2025-2026年辽宁省人教版高二数学选修第9章知识点巩固习题

2025-2026年辽宁省人教版高二数学选修第9章知识点巩固习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修9第9章中，若函数f(x)＝ln(x²－2x＋3)的定义域为D，则集合D与集合{1,2,3}的交集为（）A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3}解析：函数f(x)＝ln(x²－2x＋3)的定义域需满足x²－2x＋3＞0，解得x∈R，即定义域为全体实数。集合{1,2,3}与全体实数的交集为{1,2,3}，故选D。2.根据选修9第9章内容，若向量a＝(1，2)，b＝(－1，k)，且向量a与向量b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（）A.(－4，2)B.(－2，4)C.(－4，－2)∪(2，4)D.R解析：向量a与向量b的夹角为钝角，则a•b＜0且a、b不共线。由a•b＝1×(－1)＋2k＝－1＋2k＜0，解得k＜½。又a、b不共线，即－k≠2，故k∈(－4，－2)∪(2，4)，选C。3.在选修9第9章中，若复数z＝2＋3i的模为|z|，则|z|²的值为（）A.13B.26C.－13D.169解析：复数z＝2＋3i的模为|z|＝√(2²＋3²)＝√13，故|z|²＝13，选A。4.根据选修9第9章定理，若点P(x，y)在曲线C：x²＋y²－4x＋6y－3＝0上，则点P到直线l：x－2y＋4＝0的距离d的最大值为（）A.3√5/5B.√5/5C.3√5/2D.6解析：曲线C可化为(x－2)²＋(y＋3)²＝16，表示以(2，－3)为圆心，半径为4的圆。直线l到圆心(2，－3)的距离为|2×1－2×(－3)＋4|/√(1²＋(－2)²)＝6/√5，故圆上点到直线的最大距离为6/√5＋4＝(6＋4√5)/√5＝(6√5＋20)/5＝(6√5+20)/5，选C。5.在选修9第9章中，若数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝2a_n＋1(n∈N)，则a₅的值为（）A.31B.63C.127D.255解析：数列{a_n}的递推关系可变形为a_n＋1＋1＝2(a_n＋1)，即{a_n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n＋1＝2^n，a_n＝2^n－1。a₅＝2^5－1＝31，选A。6.根据选修9第9章内容，若函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|在区间[－3，3]上的最小值为m，则m的值为（）A.1B.3C.4D.5解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|在区间[－3，3]上分段为：当x∈[－3，－2]时，f(x)＝(－x＋1)＋(－x－2)＝－2x－1；当x∈[－2，1]时，f(x)＝(－x＋1)＋(x＋2)＝3；当x∈[1，3]时，f(x)＝(x－1)＋(x＋2)＝2x＋1。在各段上分别求最小值，得f(x)min＝3，选B。7.在选修9第9章中，若直线l：ax＋3y－6＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－8＝0相切，则实数a的值为（）A.－2B.2C.－4D.4解析：圆C可化为(x－1)²＋(y＋2)²＝13，圆心(1，－2)，半径r＝√13。直线l到圆心的距离为|a×1＋3×(－2)－6|/√(a²＋3²)＝√13，解得|a－12|＝√13(a²＋9)，即(a－12)²＝13(a²＋9)，整理得a²＋24a－63＝0，解得a＝－27或a＝3，故a＝－27舍去，选B。8.根据选修9第9章内容，若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝π/4对称，则φ的值为（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：函数f(x)＝sin(2x＋φ)图像关于x＝π/4对称，则2×(π/4)＋φ＝kπ＋π/2，k∈Z，解得φ＝kπ＋π/4，取k＝0，得φ＝π/4，选A。9.在选修9第9章中，若点A(1，2)和点B(3，0)在抛物线y²＝2px上，则抛物线的焦点F的坐标为（）A.(1/2，0)B.(2，0)C.(3/2，0)D.(4，0)解析：将A(1，2)代入y²＝2px，得4＝2p×1，即p＝2。抛物线方程为y²＝4x，焦点F(p/2，0)＝(1，0)，选A。10.根据选修9第9章定理，若直线x－y－1＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－3＝0相交于A、B两点，则弦AB的长为（）A.2√2B.2√3C.4√2D.4√3解析：圆C可化为(x－1)²＋(y＋2)²＝16，圆心(1，－2)，半径r＝4。直线x－y－1＝0到圆心的距离为|1×1－1×(－2)－1|/√(1²＋(－1)²)＝2/√2＝√2。弦AB长为2√(r²－d²)＝2√(16－2)＝2√14＝2√2，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z＝1－i的共轭复数为z̄，则|z－z̄|＝________。解析：z̄＝1＋i，|z－z̄|＝|(1－i)－(1＋i)|＝|－2i|＝2。2.在选修9第9章中，若向量a＝(3，－1)，b＝(k，2)，且向量a与向量b垂直，则实数k＝________。解析：向量a与向量b垂直，则a•b＝0，即3k－2＝0，解得k＝2/3。3.若函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m＝________。解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0，得x＝±1。f(－2)＝－5，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3。M＝3，m＝－5，M－m＝8。4.在选修9第9章中，若直线l：x＋2y－4＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0的位置关系为________。解析：圆C可化为(x－1)²＋(y＋2)²＝9，圆心(1，－2)，半径r＝3。直线到圆心的距离为|1×1＋2×(－2)－4|/√(1²＋2²)＝√5＜3，故直线与圆相交。5.若数列{a_n}满足a₁＝2，a_n＋1＝a_n＋2n(n∈N)，则a₅＝________。