2026-2027学年小升初数学奥数培优（通 用版）-最佳方案问题（含答案）

/2026-2027学年小升初数学奥数培优（通用版）最佳方案问题1．市政府要求地铁集团过江檤道工程12个月完工，现由甲、乙两个工程队参与施工，已知甲队单独完成需要16个月，每月需要费用600万元：乙队单独完成需要24个月，每月需要费用400万元。由于前期工程路面较宽，可由甲，乙两队共同施工，随着工程的进行，路面变窄，两队再同时施工，对交通影响较大，为了減少对道路交通秩序的影响，后期只能一个工程队施工，工程总指挥结合实际情况现拟定两套工程方案：①先由甲、乙两个工程队合做m个月后，再由甲队单独施工，保证恰好按时完成。②先由甲、乙两个工程队合能n个月后，再由乙队单独施工，也保证恰好按时完成。（1）求两套方案中m和n的值。（2）通过计算，并结合施工费用及施工对交通的影响，你认为工程总指挥部应该选择哪种方案？2．甲地有89吨货物要运到乙地，大卡车每辆载运7吨，小卡车每辆载运4吨，大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟耗油9升。运完这些货物最少耗油多少升？3．某种商店原定价为每件20元，甲、乙、两、丁四个商店以不同的销售方式促销。甲店：“买一送一”；乙店：降低20%出售；丙店：七折出售；丁店：买够百元“四折”。（1）如果只买1个，到哪个店比较便宜，单价是多少元？（2）如果买的个数超过1个，最好到哪个商店？単价是多少元，此时至少要买几个？4．电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为(单位：分钟)12，17，8，18，23，30，14。每辆电车停开1分钟经济损失11元，现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独入作，要使经济损失降到最低，最少损失多少元？5．在1，2，3，4，5，6，7这七个数中取出若干个数求和。（1）会得到多少种不同的结果？（2）如果取出不同的数就视为是不同的情况，那一共有多少种情况？(至少取1个，至多取7个数)（3）在第二问的基础上，把每种情况得到的求和结果记录下来(如取3结果是3，取1，2结果也是3，两次结果都记录)，得到所有的记录数字中，从小到大第111个数字是多少？6．有82人春游，只准备了180瓶汽水，计划每3瓶，不足部分就地购买，目的地有-一商店，规定每5个空汽水瓶可换一瓶汽示．用最佳筹划法，至少一定要购买多少瓶汽水，才能达到每人喝到3瓶?7．如图所示，将一个大正三角形裁成4个小正三角形(第一次操作)，再将每个小正三角形裁成4个更小的正三角形(第二次操作)，依次迸行下去。第五次操作后得到一些小三角形，甲和乙在这些小三角形上涂色，每人每次在1-10个小三角形上涂色，谁最后涂完谁赢。现在甲先涂，请帮甲设置一个方案使得甲能赢。8．某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元：制成奶片销售，每吨可获取利润2000元.该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨.受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售牛奶：方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成。你认为哪种方案获利最多，为什么?9．某小学六年级一班和二班的同学去铁山坪春游，但只有一辆校车接送，一班的学生坐车从学校出发的同时，二班的学生开始从学校步行，车到途中某处，一班的学生下车步行，校车立即返回接二班的学生，车直接开往目的地。两个班的学生步行速度均为每小时5千米，汽车载学生的行驶速度为每小时50千米，空车行驶的速度为每小时60千米，要使两个班的学生同时到达目的地，一班的学生要步行全程的几分之几？10．某小学组织80名师生到35千米的某地去春游。为了锻炼学生意志，决定采用步行和乘车结合的方式前往，因此只准备了一辆载客40人的客车。已知步行速度4千米/小时，客车载人时的速度40千米/小时，空车时50千米/小时。若要在最短的时间内赶到目的地，最短要多少小时？11．一个商场打折销售，规定购买200元一下的商品不打折，200元到500元的商品全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（含500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次商品，分别用了134元和466元，那么一次购买的话可以再节省多少元？12．防治“非典”增强了人们的卫生意识，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中．哈尔滨市一个月从垃圾桶中回收废塑料按3300吨计．（1）若有大、小两种垃圾车，大垃圾车每次可运4.8吨，运费160元，小垃圾车每次可运3.0吨，运费105元，请你设计运输这些废塑料的方案，怎样运输最省钱？（2）如果1吨废塑料可炼汽油250升，1升汽油可供1辆小轿车行驶15千米，1辆出租车每天约行驶240千米，这些废塑料炼出的汽油可供1辆出租车行驶天？13．道桥公司要加快建设立交桥，要临时通知48名工人来上班，如果通知方式为打电话，而且每打一个电话要1分钟。（1）用“一传一”的方法，需要打多少个电话？共需多少分钟才能通知到所有工人？（2）如果经理先分别通知8个组长，组长再分别通知5个人，问共需打多少个电话？从经理打电话到所有员工接到通知，共需多少分钟？（3）如果经理先通知两名员工，他们再分别通知另外两个人，如此下去，至少要多少分钟通知到所有工人？（4）以上三种方式哪种用时最短，你还有更快捷的联络方案吗？请设计一下14．你需要在海滩上搜集400毫升的海水，但你手上的工具只有一把20厘米长，有刻度的尺子，一个空可乐罐（330毫升）一个形状不规则，可储存多于400毫升海水的容器．请问你会怎样搜集海水于容器内，令搜集的体积接近400毫升？（3种方法）15．有三个登山者要攀登一座荒无人烟的大山．出发时每人只能携带六天吃的食品，也就是说所带的食品只允许他们一起攀登三天后就得下山．为了能攀登得更高，三个人经过协商，提出了一个新的方法，每向上攀登一天就让一个人返回出发地，他剩下的食品留给其他同伴．这样就可以使他们中间的一个人攀登得更高，时间更长．请你想一想如果采用这种方法登山最高的那个人可以攀登几天．16．某车站在检票前若干分钟就开始排队，设每分钟来的旅客人数一样多，开始检票到等候的队伍消失，若同时开4个检票口需30分钟；同时开5个检票口需20分钟，为了使15分钟内检票队伍消失，需至少开多少检票口？17．有两个油壶，一个可以装3千克的油，一个可以装5千克的油，现在要从油桶里倒出4千克的油，如果不用称，只用这两个油壶，怎样倒出来？18．传话游戏：由一名同学传话给两名同学，两名同学再分别传话给两名同学，依此类推：每一次传话需要6秒，42秒后已经传了多少名同学？19．小红量水晚饭时，小红让妈妈给她烙饼。妈妈说：烙饼可以，但你必须量出我需要的1升水。妈妈拿出两只桶，一只桶能装水5升，一只桶能装水7升，用这两只桶量出1升的水。小红能量出来吗？她能吃到饼吗？

