21.1 二次函数( 课件)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

21.1二次函数

第二十一章

二次函数与反比例函数学

习

目

标123理解二次函数的核心概念，牢固掌握其一般形式y=ax²+bx+c的结构特征。能从实际问题中抽象出数量关系，准确列出二次函数表达式，并结合情境确定自变量的取值范围。经历“实际问题→建立函数模型→归纳概念”的探究过程，提升分析和解决问题的能力。在运用函数描述变化规律的过程中，进一步发展数学建模能力和抽象概括能力。体会二次函数在刻画现实世界中变量关系的作用，感受数学的应用价值和美学价值。激发学习数学的好奇心与求知欲，培养勇于探索、勤于思考的科学态度。知识回顾1.什么叫函数？我们学过哪些函数？一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.2.一次函数一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫一次函数.当b=0

时，一次函数y=kx就叫正比例函数。其中a、b为常数，且a≠0。3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)导入新课问题1(面积问题)：某水产养殖户用长40m的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？分析本题的等量关系2.矩形面积

=

长

×

宽1.周长等量关系矩形围网总长40m，矩形周长公式：2×(长+宽)=40问题1(面积问题)：某水产养殖户用长40m的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？解：设矩形一边长为x

m，

则另一边长：

40÷2−x=（20−x）m，面积为Sm²。则有S=x(20-x)

追问：S

与

x

是函数关系吗？y=−x2

+20

x.

问题1(面积问题)：某水产养殖户用长40m的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？解：设矩形一边长为x

m，

则另一边长：

40÷2−x=（20−x）m，面积为Sm²。则有S=x(20-x)y=−x2

+20

x.

此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.问题1(面积问题)：某水产养殖户用长40m的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？解：设矩形一边长为x

m，

则另一边长：

40÷2−x=（20−x）m，面积为Sm²。则有S=x(20-x)y=−x2

+20

x.①

这里x的取值有什么限制？（0＜x＜20）某公司今年1月销售额为100万元.公司制订销售目标，计划每月销售额增长率为x.按此计划，3月的销售额是多少万元？解按题意，2月的销售额为100(1+x)万元.设3月的销售额为y万元，则有整理并化简，得问题2(销售增长模型问题)：分析复利增长公式：次月销售额=上月销售额×(1+月增长率)本题的等量关系1月销售额：100万元2月销售额=1月销售额×(1+x)3月销售额=2月销售额×(1+x)y=100(1+x)2

y=100x2+200x+100②

对于

x

的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即

y是

x

的函数.问题3(排球运动中的数学问题)：在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起后，排球离地面的高度

h

m

与被垫起后的时间t

s

满足

排球离地面的最大高度是多少？

追问：h

与

t

是函数关系吗？对于

t

的每一个值，h都有唯一的一个对应值，即

h

是

t

的函数.h

=

-5t2

+

10t+

0.2③新知探究探究点1

类比旧知，归纳定义（1）观察这三个式子，符合一次函数特征吗？自变量最高次数不是1，出现自变量的平方项，所以不是一次函数。（2）函数关系式有什么共同点?特点：1.三个解析式都只含______自变量2.自变量最高次数都是_____一个2y=−x2

+20

x①

y=100x2+200x+100②

h

=

-5t2

+

10t+

0.2③3.函数表达式都是______整式探究点1

类比旧知，归纳定义二次函数二次（一元）二次方程函数一次函数ax2+bx+c=0(a≠0)y=kx+b(k，b是常数，k≠0)二次函数的概念：关键词·整式结构等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式关键词·单一变量函数解析式中只含有一个自变量（如x,t），不存在其他未知量。关键词·最高次为2自变量的最高次数是2次，且二次项系数不能为0。探究点1

