2026年山西省人教版高二数学下册第4单元课后练习

2026年山西省人教版高二数学下册第4单元课后练习一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像在y轴上的对称点为(0，1)，且周期为π，则下列说法正确的是（）A.ω=1，φ=π/2B.ω=2，φ=π/4C.ω=1，φ=π/4D.ω=2，φ=π/2解析：由题意知函数图像在y轴上的对称点为(0，1)，即f(0)=1，可得sin(φ)=1，由于|φ|<π/2，所以φ=π/2。又因为周期为π，根据周期公式T=2π/ω，可得ω=2。因此正确选项为D。2.若函数g(x)=cos(2x+θ)在区间[0，π/4]上单调递减，则θ的取值范围是（）A.2kπ-π/2≤θ≤2kπ+π/2，k∈ZB.kπ-π/8≤θ≤kπ+3π/8，k∈ZC.2kπ-3π/2≤θ≤2kπ-π/2，k∈ZD.kπ-3π/4≤θ≤kπ-π/4，k∈Z解析：函数g(x)=cos(2x+θ)在区间[0，π/4]上单调递减，需满足2x+θ在[0，π/4]上单调递减，即2x+θ的导数小于0。由cos函数的单调性可得2x+θ在[π，2π]上，即θ在[π，2π]上。又因为θ的取值范围是2kπ-π/2≤θ≤2kπ+π/2，k∈Z，所以正确选项为A。3.已知向量a=(sinα，cosα)，b=(cosα，sinα)，且|a+b|=√2，则tanα的值为（）A.-1B.1C.-√3/3D.√3/3解析：向量a+b=(sinα+cosα，sinα+cosα)，所以|a+b|=√2sinα+cosα=√2。两边平方可得sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=2，即1+sin2α=2，所以sin2α=1，即2α=π/2+2kπ，α=π/4+kπ，k∈Z。因此tanα=1，正确选项为B。4.函数f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：函数f(x)=|sinx|+|cosx|的图像是sinx和cosx的绝对值之和，周期为sinx和cosx的周期的最小公倍数。由于sinx和cosx的周期都是2π，所以f(x)的最小正周期为π，正确选项为B。5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B（A>0，ω>0）的图像的最高点为(π/4，3)，且周期为π，则f(π/2)的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：由题意知函数的最高点为(π/4，3)，即Asin(ωπ/4+φ)+B=3，且周期为π，所以ω=2。又因为最高点为(π/4，3)，所以sin(2π/4+φ)=1，即2π/4+φ=π/2+2kπ，φ=π/4-π/2+2kπ，k∈Z。因此f(x)=2sin(2x+π/4)+1，f(π/2)=2sin(π+π/4)+1=-√2+1，正确选项为A。6.若函数h(x)=sin^2x+acosx+b在x=π/4处取得最小值-1/2，则a的值为（）A.√2B.-√2C.1D.-1解析：函数h(x)=sin^2x+acosx+b可以化为h(x)=1/2-1/2cos2x+acosx+b。由题意知在x=π/4处取得最小值-1/2，即h(π/4)=1/2-1/2cosπ/2+a√2/2+b=-1/2，所以a√2/2+b=0，即a√2=-b。又因为h(x)的最小值为-1/2，所以1/2-1/2cos2x+acosx+b的最小值为-1/2，即acosx+b的最小值为-1，所以a=±√2，正确选项为A。7.已知函数f(x)=sinx-cosx，则f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：函数f(x)=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)。令f(x)=0，即sin(x-π/4)=0，解得x-π/4=kπ，x=kπ+π/4，k∈Z。在区间[0，2π]上，k=0，1，2，3，所以x=π/4，5π/4，9π/4，13π/4，共4个零点，正确选项为C。8.若函数g(x)=sinx+cosx的图像关于点(π/4，√2/2)对称，则g(x)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：函数g(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)。由题意知图像关于点(π/4，√2/2)对称，即g(π/4)=√2sin(π/4+π/4)=√2sin(π/2)=√2，所以对称中心为(π/4，√2/2)。由于sin函数的周期为2π，所以g(x)的最小正周期为2π，正确选项为C。9.已知函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx，则f(x)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx=sin2x+1/2sin2x=3/2sin2x+1/2。由于sin2x的周期为π，所以f(x)的最小正周期为π，正确选项为B。10.