答案解析部分1．（1）解：116×12+124m=1（2）解：方案①需要资金12x600+6x400=9600万元，

方案②需要资金400x12+600x8=9600万元

即两种方案所需资金相同，由于方案①合作时间较短，对交通影响较小，所以应选择方案①。

答：选择方案①。（1）设总工程量为“1”，则甲工程队每个月完成116，乙工程队完成124，根据①②两种情况列出关于m、n的一元一次方程求解。

（2）由(1)求出①②两个方案的施工费用，得出该工程总指挥部应该选择哪种方案。2．解：大卡车每吨耗油：14÷7=2（升）

小卡车每吨耗油：9÷4=2.25（升）

89÷7=12（趟）……5（吨）

12-1=11（趟）

7+5=12（吨）

12÷4=3（趟）

11×14+3×9

=154+27

=181（升）

答：运完这些货物最少耗油181升。通过分析大卡车每吨耗油14÷7=2（升），小卡车每吨耗油：9÷4=2.25（升），可知大卡车运一趟比小卡车运一趟的耗油比要低，要耗油最少，那么大卡车要多运，小卡车要少运点，并且尽量不要出现车载不满的情况；货物总数÷大卡车每辆载运重量=大卡车需要运的趟数……剩余的货物重量，计算后发现剩余货物由小卡车运又不足2趟，所以大卡车少运一趟，这时刚好够小卡车运3趟，所以大卡车运11趟，小卡车运3趟；大卡车每趟耗油量×趟数+小卡车每趟耗油量×趟数=运完这些货物的耗油量，据此可以解答。3．（1）解：甲店单价：20元买的是2件乙店单价：20×（1-20%）=16（元）丙店单价：20×70%=14（元）丁店单价：一件不够一百元，不打折，价格为20元

所以，如果只买1个，到丙店比较便宜，单价为14元。（2）解：甲店“买一送一”相当于原价打五折，丁店买够100元打四折，①当购买个数超过1个，低于5个时：

甲店单价：20×50%=10（元）②当购买个数大于等于5个时：

甲店单价：10元，

丁店单价：20×40%=8（元）（1）理解每个商店的促销方式，计算出商品的单价，比较即可，要注意的是甲店20元是两个的价格，且最少买2个，而丁店至少要买够5个才能打折；

（2）因为丁店至少要买够5个才能打折，所以需要分情况讨论，①购买个数超过1个，低于5个，②购买个数大于等于5个；计算出购买多个商品的单价，并比较得出最便宜的商店和对应的单价即可。4．解：每个人应尽量先修复需短时间修好的车辆，且保证每人维修的时间应尽量相等，按以下的顺序开修：第一个人：8，14，18；第二个人：17，23；第三个工人：12，30；

