2026-2027学年小升初数学奥数培优（通 用版）-周期问题（含答案）

/2026-2027学年小升初数学奥数培优（通用版）周期问题第二宇宙速度又称为逃逸速度，指物体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最小速度，地球上的“逃逸速度”是11.2千米秒，这意味着我们发射火箭，如果速度大于11.2千米秒，它就能脱离地球的影响而飞到太空上去，大到火箭，小到分子的任何物体都适用。现有一个大气分子，太阳辐射把它的速度提高到15千米1秒，已知它与其他分子每碰撞一次，速度依次减少到碰撞前的19202．一条圆形跑道长600米，因铺设水管，其中跑道上AB一段被挖开，形成一个大坑，AB的跑道长度为150米，有一机器人放在跑道上循环行走，前进的步长（跑道弧长）为d米，可调整步长d的大小，但调后不再改变，并且d小于600米，请设计出两种（d的不同长度）方案，使得机器人不断循环，并且永远不会落入炕里。（碰到A或B也算落入坑里），每种方案包括：

（1）步长d的值（不同方案的d的值）；

（2）机器人的出发点。3．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要蓄满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有六分之一池水，小明突发奇想如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流开管，每管开1小时，直到水开始溢出水池为止，问多少小时后水开始溢出水池？4．有甲、乙两个同样的杯子，甲杯装满水，乙杯是空的。第一次将甲杯里的12倒入乙杯，第二次将乙杯中水的13倒回甲杯，第三次将甲杯中的145．一个水池有两根进水管和一根出水管，单开甲管18小时注满空水池，单开乙管12小时注满空水池，单开丙管20小时排空水池。现在甲、乙、丙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，丙管打开1小时，甲管打开1小时……重复交替下去，那么注满空水池共需要几个小时?6．（规律探索）30粒珠子按8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色……的次序串成一圈。一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上。这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上?7．将五位数“12345”重复写403次组成一个2015位数，“123451234512345”从左往右删去这个数中所有位于奇数位上的数字后组成一个新数，再删去新数中所有位于奇数位的数字；按上述规则一直删下去，直到剩下一位数为止，则最后剩下的数字是多少？8．实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一枚指针，而且都是每分钟跳一次，第一只钟一圈有12个格。格线上依次标着0-11，指针一次跳过2个格(例如从4跳到6)：第二只钟一圈有7个格。格线上依次标着0至6，指针一次跳过3个格。开始时两个指针都指向0。如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指者是哪个数字？9．(周期问题)A、B两点把一个周长为1米的圆周等分成两部分，蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是3810．蜗牛王国2020年阅兵开幕式10点整准时开始了。1号蜗牛首先以1米/分的速度从起点出发沿阅兵道跑向另一端；1分钟后，2号蜗牛以2米/分的速度从起点出发跑向另一端；再过1分钟3号蜗牛以3米/分的进度从起点出发跑向另一端；…；一直到第100只蜗牛以100米/分的速度从起点出发跑向另一端。已知阅兵道全长2015米。（1）请求出第100只蜗牛到达终点的时间；（2）在这100只蜗牛中，哪几只同时到达终点？11．30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、⋯⋯的次序串成一圈．一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上．这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上．12．如图，有一种电子跳蚤游戏棋，棋盘为边长6厘米的等边三角形ABC，电子跳蚤开始位于P0点，P0点距离B点4厘米。接下来电子跳蚤开始逆时针跳动。它第一次跳到P1点，P1点与C点之间的距离等于P0点与C点之间的距离。第二次跳到P2点，P2点与A点之间的距离等于P1点与A点之间距离。第三次跳到P3点，P3点与B点之间的距离等于P2点与B点之间的距离。第四次将跳到P4点，P4点与C点之间的距离等于P3点与C点之间的距离。（1）P0点与P1点之间的距离为厘米。（2）若电子跳蚤继续按这样的规律跳动，它跳完第2018次所达到的点P2018与点P1之间的距离为厘米。13．某同学做跳棋游戏，如图所示为△ABC,AB=8,AC=9,BC=10。如果跳棋开始在BC边上的P0点，BP0=4，第一步跳棋跳到AC边上的P1点，且CP1=CP014．学校一个学期安排89节语文课，单数周，周一、三、五，每天两节；双数周，周二、四，每天两节。开学第一周报道，所以第一周的周一没有上语文课，从第一周的周三开始上语文课，那么最后两节课，是周几上的？15．黑板上1,116．有两个容器，A容器中有1升水，B容器是空的。第一次将A容器里的水的12倒入B容器中，然后第二次将B容器里的水的13倒回A容器中；第三次再将A容器里的水的14倒入B容器中，然后第四次将B容器里的水的15倒回17．在2023年“迎春杯”50年庆黄马拉松比赛上，甲、乙和一个助理机器人同时出发。甲保持每分钟145米的速度不变。乙出发时速度为每分钟a米.两个多小时候佮恰过了整数分钟时，乙将速度提高到分种2a米直到终点；机器人以10分钟为行动周期，如此循环，直到终点，结果甲、乙和机器人同时到达终点，已知马拉松全程为42195米，且a18．用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，fx=x2；当x为奇数时，f（x）=3x+1.例如：fx=3×1+1=4,f8=82=4.设x1=8，x2=f（x1），x19．对于任意自然数n，定义△n为不超过n的所有自然数之和的个位数字，例如△4表示0+1+2+3+4=10的个位数字，即△4=0；请回答下列问题；（1）△2021=。（2）是否存在自然数n满足△(△n)=n，若存在，求出所有满足条件的自然数；若不存在，请说明理由：（3）计算：(△1)+(△2)+(△3)+……+(02021)。20．(周期问题)一本历史书共有2640页，张强每小时阅读16页。第一日到第十日，每日读5小时；第十一日到第二十日，每日读6小时；第二十一日到最后一日的前一日，每日读7小时。经过若干日全部读完。问：最后一日是第几日？最后一日读了几小时？

