3+3/9)+2+2√3/3+1=8/27+8√3/27+1-3-2√3-1+2+2√3/3+1=8/27-2√3/27+1>0。f(1-√3/3)>0,f(1+√3/3)>0。f(x)在x=1-√3/3和x=1+√3/3处取得极大值，且极大值都大于0。需要判断端点处的函数值。计算f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)+1=-1-3-2+1=-5。计算f(4)=4^3-3*4^2+2*4+1=64-48+8+1=25。区间端点处的函数值分别为f(-1)=-5，f(4)=25。比较f(-1),f(1-√3/3),f(1+√3/3),f(4)的大小，最小值为f(-1)=-5。最大值为f(4)=25。故函数f(x)在区间[-1,4]上的最大值为25，最小值为-5。17.解：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。由C=π/3，得sinC=√3/2。a/sinA=b/sinB=2c/√3。由a=3,b=√7，得3/sinA=√7/sinB=2c/√3。由sinB=sin(A+C)=sin(A+π/3)=sinAcosπ/3+cosAsinπ/3=sinA*1/2+cosA*√3/2=(1/2)sinA+(√3/2)cosA。代入3/sinA=√7/sinB，得3/sinA=√7/((1/2)sinA+(√3/2)cosA)。两边同乘sinA((1/2)sinA+(√3/2)cosA)，得3((1/2)sinA+(√3/2)cosA)=√7sinA。3/2sinA+3√3/2cosA=√7sinA。3√3/2cosA=(√7-3/2)sinA。两边平方，得(3√3/2)^2cos^2A=((√7-3/2)sinA)^2。27/4cos^2A=(7-3√7+9/4)sin^2A。27/4cos^2A=(49/4-3√7)sin^2A。cos^2A=(49/4-3√7)*(4/27)sin^2A。cos^2A=(7-3√7)/27sin^2A。由sin^2A+cos^2A=1，得(7-3√7)/27sin^2A+sin^2A=1。sin^2A(1+(7-3√7)/27)=1。sin^2A(27/27+7/27-3√7/27)=1。sin^2A(34/27-3√7/27)=1。sin^2A(34-3√7)/27=1。sin^2A=27/(34-3√7)。由于34>3√7(因为(√7)^2=7<34/3)，故34-3√7>0，sin^2A>0。sinA=±√(27/(34-3√7))。由于A∈(0,2π/3)，sinA>0，故sinA=√(27/(34-3√7))。这个表达式可以进一步化简，但题目只要求sinA的值。可以验证27/(34-3√7)=(27*(34+3√7))/((34-3√7)(34+3√7))=(27*(34+3√7))/(34^2-(3√7)^2)=(27*(34+3√7))/(1156-63)=(27*(34+3√7))/1093。但无需具体化简，题目要求sinA的值，已给出。18.解：(1)n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}。由S_n+S_{n+1}=n(a_n+a_{n+1})，得S_n+(S_n+a_n)=n(a_n+(S_n-S_{n-1}+a_n))，即2S_n+a_n=n(2a_n+a_n-S_{n-1})，2S_n+a_n=n(3a_n-S_{n-1})。由S_n+S_{n-1}=(n-1)(a_{n-1}+a_n)，得S_n+S_{n-1}=(n-1)(a_n+(S_n-S_{n-1}))，S_n+S_{n-1}=(n-1)(a_n+a_n-S_{n-1})，S_n+S_{n-1}=(n-1)(2a_n-S_{n-1})。2S_n+a_n=n(2a_n+a_n-S_{n-1})=2na_n+na_n-nS_{n-1}=(2n+1)a_n-nS_{n-1}。比较2S_n+a_n=(2n+1)a_n-nS_{n-1}和2S_n+a_n=n(2a_n+a_n-S_{n-1})，得(2n+1)a_n-nS_{n-1}=2na_n+na_n-nS_{n-1}，(2n+1)a_n-2na_n=na_n，na_n=0。由于n≥2，n≠0，故a_n=0。这与a_1=1矛盾。因此，原条件S_n+S_{n+1}=n(a_n+a_{n+1})应有误，应为S_n+S_{n+1}=(n+1)(a_n+a_{n+1})或S_n+S_{n+1}=n(a_{n+1}+a_{n+2})。假设条件为S_n+S_{n+1}=n(a_{n+1}+a_{n+2})，则2S_n+a_n=n(2a_{n+1}+a_{n+2})。由S_n+S_{n-1}=(n-1)(a_n+a_{n-1})，得2S_n+a_{n-1}=n(2a_n+a_{n-1})。将a_n=S_n-S_{n-1}代入，得2S_n+(S_n-S_{n-1})=n(2(S_n-S_{n-1})+a_{n-1})，3S_n-S_{n-1}=2n(S_n-S_{n-1})+na_{n-1}。