类比旧知，归纳定义一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.☛二次函数的概念探究点2

规范一般形式，辨析各项系数（1）任意二次函数经过整理可以统一化为什么形式？

经过整理可化为统一形式：二次函数的一般形式

二次项一次项常数项核心前提条件二次项系数a≠0

可以，此时函数为特殊形式的二次函数当

a=0时y=bx＋c，当a≠0，b=0

时y=ax2＋c，当a≠0，c

=0

时y=ax2＋bx，当a≠0，b

=c

=0

时y=ax2

，不符合定义；符合定义；符合定义；符合定义．总结：只要满足

a≠0即可，b，c

可以为任意实数.探究点2

规范一般形式，辨析各项系数探究点3

自变量的取值范围01.数学定义下的一般情况当二次函数仅作为抽象的数学表达式存在时，自变量x不受具体场景约束，其取值范围为全体实数，即数轴上的任意数值均满足函数定义。02.实际场景的现实约束在解决实际问题时，自变量的取值必须依托现实逻辑，确保问题有意义（如长度、面积、数量等不可为负或超出合理边界），需结合具体情境分析其有效范围。典例分析例１.判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是，

写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，二次项系数：－1，一次项系数：5，常数项：－6.例2.已知函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常数)，

当m为何值时,函数是二次函数？

解:当m≠±3时，函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是二次函数．是二次函数,求常数a的值解：依题意，得解得a=-1.|a|+1=2a-1≠0新知巩固1.设圆的半径为r，请填空:(1)这个圆的周长C=____________,C是r的_______函数;(2)这个圆的面积S=____________,S是r的_______函数.C=2πr一次

一次2.在下列表达式中，哪些是二次函数?靶心率b与年龄a之间的关系可表示为(1)靶心率是能获得最佳效果并能确保安全的运动心率，一个年轻人的b=0.85(220-a);(2)圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系可表示为(h为定值);解：（1）b=−0.85a+187，自变量a次数为1，不是二次函数（是一次函数）。

（2）自变量r最高次数为2，整式形式，是二次函数。

2.在下列表达式中，哪些是二次函数?靶心率b与年龄a之间的关系可表示为(3)物体做自由落体运动的下落高度h与下落时间t之间的关系可表示为(g为定值);(4)导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，电功率P与电流I之间的关系可表示为(R为定值).（3）自变量t最高次数为2，整式形式，是二次函数。（4）自变量I最高次数为2，整式形式，是二次函数。

（1）推导函数关系式隧道截面面积=半圆面积+矩形面积半圆直径=2r，半圆面积矩形的长等于半圆直径2r，矩形高为4

m，矩形面积2r×4=8r因此总面积：自变量取值范围：r>0

（2）代入r=2

m计算面积把r=2代入解析式：

截面面积为(16+2π)

平方米

拓展提升

已知二次函数

(k为常数).（1）求

k的值；（2）当

x

=

0.5

时，y

的值是多少？解：（1）由题意，得解得

k=2.

（2）当

k=2时，

×真题感知（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．每件的售价x/元…252831…日销售量y/件…15129…（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；每件的售价x/元…252831…日销售量y/件…15129…（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，∴设函数表达式为∵当x=25时,y=15;∵当x=28时,y=12;∴15=25k+b12=28k+b解得：k=-1b=40∴y与x之间的函数表达式为y=-x+40.(2)解：由（1）知，y=-x+40.∴日销售额:∵玩具日销售额为300元，∴令𝑤=300，

即

，整理可得

，解得

，

，∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元．

（1）二次函数定义：形如y=𝒂𝒙²+𝒃𝒙+𝒄=𝟎(𝒂≠𝟎)，只含有一个自变量，自变量最高次数是2，等式右边为整式的函数。一元、二次、整式三个关键要素缺一不可，是判断函数类型的核心依据。（2）一般形式：y=𝒂𝒙²+𝒃𝒙+𝒄=𝟎(𝒂≠𝟎)，𝒂𝒙²为二次项、a是二次项系数，𝒃𝒙为一次项、b是一次项系数，c为常数项，牢记二次项系数a不能为0；（3）自变量取值范围：纯数字表达式中自变量可取全体实数；实际问题里自变量取值要贴合现实意义，需列出不等式限定范围。课堂小结易错提醒（1）判定函数类型前，必须先将表达式展开化简为整式形式，含有自变量

在分母、根号内的式子一定不是二次函数；（2）一般形式中，二次项系数a≠0是必备条件，参数题型优先考虑此条件；（3）纯数学解析式里自变量可取全体实数，但实际应用类二次函数，

自变量取值要贴合实际场景，需结合题意列出不等式限定合理范围；（4）对函数进行变形、配方、列关系式时，不可随意丢项、漏符号，

化简后务必对照原式核对等式两边是否等价。课后练习1.在下列表达式中，x为自变量，