【《非线性方程根的数值解分析》2100字】

非线性方程根的数值解分析本章节着重介绍了求解单变量非线性方程的迭代法及其理论.二分法的算法简单，易于理解.牛顿法是迭代法中最为实用的方法，在单根附近具有2阶收敛，但在应用时需要选取较好的初始迭代值才可以保证迭代的收敛性.弦截法与抛物线法属于插值方法，它们不需要计算的导数，又具有超线性收敛，也是常用的有效方法.1.1二分法二分法是求非线性函数根的一种简单且直观的方法.它的理论基础是连续函数的介值定理，基本思想是通过对区间进行不断的划分，逐步缩小区间范围，最后找出方程的一个近似根.已知实函数在中连续，且有，则方程在中至少存在着一个根.进一步如果在中只有一个根且精度是，则可通过如下步骤求出满足的近似值.步骤一：设，取中点(初始迭代值)；若，则为方程的根，结束计算.步骤二：若，则可得包含的区间；若，则的根在中，取，；若，则的根在中，取，.步骤三：取的中点.若，则是方程的根，结束计算.反之，可得.步骤四：重复上述计算，可得收敛于的数列，使得.取充分大的使得，此时就是满足精度要求的近似值.由误差公式可以看出，二分法的迭代过程总是收敛的，但是每步只是以一半的速度下降，因此收敛速度太慢。一般不单独将其用于求根，只用其为根求得一个较好的近似值.二分法只能求解有实单根的方程，也很难向方程组推广使用.因此，需要更有效的方法来求解非线性方程的根.1.2牛顿迭代法求解非线性方程一种常见并且有效的数值方法是牛顿迭代法.牛顿迭代法的基本思想是通过将非线性方程转化为线性方程来进行求解.同时，牛顿迭代法不仅仅能够求解有单根的方程，也可以求解有重根的方程.（一）单根时的牛顿迭代法设在一个有根的区间上连续并且可微，对都有.假设是方程的一个近似根，可将在处进行泰勒展开，得到：.取泰勒展开式的线性部分，作为非线性方程的近似方程，记为：.由可解出方程的近似根.将在处泰勒展开，取泰勒展开式的线性部分，将其作为非线性方程的近似方程，记作：.由,可以解出.重复上述步骤，则可得牛顿迭代公式： （1.1）其迭代函数为： （1.2）牛顿迭代法求单根的收敛定理：设函数是次连续可导，是方程的单根，则当充分靠近时，牛顿迭代法收敛，且收敛阶数至少为1.牛顿迭代法具有直观的几何意义：通过曲线的切线与轴交点的横坐标来逼近曲线与轴交点的横坐标，因此牛顿迭代法又被称为牛顿切线法.然而，并不是所有的方程在所求区间上均只有一个根，以上方法只可解决具有单根的非线性方程，因此需要对有重根的方程进行讨论.（二）重根时的牛顿迭代法设，为整数且，，此时为的重根.(1)假设的重数已知，为了提高迭代的收敛速度，可将牛顿迭代公式变形为： （1.3）迭代函数为： （1.4）不难求出，此时（1.4）是二阶收敛的.(2)假设的重数未知，可以求出此时的导数：，再令，不难看出是方程的单根，运用牛顿迭代公式，得： （1.5）迭代函数为： （1.6）若迭代函数具有需要的连续性条件，由于牛顿迭代法求单根时至少是二阶收敛，因此用（1.6）求也至少是二阶收敛的.牛顿迭代法具有平方收敛的速度，因此牛顿迭代法的收敛速度是很快的.牛顿迭代法除了可以求解有重根的方程外，还可以求解非线性方程组.但是由于涉及到了导数的计算，所以对函数的要求有所提高，每一步迭代的计算量也大大增加.1.3弦截法与抛物线法在用牛顿迭代法求解方程时，虽然迭代速度得到了提高，但是每做一次迭代运算都需要进行一次导数的计算，从而导致计算量较大，因此可以利用已求函数值来回避导数值的计算.下面介绍两种常用方法，这两种方法都是建立在插值原理基础上进行的.（一）弦截法设，是方程的近似根，以，为节点构造一次插值多项式：，并用的根作为的新的近似根.此时弦截法的迭代公式为： （1.7）这样导出的迭代公式可以看作是将牛顿迭代公式中的导数用差商取代的结果.（1.7）中的是过曲线上点和点的割线与轴交点的横坐标，所以该方法被称之为弦截法（也叫割线法）.弦截法与牛顿迭代法都是线性化方法，但两者本质的区别是：牛顿迭代法在计算时只用到前一步的值，而弦截法在求时要用到前面两步的结果，因此使用弦截法必须先给出两个初始迭代值.（二）抛物线法设已知方程的三个近似根，，，以这三个点为节点构造二次插值多项式：，并适当选取的一个零点作为新的近似根.有两个零点： （1.8）其中，为了保证精度，选取根式前的符号与的符号相同，从而得到新的近似根.这样得到的迭代公式可以看作是弦截法与抛物线法都比牛顿迭代法的收敛速度慢，而抛物线法又比弦截法的收敛速度快.抛物线法可以求多项式的实根和复根，但需要选取三个初始迭代值.1.4典型例题以上是有关求非线性方程根的几种常见数值解法，结合例题可以对以上方法有更深入的理解，因此列举出了几道常见的例题进行分析.例1用二分法来求方程在区间内的一个实根，要求准确到小数点后的第二位.解：令.由易知在区间内有一根.取的重点，将区间二等分，由于，即与同号，故所求根在右侧，令，从而得到新的有根区间.如此反复进行，只需二分6次便可达到预定的精度，二分法的计算结果如表格1.表格1符号01.01.51.25-11.251.375+21.3751.3125-31.31251.3438+41.34381.3281+51.32811.3203-61.32031.3242-例2用牛顿迭代法计算.解：令，求等价于求方程的正实根，因为，所以牛顿迭代公式为：.取初始迭代值，计算结果见表格1.表格201.511.7521.73205085731.73205081541.73205080851.732050808例3已知是方程的二重跟，用牛顿迭代法求解该方程的根.解：令，则.迭代函数为：.此时迭代公式为：.取初始迭代值，计算结果见表格3.表格301.511.41666666721.41421568631.414213562例4用弦截法求解.解：令，由知，在内，方程有一根.迭代公式为：取初始迭代值,计算结果见表格4.表格400.00000000000000011.00000000000000020.50000000000000030.692307692