若函数h(x)=sinx+cosx的图像向左平移π/4个单位后，与y轴交点的纵坐标为1，则原函数h(x)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：函数h(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)。向左平移π/4个单位后，函数变为h(x)=√2sin(x+π/4+π/4)=√2sin(x+π/2)=√2cosx。与y轴交点的纵坐标为1，即h(0)=√2cos0=√2=1，矛盾，所以原函数h(x)的最小正周期为2π，正确选项为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位后，所得图像的解析式为________。参考答案：sin(2x-π/6)解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)向右平移π/6个单位后，解析式变为sin[2(x-π/6)+π/3]=sin(2x-π/6)。2.若函数g(x)=cos(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像关于y轴对称，且周期为π，则φ=________。参考答案：π/2解析：函数g(x)=cos(ωx+φ)的图像关于y轴对称，即g(-x)=g(x)，所以cos(-ωx+φ)=cos(ωx+φ)，即-ωx+φ=ωx+φ+2kπ，ωx=0，所以φ=kπ，由于|φ|<π/2，所以φ=π/2。3.函数f(x)=|sinx|+|cosx|的最小值为________。参考答案：1解析：函数f(x)=|sinx|+|cosx|的最小值为√2sin(x+π/4)的最小值，即1。4.函数g(x)=sinx-cosx的图像关于直线x=π/4对称，则g(x)的最小正周期是________。参考答案：2π解析：函数g(x)=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)的图像关于直线x=π/4对称，所以g(x)的最小正周期为2π。5.若函数h(x)=sin^2x+acosx+b在x=π/4处取得最小值-1/2，则b=________。参考答案：-1/2解析：函数h(x)=sin^2x+acosx+b可以化为h(x)=1/2-1/2cos2x+acosx+b。由题意知在x=π/4处取得最小值-1/2，即h(π/4)=1/2-1/2cosπ/2+a√2/2+b=-1/2，所以a√2/2+b=-1，即b=-1/2。6.函数f(x)=sinx+cosx的图像向左平移π/4个单位后，所得图像的解析式为________。参考答案：sin(x+π/4)+cos(x+π/4)解析：函数f(x)=sinx+cosx向左平移π/4个单位后，解析式变为sin(x+π/4)+cos(x+π/4)=√2sin(x+π/4+π/4)=√2sin(x+π/2)=√2cosx。7.函数g(x)=cos^2x-sin^2x的图像关于原点对称，则g(x)的最小正周期是________。参考答案：π解析：函数g(x)=cos^2x-sin^2x=cos2x的图像关于原点对称，所以g(x)的最小正周期为π。8.若函数h(x)=sinx+cosx的图像关于点(π/4，√2/2)对称，则h(π/2)的值为________。参考答案：√2-1解析：函数h(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)的图像关于点(π/4，√2/2)对称，所以h(π/2)=√2sin(π/2+π/4)=√2sin(3π/4)=√2-1。9.函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx的最小正周期是________。参考答案：π解析：函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx=sin2x+1/2sin2x=3/2sin2x+1/2。由于sin2x的周期为π，所以f(x)的最小正周期为π。10.函数g(x)=cos(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位后，所得图像的解析式为________。参考答案：cos(2x-π/9)解析：函数g(x)=cos(2x+π/3)向右平移π/6个单位后，解析式变为cos[2(x-π/6)+π/3]=cos(2x-π/9)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于直线x=π/4对称。（×）解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于直线x=π/4对称，即f(π/4+a)=f(π/4-a)，但题目没有给出对称轴的具体信息，所以该命题不成立。2.函数g(x)=cos(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像关于y轴对称，则φ一定是π/2的整数倍。（√）解析：函数g(x)=cos(ωx+φ)的图像关于y轴对称，即g(-x)=g(x)，所以cos(-ωx+φ)=cos(ωx+φ)，即-ωx+φ=ωx+φ+2kπ，ωx=0，所以φ=kπ，由于|φ|<π/2，所以φ=π/2。