损失为：8×11+(8+14)×11+(8+14+18)×11+17×11+(17+23)×11+12×11+(12+30)×11=1991(元)。

答：最少损失1991元。因为3个工人各自单独工作，工效又相同，因此，每人维修的时间应尽量相等。因为要求把损失减少到最低程度，所以，每个人应尽量先修复需短时间修好的车辆，这样，可以按以下的顺序开修：第一个人：8，14，18：第二个人：17，23；第三个工人：12，30。由此可以算出最低损失，问题即可得解。5．（1）解：最小为：1，最大为：(1+7)×7÷2=28，共28种。（2）解：分7种情况。

根据题目要求，我们可以分别计算从1个数到7个数的组合情况数，再将它们相加即可。

取出1个数的情况数：C(7，1)=7

取出2个数的情况数：C(7，2)=7×6÷2=21

取出3个数的情况数：C(7，3)=7×6×5÷3÷2÷1=35

取出4个数的情况数：C(7，4)=35

取出5个数的情况数：C(7，5)=21

取出6个数的情况数：C(7，6)=7

取出7个数的情况数：C(7，7)=1

将上述结果相加，得到总的组合情况数为：7+21+35+35+21+7+1=127（3）解：和为28~26各有1个，即1+2+3+4+5+6+7=28，2+3+4+5+6+7=27，1+3+4+5+6+7=26；

和为25~24各有2个，即1+2+4+5+6+7=25，3+4+5+6+7=25，1+2+3+5+6+7=24，2+4+5+6+7=24；

和为23有3个，即1+2+3+4+6+7=23，1+4+5+6+7=23，2+3+5+6+7=23；

和为22有4个，即1+2+3+4+5+7=22，2+3+4+6+7=22，1+3+5+6+7=22，4+5+6+7=22；

和为21有5个即1+2+3+4+5+6=21，2+3+4+5+7=21，1+3+4+6+7=21，1+2+5+6+7=21，3+5+6+7=21。

所以和为21~28的共有1×3+2×2+3+4+2=16个，

127-16=111

所以第111个数字是21

​​​​​​（1）求出和的最小值为1，最大值为28，1-28中间数都可以求到，所以和的结果有28种。（2）从取1个数到取7个数分类讨论出所有情况。（3）总共127种情况，由（1）最大的和为28，逆推发现和为28~26各有1个，和为25~24各有2个，和为23有3个，和为22有4个，和为21有5个，减掉这些即为第111个数字.6．解：180÷5=36（瓶）

36÷5=7（瓶）……1（瓶）

（7+1）÷5=1（瓶）……3（瓶）

还需要：82×3-180-36-7-1=22（瓶）

1+3=4（瓶）

买1瓶后，（4+1）÷5=1（瓶）

22-1=21（瓶）

21÷5=4（瓶）……1（瓶）

4×4+1=17（瓶）

答：至少一定要购买17瓶汽水。180个瓶子也可以换汽水，因此用180除以5求出可以换的瓶数；换的瓶子还可以换汽水，用第一次换的瓶数除以5求出第二次换的瓶数和余下的瓶数。第二次换的瓶数和余下的瓶子接着换汽水，按照这样的方法依次计算求出还需要购买的瓶数即可。7．解：4×4×4×4×4=1024（个）

1024÷（10+1）=93……1

甲先涂，由于余1，所以甲先涂1个，乙再涂n（1≤n≤10）个，接着甲涂走（11-n）个；

以后每次在乙涂后，甲所涂的个数均为11减去乙所涂数之差；

最后都得给甲剩下1～10个，

这样，甲就能最后涂剩下的所有小三角形。

答：甲先涂1个，之后乙涂a个，甲涂11-a个就能赢。第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到4×4=16个小正三角形；第三次操作后得到4×4×4=64个小正三角形；……继而第5次操作后得到4×4×4×4×4=1024个小三角形。首先理解题意，谁先涂谁并且获胜，甲要先涂，利用甲所涂小三角形的个数均为10减去乙所涂三角形个数解答此题即：甲先涂1个，以后当乙涂n个时，甲涂11-n个，据此即可解答问题。8．解：方案一：4×1×2000+(9-4)×500=10500元，方案二：设生产x天奶片，生产（4-x）天酸奶，

x+3(4-x)=9

解得x=1.5，4-1.5=2.5天，1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000元，12000元>10500元，所以应选方案二；

答：方案二获利最多。方案一：根据制成奶片每天可加工1吨，求出4天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；

方案二：设生产x天奶片，则生产(4-x)天酸奶，生产奶片加工的牛奶+生产酸奶加工的牛奶=总牛奶，列出方程求解，进而求出利润；

比较两个方案的利润，那个多就选哪个。9．解：设全程为1，一班步行走的路程为x，

（二班步行走的路程也应为x）则可得方程：

x5=1−x50+1−2x60

60x=6(1-x)+5(1-2x)