答案解析部分1．解：将原速度看成单位“1”。

碰撞n次后速度就是原速度的：1920×1819×1718×⋯⋯×20−n20−n将原速度看成单位“1”，根据题目中的条件依次计算出n次碰撞后速度依次减少到碰撞前的19202．解：方案一：令d=300米，则只要机器人从跑道上除大坑外，距离A、B点小于150米任一处出发，就不会落入坑内。若在距离A或B点150米处出发，会到达A或B点从而落入坑内；若在距离4或B点超过150米处出发，会落入坑内。综上，取步长d=300米，在跑道上除大坑外，距离A、B点小于150米出发，满足要求。

方案二：令d=200米，则只要机器人从跑道上除大坑外，距离A、B点小于5o米任一处出发，就不会落入坑内。若在距离A或B点5o米处出发，会到达A或B点从而落入坑内；若在距离A或B点超过5o米处出发，会落入坑内。综上，取步长d=200米，在跑道上除大坑外，距离A、B点小于5o米出发，满足要求

方案一：令d=300米，则只要机器人从跑道上除大坑外，距离A、B点小于150米任一处出发，就不会落入坑内。若在距离A或B点150米处出发，会到达A或B点从而落入坑内；若在距离4或B点超过150米处出发，会落入坑内。综上，取步长d=300米，在跑道上除大坑外，距离A、B点小于150米出发，满足要求。

方案二：令d=200米，则只要机器人从跑道上除大坑外，距离A、B点小于5o米任一处出发，就不会落入坑内。若在距离A或B点5o米处出发，会到达A或B点从而落入坑内；若在距离A或B点超过5o米处出发，会落入坑内。综上，取步长d=200米，在跑道上除大坑外，距离A、B点小于5o米出发，满足要求

3．解：13+15−14−16=7我们把甲乙丙丁每管轮流开1小时水量增加13+15−14−16=760，虽然轮流开1小时水量增加760，但不能超过1−（16+14．解：第一次：甲：1−12第二次：甲：12+第三次：甲：23×第四次：甲：12+12第五次：甲：35×根据规律可知次数为奇数次的时候，两杯中的水一样多均为12，因为2021为奇数次所以倒2021次后，甲杯水是原来的12。

根据题意：把甲杯中的满杯水看作单位“1”，则第一次操作后：甲杯中的水－倒入乙杯中的水=1-12，所以甲、乙两杯一样多，都是12；

同理，第二次操作后：甲杯中剩下的水=第一次操作后甲杯中剩下的水+乙杯中第一次操作后剩下的水的13=23，乙杯中剩下的水=第一次操作后乙杯中的水×（1-13）=13；

第三次操作后：甲杯中剩下的水=第二次操作后甲杯中剩下的水×（1-14）=12，乙杯中剩下的水=第二次操作后乙杯中剩下的水+第二次操作后甲杯中剩下的水的145．解：3小时可注水：甲开1小时，乙开1小时，丙开1小时。111×41−4433+25=3325，甲每小时注入118，乙每小时注入112，丙每小时放120，一个周期（各开一小时）注入118+112−120=4456．解：第2粒黑珠记为0，以后依次将珠子记为1，2，3，…，29，其中0，9，10，19，20，29这6颗珠子是黑色。