解析：a_n＋1－a_n＝2n，故a_n＝a₁＋(a₂－a₁)＋(a₃－a₂)＋…＋(a_n－a_{n－1})＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝2×(1＋2＋…＋(n－1))＝2×(n－1)n/2＝n(n－1)，a₅＝5×4＝20。6.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|，则f(x)的最小值为________。解析：f(x)在x＝1时取得最小值2。7.在选修9第9章中，若抛物线y²＝8x的焦点到准线的距离为p，则p＝________。解析：抛物线y²＝8x的参数p＝4，焦点到准线的距离为p＝4。8.若直线l：2x－y＋3＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0相交于A、B两点，则弦AB的中点到圆心的距离为________。解析：圆心(1，－2)，直线到圆心的距离为|2×1－1×(－2)＋3|/√(2²＋(－1)²)＝√5，弦AB中点到圆心的距离为√(r²－d²)/2＝√(9－5)/2＝√2/2。9.若函数f(x)＝sin(2x－π/3)的图像关于原点对称，则f(x)的最小正周期为________。解析：f(x)图像关于原点对称，则2x－π/3＝kπ＋π/2，k∈Z，f(x)的周期为π。10.在选修9第9章中，若点P(x，y)在椭圆x²/9＋y²/4＝1上，则x²＋2y²的最大值为________。解析：x²＋2y²＝9(1－y²/4)＋2y²＝9－y²/2，y²∈[0，4]，最大值为9＋4/2＝10。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模为|z|，则|z|²＝a²＋b²。解析：正确，复数模的定义为|z|＝√(a²＋b²)，|z|²＝a²＋b²。2.若向量a＝(1，2)，b＝(3，4)，则向量a与向量b共线。解析：错误，向量a与向量b不共线，因为1×4≠2×3。3.若函数f(x)＝x²－4x＋3在区间[－1，3]上的最大值为5。解析：错误，f(3)＝0，最大值为f(2)＝－1。4.若直线x－y－1＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0相切。解析：错误，直线到圆心的距离为√5，半径为3，不满足相切条件。5.若数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝2a_n＋1(n∈N)，则{a_n}是等比数列。解析：错误，{a_n}是等差数列，公差为1。6.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|在区间[1，3]上的最小值为2。解析：正确，f(x)在x＝2时取得最小值2。7.若抛物线y²＝8x的焦点到准线的距离为4。解析：正确，抛物线参数p＝4，焦点到准线的距离为p＝4。8.若直线l：2x－y＋3＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0相交，则弦AB的长为4√2。解析：错误，弦AB长为2√(9－5)＝4√2，但直线与圆相交的条件需验证。9.若函数f(x)＝sin(2x－π/3)的图像关于原点对称，则f(x)是奇函数。解析：正确，f(x)是奇函数。10.若点P(x，y)在椭圆x²/9＋y²/4＝1上，则x²＋2y²的最大值为10。解析：正确，x²＋2y²＝9－y²/2，最大值为10。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.在选修9第9章中，若复数z＝1＋i，求z的模和辐角主值。解：|z|＝√(1²＋1²)＝√2，辐角主值θ满足tanθ＝1，θ∈(0，π/2)，θ＝π/4。2.根据选修9第9章内容，若函数f(x)＝x²－4x＋3，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。解：f'(x)＝2x－4，令f'(x)＝0，得x＝2。f(－1)＝8，f(2)＝－1，f(3)＝0，最大值8，最小值－1。3.在选修9第9章中，若直线l：x－2y＋4＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－3＝0相交，求圆上点到直线的最大距离。解：圆心(1，－2)，半径r＝√(1²＋(－2)²－(－3))＝√8＝2√2。直线到圆心的距离为|1×1－2×(－2)＋4|/√(1²＋(－2)²)＝√5。最大距离为2√2＋√5。4.根据选修9第9章定理，若椭圆x²/9＋y²/4＝1的焦点到准线的距离为p，求p的值。解：椭圆参数a＝3，b＝2，c＝√(9－4)＝√5。焦点到准线的距离为p＝a²/c＝9/√5＝9√5/5。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.在选修9第9章中，若函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。解：f(x)在x＝2时取得最小值2。分段函数为：当x∈(－∞，1]时，f(x)＝(－x＋1)＋(－x－3)＝－2x－2；当x∈[1，3]时，f(x)＝(－x＋1)＋(x－3)＝－2；当x∈[3，+∞)时，f(x)＝(x－1)＋(x－3)＝2x－4。最小值为2，取得最小值时x＝2。2.根据选修9第9章内容，若直线l：2x－y＋3＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0相交，求弦AB的长。解：圆心(1，－2)，半径r＝√(1²＋(－2)²－(－4))＝√5。直线到圆心的距离为|2×1－1×(－2)＋3|/√(2²＋(－1)²)＝√5。弦AB长为2√(r²－d²)＝2√(5－5)＝0，故直线过圆心，弦AB为直径，长为2r＝2√5。3.在选修9第9章中，若数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝2a_n＋1(n∈N)，求a₅的值。解：递推关系可变形为a_n＋1＋1＝2(a_n＋1)，即{a_n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，a_n＋1＝2^n，a_n＝2^n－1。a₅＝2^5－1＝31。4.根据选修9第9章定理，若椭圆x²/9＋y²/4＝1的焦点到准线的距离为p，求p的值。解：椭圆参数a＝3，b＝2，c＝√(9－4)＝√5。焦点到准线的距离为p＝a²/c＝9/√5＝9√5/5。【标准答案及解析】一、单选题1.D2.C3.A4.C5.A6.B7.B8.A9.A10.A解析：同上。二、填空题1.