3.5 圆内接四边形2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

3.5圆内接四边形内容导航内容导航题型1作图—复杂作图题型2圆内接四边形的性质考点演练考点演练题型1作图—复杂作图解｜题｜知｜识复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．【典例1】已知线段a、b、c，求作线段x，使x=acb．下列作图方法中（AB∥A． B． C． D．【变式1】给定△ABC，现进行如下操作：①如图（1）所示，分别以点A、C为圆心，大于12AC的长a为半径作弧，联结两弧两个交点的线段交AC于点Q，联结②如图（2）所示，取BC上一点P，联结AP交BQ于点G，并使得AP能平分S△ABC；③过点G作AB的平行线l1交BC于点T，作l2∥AC交BC于点R．S△GTRS【变式2】如图，AB是圆的直径，点C是圆内一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（1）过点C作一个90°的圆周角；（2）过点C作一条垂直于AB的弦．【变式3】如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，找出BC边上的中线AE；（2）在图2中，画出△ABC的角平分线AF．题型2圆内接四边形的性质解｜题｜知｜识（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【典例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC=2CD，则∠BAD＝【变式1】如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠ADC＝35°．则∠OBC＝．【变式2】如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，∠B+∠E＝154°，则CD所对的圆周角度数为．【变式3】如图，∠BCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，连接OB、OD，若∠BOD＝144°，则∠BCE的度数为°．过关验收过关验收1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中的抛物线上找出点E，使DE＝AC；（2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F．2．已知四边形ABCD是矩形，点E是AD边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图①中，过点E作线段EF，使得EF∥AB，交BC于点F；（2）如图②中，在线段CD上找一点G，使得EG∥AC，连接EG．3．如图，AD是△ABC的中线，四边形ADBE为平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC的中线CM；（2）若AB＝AC，请在图2中作一个菱形．4．如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（1）在图1中的AB上找一点M，使AE＝CM；（2）在图2中的AD上找一点N，使CN＝AE．5．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，且点A（﹣5，m），点B（﹣1，m）是图象上两点．（1）写出抛物线的对称轴；（2）请你仅用无刻度的直尺画出抛物线的对称轴．6．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹．（1）如图1，AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N作出该圆直径AD．（2）如图2，AB是所在圆的直径，弦CD∥AB，作出圆的圆心O．7．如图是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（1）在图①中，画出△ABC的外心O；（2）在图②中，画出△ABC的内心P．8．已知⊙M与x轴交于点A（2，0），B（﹣6，0），与y轴交于点C（0，4），D（0，﹣3）．（1）请在平面直角坐标系中画出符合题意的圆；（2）根据你画出的图形，写出圆心M的坐标．9．作图题：⊙O上有三个点A，B，C，∠ABC＝50°，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出符合要求的角．（1）在图1中作一个100°的角；（2）在图2中作一个130°的角；（3）在图3中作一个40°的角．∠AOC＝100°，∠D＝130°，∠CAE＝40°．10．如图，已知点A，B，C均在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不需写出画法）．（1）如图1，若点D是AC的中点，作出∠ABC的平分线；（2）如图2，若AC∥BD，作出∠ABC的平分线．11．如图，已知线段a、b、c，求作线段x，使x=ab12．已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点A，B，C．（1）用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点O；（2）若△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＝5，BC＝8，求该圆板的半径；（3）请在图中作弦EF∥BC（E在F左侧），求证：BE＝CF．13．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．90°14．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：4：7，则∠D的度数是（）A．100° B．90° C．80° D．60°15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是（）A．100° B．110° C．120° D．125°16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40° B．80° C．140° D．160°18．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝140°，则∠ADC等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E在BC的延长线上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，则∠DCE的度数是（）A．100° B．105° C．110° D．120°21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝∠C，则∠C的度数是（）A．70° B．90° C．110° D．140°22．四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：m：3：n，则m，n满足条件（）A．2m＝3n B．3m＝2n C．m+n＝5 D．m+n＝180°23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝140°，则∠AOC的度数是（）A．40° B．80° C．100° D．120°24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝130°，则∠AOC的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝136°，那么它的外角∠DCE的度数是（）A．68° B．136° C．88° D．44°26．如图，圆内接四边形ABCD中，点A是BD上的点，O为圆心，OA⊥BD，∠C＝80°，则∠ABD的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径，连接AC．若∠ADC＝115°，则∠CAE的度数为（）A．15° B．25° C．30° D．35°28．