蚱蜢跳到的珠子为0，7，14，21，28，35，42，49…。

其中35-30=5，42-30=12，49-30=19，再次落在标号为19的黑珠，即第7次跳到的。这是一个周期性的问题，蚱蜢每次跳过6粒珠子，则隔7个珠子，把珠子编上号码，将第2粒黑色珠子记为0，以后依次将珠子记为1、2、3、…、29．其中0、9、10、19、20、29的6粒珠子是黑色。蚱蜢跳过的珠子号码依次是0、7、14、21、28、35、42、49、…，因为周期是30，再根据周期性的知识解决即可。7．解：（2015+1）÷2

=2016÷2

=1008（个）

2015-1008=1007（个）；

同理，第二轮之后还剩下1007-504=503（个），第三轮之后还剩下503-252=251（个），……，第10轮还剩下3-2=1（个）；

最后留下的编号是1024的数字，1024÷5=204……4

答：最后剩下的数字是4。分析已知可知2015位数奇数位数字比偶数位数字多1，所以第一轮删去的数字个数=（2015+1）÷2=1008（个），则剩下2015-1008=1007（个）；同理，第二轮之后还剩下1007-504=503（个），第三轮之后还剩下503-252=251（个），……，第10轮之后还剩下3-2=1（个）；则留下的编号是1024的数字，1024÷5=204……4，即剩下一组中的第4个数字，因此最后剩下的数字是4，据此可以解答。8．解：42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，顺序分别是0、6、4、2；

30÷4=7……2，余数2对应的是数字6。答：它们的指针指着6。本题主要考查了周期问题的解答方法，关键在于找出两根指针的周期。根据题意可知，第一只钟的指针指的数字是按照0、2、4、6、8、10的顺序循环，而第二只钟的指针指的数字是按照0、3、6、2、5、1、4的顺序循环。这就说明第一只钟和第二只钟的公共周期是6乘以7等于42，而在这42分钟内，两根指针指向同一标数是3次，因此需要先计算出第30次指向同一标数时的数字是多少。9．解：解：从B点到A点的距离必须是38=0.375的最小倍数，它跳1次是0.375米，跳2次是0.75米，超过A点0.25米，跳3次超过B点0.125米，跳4次就到A点。由此可得，

1.5÷0.375=4（次）

1000÷4=250，

因为圆的周长=2πr=1米

当r扩大250倍时，

圆的周长=2π×250r=250（米）

蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它跳1次是0.375米，跳2次是0.75米，超过A点0.25米，跳3次超过B点0.125米，跳4次就到A点，从A点滑向B点，又从B点开始重复，也就是跳4次就到A点，那么1000次里面有几个4次，圆的半径就有扩大几倍，周长也扩大几倍。10．（1）解：根据题意，可知

（100-1）+2015÷100

=99+20.15

=119.15（分）

=11点59分9秒

答：第100只蜗牛到达终点的时间为11点59分9秒。（2）解：设a号蜗牛和b号蜗牛同时到达终点（a<b，且a、b均为1到100的自然数），则a号蜗牛的速度为a米/分，b号蜗牛的速度为b米/分。

根据题意可知，

他们出发的时间差等于他们走完全程所花时间的时间差，他们出发的时间差为b-a，他们走完全程所花时间的时间差为：2015a−2015b，

故有等式b-a=2015a−本题主要考查蜗牛的运动问题。首先，我们需要计算第100只蜗牛到达终点的时间，这需要我们确定第100只蜗牛的出发时间和它到达终点所需的时间。然后，我们需要找出哪些蜗牛同时到达终点，这需要我们建立一个等式来表示任意两只蜗牛同时到达终点的条件，并通过化简和求解这个等式来找出满足条件的蜗牛。11．解：这些珠子按8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、⋯⋯的次序串成一圈，那么每10粒珠子一个周期，我们可以推断出这30粒珠子数到第9和10、19和20、29和30、39和40、49和50粒⋯⋯的时候，会是黑珠子．刚才是从第10粒珠子开始跳，中间隔6粒，跳到第17粒，接下来是第24粒、31粒、38粒、45粒、52粒、59粒，一直跳到59粒的时候会是黑珠子，所以至少要跳7次．根据珠子排列的规律，先判断出30粒珠子中黑色珠子所处的位置。然后判断蚱蜢起跳的位置，第一次下落的位置，第二次下落的位置，这样依次确定每次下落的位置，这样就能确定落在黑珠子上跳的次数。12．（1）2（2）4解：（1）因为P0点距离B点4厘米，那么P0点距离C点2厘米，所以P0点、P1点与C点组成的三角形是等边三角形；由此可知图中所有的三角形都是等边三角形，所以P0点与P1点之间的距离为2厘米；