3.函数f(x)=|sinx|+|cosx|的最大值为√2。（×）解析：函数f(x)=|sinx|+|cosx|的最大值为√2，不是√2。4.函数g(x)=sinx-cosx的图像关于直线x=π/4对称。（√）解析：函数g(x)=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)的图像关于直线x=π/4对称。5.函数h(x)=sin^2x+acosx+b在x=π/4处取得最小值-1/2，则a一定是√2。（×）解析：函数h(x)=sin^2x+acosx+b可以化为h(x)=1/2-1/2cos2x+acosx+b。由题意知在x=π/4处取得最小值-1/2，即h(π/4)=1/2-1/2cosπ/2+a√2/2+b=-1/2，所以a√2/2+b=-1，即a=±√2。6.函数f(x)=sinx+cosx的图像向左平移π/4个单位后，所得图像的解析式为sinx+cosx。（×）解析：函数f(x)=sinx+cosx向左平移π/4个单位后，解析式变为sin(x+π/4)+cos(x+π/4)=√2sin(x+π/2)=√2cosx，不是sinx+cosx。7.函数g(x)=cos^2x-sin^2x的图像关于原点对称。（√）解析：函数g(x)=cos^2x-sin^2x=cos2x的图像关于原点对称。8.若函数h(x)=sinx+cosx的图像关于点(π/4，√2/2)对称，则h(π/2)的值为√2。（×）解析：函数h(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)的图像关于点(π/4，√2/2)对称，所以h(π/2)=√2sin(π/2+π/4)=√2sin(3π/4)=√2-1，不是√2。9.函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx的最小正周期是π。（√）解析：函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx=sin2x+1/2sin2x=3/2sin2x+1/2。由于sin2x的周期为π，所以f(x)的最小正周期为π。10.函数g(x)=cos(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位后，所得图像的解析式为cos(2x+π/9)。（×）解析：函数g(x)=cos(2x+π/3)向右平移π/6个单位后，解析式变为cos[2(x-π/6)+π/3]=cos(2x-π/9)，不是cos(2x+π/9)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期。参考答案：π解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期为2π/2=π。2.求函数g(x)=cos(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像关于y轴对称的充要条件。参考答案：φ=kπ，k∈Z解析：函数g(x)=cos(ωx+φ)的图像关于y轴对称，即g(-x)=g(x)，所以cos(-ωx+φ)=cos(ωx+φ)，即-ωx+φ=ωx+φ+2kπ，ωx=0，所以φ=kπ，由于|φ|<π/2，所以φ=π/2。3.求函数f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期。参考答案：π/2解析：函数f(x)=|sinx|+|cosx|的周期为π/2。4.求函数g(x)=sinx-cosx的图像的对称轴方程。参考答案：x=π/4+kπ，k∈Z解析：函数g(x)=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)的图像的对称轴方程为x-π/4=kπ，即x=π/4+kπ，k∈Z。5.求函数h(x)=sin^2x+acosx+b在x=π/4处取得最小值-1/2的a和b的值。参考答案：a=√2，b=-1/2解析：函数h(x)=sin^2x+acosx+b可以化为h(x)=1/2-1/2cos2x+acosx+b。由题意知在x=π/4处取得最小值-1/2，即h(π/4)=1/2-1/2cosπ/2+a√2/2+b=-1/2，所以a√2/2+b=-1，即a=√2，b=-1/2。6.求函数f(x)=sinx+cosx的图像的对称中心。参考答案：(π/4，√2/2)解析：函数f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)的图像的对称中心为(π/4，√2/2)。7.求函数g(x)=cos^2x-sin^2x的图像的对称中心。参考答案：(π/4，0)解析：函数g(x)=cos^2x-sin^2x=cos2x的图像的对称中心为(π/4，0)。8.求函数h(x)=sinx+cosx的图像向左平移π/4个单位后的解析式。参考答案：sin(x+π/4)+cos(x+π/4)解析：函数h(x)=sinx+cosx向左平移π/4个单位后，解析式变为sin(x+π/4)+cos(x+π/4)=√2sin(x+π/2)=√2cosx。