若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能是（）A．3：1：2：5 B．1：2：2：3 C．2：7：3：6 D．1：2：4：329．若四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝120°，则∠C＝．答案解析题型1作图—复杂作图【典例1】已知线段a、b、c，求作线段x，使x=acb．下列作图方法中（AB∥A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、由图可得ax=bcB、由图可得xc=abC、由图可得，图形能画出，故此选项不符合题意；D、由图可得图形能画出，故此选项不符合题意．故选：B．【变式1】给定△ABC，现进行如下操作：①如图（1）所示，分别以点A、C为圆心，大于12AC的长a为半径作弧，联结两弧两个交点的线段交AC于点Q，联结②如图（2）所示，取BC上一点P，联结AP交BQ于点G，并使得AP能平分S△ABC；③过点G作AB的平行线l1交BC于点T，作l2∥AC交BC于点R．S△GTRS【答案】19【解答】解：①由AP能平分S△ABC，则点P为BC的中点，即AP为中线；②由作法可知：所作的是线段AC的垂直平分线，BQ为中线；则中线BQ和中线AP的交点G为△ABC重心，即A正确，不符合题意；由题意可知PG：AG＝1：2，∵AB∥GT，∴PTBT∴TP=13同理：PR=13∵CP＝BP，∴PR＝TP，∴BT＝2TP＝2PR，∴TP+PR=13（BP+PC）=∴RT＝TCR＝B，即D选项正确；∵RG∥AC，GT∥AB，∴△GTK∽△ABC，∴S△GTRS△ABC=（TR故答案为：19【变式2】如图，AB是圆的直径，点C是圆内一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（1）过点C作一个90°的圆周角；（2）过点C作一条垂直于AB的弦．【答案】（1）如图1中，∠AEB即为所求；（2）如图2中，线段EF即为所求．【解答】解：（1）如图1中，∠AEB即为所求；（2）如图2中，线段EF即为所求．【变式3】如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，找出BC边上的中线AE；（2）在图2中，画出△ABC的角平分线AF．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】解：（1）如图，AE为所作；（2）如图，AF为所作．题型2圆内接四边形的性质【典例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC=2CD，则∠BAD＝【答案】135°．【解答】解：如图，连接BD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∵cos∠BCD=CD∴∠BCD＝45°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝135°，故答案为：135°．【变式1】如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠ADC＝35°．则∠OBC＝．【答案】20°．【解答】解：连接OC，如图所示：∵OA⊥BC，∴AC=∴∠AOB＝∠AOC，∵∠ADC＝35°，∴∠AOC＝2∠ADC＝70°，∴∠AOB＝70°，∵OE⊥BC，∴∠OEB＝90°，∴∠OBC＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．【变式2】如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，∠B+∠E＝154°，则CD所对的圆周角度数为．【答案】26°．【解答】解：连接BC，OC，OD，如图：∵点A、B、C、D、E在⊙O上，∴∠ABC+∠E＝180°，∵∠ABD+∠E＝154°，∴∠ABC﹣∠ABD＝26°，即∠DBC＝26°，∴CD所对圆周角的度数是26°，故答案为：26°．【变式3】如图，∠BCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，连接OB、OD，若∠BOD＝144°，则∠BCE的度数为°．【答案】72．【解答】解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝144°，∴∠A＝72°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝108°，∴∠BCE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°，故答案为：72．过关验收过关验收1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中的抛物线上找出点E，使DE＝AC；（2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F．【答案】（1）（2）作图见解析部分．【解答】解：（1）如图，点E即为所求．（2）如图，点F即为所求．2．已知四边形ABCD是矩形，点E是AD边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图①中，过点E作线段EF，使得EF∥AB，交BC于点F；（2）如图②中，在线段CD上找一点G，使得EG∥AC，连接EG．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解答】解：（1）使得EF∥AB，交BC于点F的线段EF，如图①即为所求；（2）点G即为所求．3．如图，AD是△ABC的中线，四边形ADBE为平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC的中线CM；（2）若AB＝AC，请在图2中作一个菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析（答案不唯一）．【解答】解：（1）如图，CM即为所求作；（2）如图，四边形APDQ即为所求作（答案不唯一）．4．如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（1）在图1中的AB上找一点M，使AE＝CM；（2）在图2中的AD上找一点N，使CN＝AE．【答案】（1）点M即为所求，如图1所示；（2）点N即为所求，如图2所示；【解答】解：（1）点M即为所求，如图1所示；（2）点N即为所求，如图2所示；5．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，且点A（﹣5，m），点B（﹣1，m）是图象上两点．（1）写出抛物线的对称轴；（2）请你仅用无刻度的直尺画出抛物线的对称轴．【答案】（1）直线x＝﹣3．（2）【解答】解：（1）∵A（﹣5，m），B（﹣1，m），∴抛物线的对称轴为直线x=(−5)+(−1)（2）如图，设抛物线与x轴分别交于点C，D，连接CA，DB并分别延长，相交于点M，连接AD，BC相交于点N，作直线MN，则直线MN为抛物线的对称轴．6．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹．（1）如图1，AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N作出该圆直径AD．（2）如图2，AB是所在圆的直径，弦CD∥AB，作出圆的圆心O．【答案】图形见解答．【解答】解：（1）如图（1），直径AD即为所求；（2）如图（2），圆心O即为所求；7．如图是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（1）在图①中，画出△ABC的外心O；（2）在图②中，画出△ABC的内心P．【答案】（1）如图①中，点O即为所求；（2）如图②中，点P即为所求．【解答】解：（1）如图①中，点O即为所求；（2）如图②中，点P即为所求．8．已知⊙M与x轴交于点A（2，0），B（﹣6，0），与y轴交于点C（0，4），D（0，﹣3）．（1）请在平面直角坐标系中画出符合题意的圆；（2）根据你画出的图形，写出圆心M的坐标．