2026-2027学年小学奥数思维训练-几何（三）立体图形（经典透析）（含答案）

/小学奥数思维训练几何（三）立体图形（经典透析）一、填空题1．将一个棱长为整数的（单位：分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体．在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一面涂红色的有____块．原来长方体的体积是____立方分米．二、作图题2．左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面．请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边．3．现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽各为1cm，高为2cm的长方体，三个长宽各为1cm，高为3cm的长方体．下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形．试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积．三、解答题4．一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，下图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？5．如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．6．一个酒瓶里面深，底面内直径是，瓶里酒深．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深．酒瓶的容积是多少？(取3)7．如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线AC，BD相交0.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？8．一个3×3×3的正方体．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？9．如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？参考答案：1．

32

80【解析】【详解】解：12被3个整数整拆只有4种情况

1×1×12

1×2×6

1×3×4

2×2×3两面涂红的有28块，因为正方体长，宽，高都有4条，所以长宽高之和为284=7

符合条件的只有2+2+3=7

所以芯为2×2×3的长方体一面涂红的为（2×2+2×3+2×3）×2=32（个）原体积

（2+2）×（3+2）×（2+2）=80（立方分米）【点睛】芯是本题的关键,从芯入手．无色必为芯，根据已知12个芯，确定芯的大小，应用“角三，棱二，面唯一”计算出三面、二面、一面的数量．原体积为芯的长宽高各加2再相乘．这道题是第八届小学生数学报数学竞赛决赛的题．注意：染不到颜色的地方只能在里面哦！2．【解析】【分析】把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出．对照立体图形展开图上，线的位置，取点确定．【详解】解：（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见下图．（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：A—A，C—C，P在EF边上，Q在GF边上．边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上．（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线．需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面．连好线的图形如下图3．48（cm2）．【解析】【详解】解：用阳光照面的方法展开图形．立体图形的形状如下图所示．从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2；从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2；隐藏着的面积有2cm2．一共有18＋16＋12＋2＝48（cm2）．【点睛】本题考点是不规则立体图型表面积和空间想象力,十分经典,画法可先横后竖．表面积可根据上、下、左、右、前、后分别求，最后再作和．4．73个【解析】【详解】解法一：（用“容斥原理”来解）由正面图形抽出的小正方体有5×5=25个，由侧面图形抽出的小正方体有5×5=25个，由底面图形抽出的小正方体有4×5=20个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1×2+2×1+2×2=8个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有1×3+2×2=7个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1×2+1×1+2×2=7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，25+25+20-8-7-7+4=52，所以共抽出了52个小正方体．125-52=73，所以上图中剩下的小正方体有73个．注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事．但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．这里，化虚为实的思想方法很重要．解法二：（用“切片法”来解）可以从上到下切五层，得：从上到下五层，如图：或者从右到左五片，如图：

请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．

比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——

如果挖第二层：第（1）步，把中间这些位置的四块挖走如图：

第（2）步，把从右向左的两块成线地挖走．（请注意挖通的效果就是成线挖去），如图：第（3）步，把从前向后的一块（请注意跟第二层有关的只是一块！）挖成线！如图：【点睛】总结一下“切片法”：全面打洞（例如本题，五层一样）挖块成线（例如本题，在前一次的基层上，一条线一条线地挖）．这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！5．表面积785.12（平方厘米）,体积为668.64（立方厘米）．【解析】【分析】本题考点不规则图形的表面积及体积．大正方形减去右边图形就是我们要求的体积．打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面．这道题是人大附中分班考试题目．【详解】解：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8．内侧表面积为：16×4×3+2×（4×4-×22）+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16．总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12（平方厘米）．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可．挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2×π×22×3=192+64+24π=256+24π．所求几何体体积为：10×10×10-（256+24π）=668.64（立方厘米）．6．1500【解析】【详解】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深，因为酒瓶深，这样所剩空间为高的圆柱，再加上原来高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：瓶中剩余空间的体积酒瓶容积：7．540【解析】【分析】这个立体图形可看为两个圆锥削掉上半部然后叠加，但还要减去两个小圆锥，才是阴影部分扫出的立体图形的真实体积．可以考虑多种方法，比如应用容斥原理或者加减的思想都是不错的选择．【详解】解：设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是V，V等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积．即：（立方厘米），8．22个【解析】【分析】涂色与图形结合，首先确定染色范围．【详解】解：一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）．因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格．其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）．因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有5×2+4×2+2×2=22（个）．【点睛】单面最多只能为五个，与其对称的面也可为五个，与其相邻的面最多为四个，相邻面的对称面也为四个，剩下的两个对称面每面最多为2个，总计22个．9．18块【解析】【详解】解：本题还原的技巧在于反用“切片法”，根据俯视图，最底