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，求f(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值。参考答案：最大值√3/2，最小值-1/2解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)在区间[0，π]上，2x+π/3在[π/3，7π/3]上，所以sin(2x+π/3)在[-1/2，√3/2]上，最大值为√3/2，最小值为-1/2。2.已知函数g(x)=cos(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像关于y轴对称，且周期为π，求g(x)的解析式。参考答案：g(x)=cos2x解析：函数g(x)=cos(ωx+φ)的图像关于y轴对称，即g(-x)=g(x)，所以cos(-ωx+φ)=cos(ωx+φ)，即-ωx+φ=ωx+φ+2kπ，ωx=0，所以φ=kπ，由于|φ|<π/2，所以φ=π/2。又因为周期为π，所以ω=2，所以g(x)=cos(2x+π/2)=cos2x。3.已知函数f(x)=|sinx|+|cosx|，求f(x)在区间[0，2π]上的图像。参考答案：在[0，π/4]上，f(x)=√2sin(x+π/4)；在[π/4，5π/4]上，f(x)=√2cosx；在[5π/4，2π]上，f(x)=√2sin(x-3π/4)。解析：函数f(x)=|sinx|+|cosx|在区间[0，π/4]上，sinx和cosx都非负，所以f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)；在[π/4，5π/4]上，sinx非负，cosx非正，所以f(x)=sinx-cosx=√2cosx；在[5π/4，2π]上，sinx和cosx都非正，所以f(x)=-sinx-cosx=-√2sin(x-3π/4)。4.已知函数g(x)=sinx-cosx，求g(x)在区间[0，2π]上的图像。参考答案：在[0，π/4]上，g(x)=√2sin(x-π/4)；在[π/4，5π/4]上，g(x)=-√2sin(x-π/4)；在[5π/4，2π]上，g(x)=√2sin(x-π/4)。解析：函数g(x)=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)在区间[0，2π]上，sin(x-π/4)在[-π/4，7π/4]上，所以g(x)在[0，2π]上的图像为：在[0，π/4]上，g(x)=√2sin(x-π/4)；在[π/4，5π/4]上，g(x)=-√2sin(x-π/4)；在[5π/4，2π]上，g(x)=√2sin(x-π/4)。5.已知函数h(x)=sin^2x+2sinxcosx，求h(x)在区间[0，2π]上的图像。参考答案：在[0，π/4]上，h(x)=3/2sin2x+1/2；在[π/4，5π/4]上，h(x)=3/2sin2x+1/2；在[5π/4，2π]上，h(x)=3/2sin2x+1/2。解析：函数h(x)=sin^2x+2sinxcosx=sin2x+1/2sin2x=3/2sin2x+1/2。由于sin2x的周期为π，所以h(x)在区间[0，2π]上的图像为：在[0，π/4]上，h(x)=3/2sin2x+1/2；在[π/4，5π/4]上，h(x)=3/2sin2x+1/2；在[5π/4，2π]上，h(x)=3/2sin2x+1/2。6.已知函数f(x)=sinx+cosx，求f(x)在区间[0，2π]上的图像。参考答案：在[0，π/4]上，f(x)=√2sin(x+π/4)；在[π/4，5π/4]上，f(x)=-√2sin(x+π/4)；在[5π/4，2π]上，f(x)=√2sin(x+π/4)。解析：函数f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)在区间[0，2π]上，sin(x+π/4)在[π/4，9π/4]上，所以f(x)在[0，2π]上的图像为：在[0，π/4]上，f(x)=√2sin(x+π/4)；在[π/4，5π/4]上，f(x)=-√2sin(x+π/4)；在[5π/4，2π]上，f(x)=√2sin(x+π/4)。7.已知函数g(x)=cos(2x+π/3)，求g(x)在区间[0，π]上的图像。参考答案：在[0，π/6]上，g(x)=√3/2cos(2x+π/3)；在[π/6，2π/3]上，g(x)=-1/2cos(2x+π/3)；在[2π/3，π]上，g(x)=-√3/2cos(2x+π/3)。解析：函数g(x)=cos(2x+π/3)在区间[0，π]上，2x+π/3在[π/3，7π/3]上，所以cos(2x+π/3)在[-1/2，√3/2]上，所以g(x)在[0，π]上的图像为：在[0，π/6]上，g(x)=√3/2cos(2x+π/3)；在[π/6，2π/3]上，g(x)=-1/2cos(2x+π/3)；在[2π/3，π]上，g(x)=-√3/2cos(2x+π/3)。8.已知函数h(x)=sin^2x+2sinxcosx，求h(x)在区间[0，2π]上的最大值和最小值。参考答案：最大值3/2，最小值-1/2解析：函数h(x)=sin^2x+2sinxcosx=sin2x+1/2sin2x=3/2sin2x+1/2。由于sin2