60x=6-6x+5-10x由于两个班的同学都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达公园，两个班的同学步行的路程一定要一样长．所以设全程为1，第一班步行走的路程为x，（二班步行的路程也应为x）则所用时间为x5，这段时间内车一直没有停，用时速50千米送到距离公园x千米处返回走的路程为1-x，用时速60千米所跑返回的路程为1-2x，由此据路程÷速度＝时间可得方程：x10．解：设甲组坐车行驶的距离为x千米，

根据题意，乙组步行了x10千米，甲组下车步行，汽车与乙组相向而行，相遇时乙组又步行了x15千米，

乙组坐车在终点追上甲组。此时乙组步行了x10+x15千米，甲组步行了35-x千米，

由于甲乙两组步行的距离相同，所以有方程：x10+x15=35-x，

解得x=30，

所以，甲组坐车用时30÷40=0.75（小时），首先，我们设甲组坐车行驶的距离为x千米，然后根据题目描述，建立方程来表示甲乙两组步行的距离相等的条件。最后，解方程求出x的值，再根据x的值计算出行程所需的总时间。11．解：200×90%=180（元）134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；500×90%=450（元）；466＞450；一次购买134元可以按照8折优惠；134×（1﹣80%）=134×20%=26.8（元）；答：一次购买可节省26.8元先分析销售的办法：（1）200元以下（包括200元）商品不打折，这种方法最多付款200元；（2）200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，这一阶段最少付款200×90%=180（元）；最多付款500×90%=450（元）；（3）如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出500元的部分打八折；这一阶段最少付款450元．134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；466元＞450元；它属于第（3）种情况，有500元打九折，付450元；剩下的打八折；所以加上134元后也属于此阶段优惠；把134元按照8折优惠的钱数就是可以节省的钱数．12．（1）解：略（2）51562.5根据需要运送的货物的吨数及大车与小车的载重量及运费进行设计方案是完成本题的关键。13．（1）48个；48分（2）48个；13分（3）7分钟（4）第三种注意本题为了便于研究规律，不要把经理和员工分隔开研究，这样有利于使问题简单化；通过本题我们可以总结出这种题的一般规律：有几分钟总人数就是几个2连乘（2的n次方）．14．解：方法一：测量出可乐罐的底面半径，求出底面积，用400除以可乐罐的底面积，求出400毫升水的高度，多次量取，使多次测量的高度和等于总高度即可；方法二：将可乐罐剪开，做成长方体，测量出长宽高，求出容积，多次取水，使总量等于400即可；方法三：先取一可乐罐的水，再取“（400﹣330）÷330×可乐罐的高度”数值高度的水即可．通过分析题目可以得到：方法一：测量出可乐罐的底面半径，求出底面积，用400除以可乐罐的底面积，求出400毫升水的高度，多次量取，使多次测量的高度和等于总高度即可；方法二：将可乐罐剪开，做成长方体，测量出长宽高，求出容积，多次取水，使总量等于400即可；方法三：先取一可乐罐的水，再取“（400﹣330）÷330×可乐罐的高度”数值高度的水即可．15．根据条件假设三个人为A、B、C，各自带了6天的食物登山，爬了第一天，三个人各自剩下5天的食物，这时让C返回出发地，C在返回的过程中需要带一天时间得带走1天的食物，则剩下4天的食物留给其他同伴，这时A、B身上的总共有5+5+4=14天的食物；继续登山，第二天，A、B身上剩下12天的食物，此时让B返回出发地，因为爬了两天，B在回去的过程中需要带走2天的食物，则A身上此时带的食物有12﹣2=10天；剩下A一个人继续登山，能再爬4天，4天后A身上的食物剩下6天，因为与B或C一起爬山时经过了两天，自己再单独爬了4天，则A总共爬了6天，而剩下6天的食物刚好让A返回出发地，所以说登山最高的那个人可以攀登6天．据此解答即可．解：设三个人为A、B、C，各自带了6天的食物登山，爬了第一天，三个人各自剩下5天的食物，此时让C返回出发地，C在返回的过程中需要带一天时间得带走1天的食物，则剩下4天的食物留给其他同伴，这时A、B身上的总共有5+5+4=14天的食物；继续登山，第二天，A、B身上剩下12天的食物，这时让B返回出发地，因为爬了两天，B在回去的过程中需要带走2天的食物，则A身上此时带的食物有12﹣2=10天；剩下A一个人继续登山，能再爬4天，4天后A身上的食物剩下6天，因为与B或C一起爬山时经过了两天，自己再单独爬了4天，则A总共爬了6天，而剩下6天的食物刚好让A返回出发地，所以说登山最高的那个人可以攀登6天．答：如果采用这种方法登山最高的那个人可以攀登6天．16．解：设1个检票口1分钟检票的人数为1份．因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30﹣20）分钟内新来旅客（