3S_n-S_{n-1}=2n(S_n-S_{n-1})+n(S_{n-1}-S_{n-2})，3S_n-S_{n-1}=2nS_n-2nS_{n-1}+nS_{n-1}-nS_{n-2}，3S_n-S_{n-1}=2nS_n-nS_{n-1}-nS_{n-2}。整理得(3-2n)S_n+(1-n)S_{n-1}+nS_{n-2}=0。令f(n)=(3-2n)S_n+(1-n)S_{n-1}+nS_{n-2}。则f(n)=0对所有n≥2成立。考虑f(n+1)-f(n)，f(n+1)=(1-2(n+1))S_{n+1}+(2-(n+1))S_n+(n+1)S_{n-1}，f(n)=(3-2n)S_n+(1-n)S_{n-1}+nS_{n-2}。f(n+1)-f(n)=(-2n-1)S_{n+1}+(2-n)S_n+(2-n)S_n+(n+1)S_{n-1}-nS_{n-1}-nS_{n-2}=(-2n-1)S_{n+1}+(4-2n)S_n+(1-n)S_{n-1}-nS_{n-2}。由a_{n+1}=S_{n+1}-S_n，a_n=S_n-S_{n-1}，得S_{n+1}=a_{n+1}+S_n，S_n=a_n+S_{n-1}。代入f(n+1)-f(n)，得(-2n-1)(a_{n+1}+S_n)+(4-2n)S_n+(1-n)S_n-nS_{n-1}-nS_{n-2}=(-2n-1)a_{n+1}-2nS_n-S_n+(4-2n)S_n+(1-n)S_n-nS_{n-1}-nS_{n-2}=(-2n-1)a_{n+1}+(4-2n-2n-1+1-n)S_n-nS_{n-1}-nS_{n-2}=(-2n-1)a_{n+1}+(-4n-n)S_n-nS_{n-1}-nS_{n-2}=(-2n-1)a_{n+1}-5nS_n-nS_{n-1}-nS_{n-2}。由f(n)=0，得(3-2n)S_n+(1-n)S_{n-1}+nS_{n-2}=0。代入(-2n-1)a_{n+1}-5nS_n-nS_{n-1}-nS_{n-2}=(-2n-1)a_{n+1}-5nS_n-n((3-2n)S_n+nS_{n-2})/(1-n)=(-2n-1)a_{n+1}-5nS_n-n(3S_n-2nS_n+n^2S_{n-2})/(1-n)=(-2n-1)a_{n+1}-5nS_n-(3nS_n-2n^2S_n+n^3S_{n-2})/(1-n)=(-2n-1)a_{n+1}-5nS_n-(3nS_n-2n^2S_n+n^3S_{n-2})/(1-n)。由于f(n)=0对所有n≥2成立，故f(n+1)-f(n)=0对所有n≥2成立。这意味着(-2n-1)a_{n+1}-5nS_n-(3nS_n-2n^2S_n+n^3S_{n-2})/(1-n)=0。由于此方程过于复杂，难以直接求解，故假设条件可能有误。回到原假设S_n+S_{n+1}=n(a_n+a_{n+1})，得2S_n+a_n=n(2a_n+a_{n+1})。由S_n+S_{n-1}=(n-1)(a_n+a_{n-1})，得2S_n+a_{n-1}=n(2a_n+a_{n-1})。两式相减，得a_n-a_{n-1}=n(a_{n+1}-a_n)-a_{n-1}。a_{n+1}=(a_n-a_{n-1}+a_{n-1})/n=a_n/n+a_{n-1}/n。由于a_1=1,a_2=S_2-S_1=1+a_1-S_0(假设S_0=0)，则a_2=1+1-0=2。由a_3=(a_2-a_1+a_1)/2=(2-1+1)/2=1。由a_4=(a_3-a_2+a_2)/3=(1-2+2)/3=1/3。由a_5=(a_4-a_3+a_3)/4=(1/3-1+1)/4=1/12。观察前几项，a_n=1/n。假设a_n=1/n对所有n成立。则S_n=1+1/2+1/3+...+1/n。S_{n+1}=S_n+1/(n+1)。n(a_n+a_{n+1})=n(1/n+1/(n+1))=1+n/(n+1)。S_n+S_{n+1}=2S_n+1/(n+1)。当n趋于无穷时，2S_n+1/(n+1)趋于无穷，而n(a_n+a_{n+1})趋于1。因此，假设S_n+S_{n+1}=n(a_n+a_{n+1})不成立。因此，假设S_n+S_{n+1}=(n+1)(a_n+a_{n+1})。则2S_n+a_n=(n+1)(2a_n+a_{n+1})。由S_n+S_{n-1}=n(a_n+a_{n-1})，得2S_n+a_{n-1}=n(2a_n+a_{n-1})。两式相减，得a_n-a_{n-1}=(n+1)(a_{n+1}-a_n)-a_{n-1}。a_{n+1}=(a_n-a_{n-1}+a_{n-1})/(n+1)=a_n/(n+1)+a_{n-1}/(n+1)。由于a_1=1,a_2=S_2-S_1=1+a_1-S_0=2-S_0(假设S_0=递推关系：S_n+S_{n+1}=(n+1)(a_n+a_{n+1})。则2S_n+a_n=(n+1)(2a_n+a_{n+1})。由S_n+S_{n-1}=n(a_n+a_{n-1})，得2S_n+a_{n-1}=n(2a_n+a_{n-1})。两式相减，得a_n-a_{n-1}=(n+1)(a_{n+1}-a_n)-a_{n-1}。a_{n+1}=(a_n-a_{n-1}+a_{n-1})/(n+1)=a_n/(n+1)+a_{n-1}/(n+1)。由于a_1=1,a_2=S_2