【答案】（1）如图，⊙O即为所求；（2）M（﹣2，12【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求；（2）如图，由垂径定理可知点M的横坐标为−6+22=−2，纵坐标为∴M（﹣2，129．作图题：⊙O上有三个点A，B，C，∠ABC＝50°，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出符合要求的角．（1）在图1中作一个100°的角；（2）在图2中作一个130°的角；（3）在图3中作一个40°的角．∠AOC＝100°，∠D＝130°，∠CAE＝40°．【答案】（1）（2）（3）AOC，D，CAE．【解答】解：（1）连接OA，OC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得：∠AOC＝2∠ABC＝100°，∴∠AOC即为所求；（2）在弧AC上任取一点D，由圆内接四边形性质可得∠D＝130°，∴∠D即为所求；（3）如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE，AC，∴∠ACE＝90°，∠E＝∠B＝50°，∴∠CAE＝40°，∴∠CAE即为所求．故答案为：AOC，D，CAE．10．如图，已知点A，B，C均在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不需写出画法）．（1）如图1，若点D是AC的中点，作出∠ABC的平分线；（2）如图2，若AC∥BD，作出∠ABC的平分线．【答案】（1）见解答．（2）见解答．【解答】解：（1）如图1，连接OD并延长，交⊙O于点E，作射线BE，则射线BE即为所求．（2）如图2，连接AD交BC于点M，连接OM并延长，交⊙O于点N，作射线BN，则射线BN即为所求．11．如图，已知线段a、b、c，求作线段x，使x=ab【答案】．【解答】解：∵x=ab∴c作出c、a、b、x的第四比例项得到x，如图：．12．已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点A，B，C．（1）用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点O；（2）若△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＝5，BC＝8，求该圆板的半径；（3）请在图中作弦EF∥BC（E在F左侧），求证：BE＝CF．【答案】（1）如图：（2）256（3）证明：如图，作弦EF∥BC，由条件可知OA⊥EF，∴AE=∴AB−∴BE=∴BE＝CF，同理当EF在BC下方时，可得AE−即可得到BE＝CF．【解答】（1）解：如图，点O为所作：（2）解：连接OA、OB，OA交BC于D点，如图，由条件可知AB=∴OA垂直平分BC，∴∠ADB＝∠ODB＝90°，BD=CD=1∵AB＝5，BD＝4，∴AD=5设⊙O的半径为r，则OB＝r，OD＝r﹣3，在Rt△BOD中，42+（r﹣3）2＝r2，解得r=25即该圆板的半径为256（3）证明：如图，作弦EF∥BC，由条件可知OA⊥EF，∴AE=∴AB−∴BE=∴BE＝CF，同理当EF在BC下方时，可得AE−即可得到BE＝CF．13．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】B【解答】解：根据圆内接四边形的对角互补可得：∠ADC＝180°﹣110°＝70°，故选：B．14．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：4：7，则∠D的度数是（）A．100° B．90° C．80° D．60°【答案】A【解答】解：∵圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：4：7，∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，设∠A＝2x，∠B＝4x，∠C＝7x，∴2x+7x＝180°，解得x＝20°，∴∠B＝80°，∴∠D＝180°﹣80°＝100°，故选：A．15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是（）A．100° B．110° C．120° D．125°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴﹣∠ABC+∠D＝180°，∵∠ABC＝125°，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，∴∠AOC＝2∠D＝2×55°＝110°，故选：B．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【解答】解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠OCD＝40°．故选：A．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40° B．80° C．140° D．160°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝140°，∴∠A＝40°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，故选：B．18．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝140°，则∠ADC等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】B【解答】解：∵∠AOC＝140°，∴∠B=12∠∴∠ADC＝180°﹣∠B＝110°，故选：B．20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E在BC的延长线上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，则∠DCE的度数是（）A．100° B．105° C．110° D．120°【答案】D【解答】解：∵∠A：∠B：∠D＝4：3：3，∴设∠A＝4x，则∠B＝∠D＝3x．∵∠B+∠D＝180°，即6x＝180°，解得x＝30°，∴∠A＝120°，∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠A＝120°．故选：D．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝∠C，则∠C的度数是（）A．70° B．90° C．110° D．140°【答案】B【解答】解：由条件可知∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠C=1故选：B．22．四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：m：3：n，则m，n满足条件（）A．2m＝3n B．3m＝2n C．m+n＝5 D．m+n＝180°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，∴m+n＝2+3＝5，故选：C．23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝140°，则∠AOC的度数是（）A．40° B．80° C．100° D．120°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D＝180°，∵∠ABC＝140°，∴∠D＝180°﹣140°＝40°，由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝80°，故选：B．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝130°，则∠AOC的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠ABC＝180°﹣130°＝50°，由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC＝100°，故选：C．25．如图，四边形ABCD内接于