（2）按照这样的规律，P4、P5的位置如图，P6将与P0点重合；

2018÷6=371……2，余数是2，说明P2018将与P2点重合，所以P2018与点P1之间的距离为4厘米。

故答案为：（1）2；（2）4。

（1）首先应该判断出图中所有的三角形都是等腰直角三角形，然后确定每个落点与A、B、C点的距离，这样就能确定P0点与P1点之间的距离；

（2）根据这样的跳动规律，先判断出P4点的位置，然后分别判断P5点和P6点的位置，这样P6点与P0点重合。跳动6次为一个循环，然后用2018除以6求出商和余数，商就是循环的次数，余数就是新循环跳动的次数。余数是2，说明从起点处跳动2次，那么2018次就与P2点重合，然后判断P2018与点P1之间的距离即可。13．解：解：因为BC=10，BP0=4，知CP0=6

所以，CP1=6

因为AC=9

所以，AP2=AP1=3

因为，AB=8

所以，BP3=BP2=5

所以，CP4=CP3=5

所以，AP4=4

所以，AP5=AP4=4

所以，BP5=4

所以，BP6=BP5=4

此时，P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到跳点

2013÷6=335⋯3，

所以，P0和P2013之间的距离就是P0和P3之间的距离：P此题首先根据题意，分别计算电子跳蚤的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点，再根据这一规律确定第2013次落点的位置，从而确定P0与P14．解：3×2=6（节），2×2=4（节）

6+4=10（节）

（89-8）÷10

=81÷10

=8（组）……1（节）

答：最后两节课是周四上一节和后一周的周一上一节。根据题意：单数周周一、周三、周五，每天两节，则单数周上语文课3×2=6(节)；双数周，周二、周四，每天两节，则双数周上语文课2×2=4(节)；因此把单、双两周看成一个周期，即一个周期共上语文课6+4=10(节)；

因为开学第一周是从星期三开始上课，故第一、第二周共上语文课8节，则剩下89-8=81节，按照10节一周期计算：(89-8)÷10=8(组)……1（节），即不包含第一周和第二周则刚好是上了8个周期多1节课，故最后一节语文课是一个周期的第一节课即星期一的第一节课，倒数第二节是双周的星期四上的，据此可以解答。15．解：∵a∴每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变，设经过99次操作后，黑板上剩下的数为x，则

x化简得：x解得：x=100，

∵a+b+ab=(a+1)(b+1)-1

∴每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变，设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则x+1=（1+1）（16．解：第一次A还剩下1－12＝12；

第二次A有12＋12×13＝23；

第三次A还剩下23×（1－14）＝12；

第四次A有12＋12×15＝35；

第五次A还剩下35×（1－16）＝12；

……

根据题意，把开始A容器中的水看作单位“1”，第一次将A容器中水的12倒入B容器中，这时A还剩下1－12＝12；然后第二次将B容器里的水的13倒回A容器中，这时A有12＋12×13＝23；第三次再将A容器里的水的14倒入B容器中，这时A还剩下23×（1－14）＝12；然后第四次将B容器里的水的15倒回A容器中，这时A有12＋12×117．解：甲行完全程要42195÷145=291（分钟），且42195=3×5×29×97；

设乙x分钟时提速，则a×x+2a×（291-x）=42195，得a×（582-x）=42195=3×5×29×97；

因为a为小于400的整数，根据42195的质因数分解，a=97或a=97×3=291（舍），所以得a=97，x=147；

机器人以10分钟为一个周期行动，291÷10=29（周期）1（分钟），经过了完整的29个周期又1分钟，

所以有29×（5×b-5×c）+1×b=146b-145c=42195，且145＜b＜400，得b=290，c=1；

由于97＜290−12＜2×97＜290，且机器人每个周期中是先前进5分钟再倒退5分钟，所以乙和机器人间的距离的最大值只可能在145分钟或155分钟时取得。

当取145分钟时，（290×75-1×70）-97×145=7615（米）；当取155分钟时，（290×80-1×75）-（97×147+194×8）=7314（米）。

甲行完全程需要42195÷145=291（分钟），即乙和机器人也需要291分钟行完全程；又因为全程长42195=3×5×29×97米，且乙的速度和机器人的速度a，b，c都是小于400的正整数，根据42195的质因数分解可以求出a，b，c的值，最后再根据机器人每个周期中是先前进5分钟再倒退5分钟，所以乙和机器人间的距离最大值只可能是在145分钟或155分钟时取得，求出距离比较大小即可。18．解：∵x1∴x2=f（8）=4，x3=f（4）=2，x4=f（2）=1，x5…，x2从x2开始，每三个数循环一次，∴（2022-1）÷3=673.2，∴x2+x3+x4=7，x1+x2+x3+…+x2021+x2022=8+673×7+4+2=4725

答：x1+x2+x3+…+根据题目给出的规则可以发现从x2开始，数列x19．（1）1（2）解：△(△0)=0，