2027新高考数学复习53A版3-10.2　离散型随机变量及其分布列、均值、方差

10.2离散型随机变量及其分布列、均值、方差考点离散型随机变量及其分布列、均值、方差五年高考1.★★★(2025全国一卷,14,5分)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)=.

答案612.★★★(2021浙江,15,6分)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=,E(ξ)=答案1;83.★★★(2022全国甲理,19,12分)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.解析(1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件Ai(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事件E.则P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=12×25×45+12×25×∴甲学校获得冠军的概率为35(2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件Bj(j=1,2,3).X的所有可能取值为0,10,20,30.则P(X=0)=P(B1B2B3)=1P(X=10)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3)+P(B1B2B3)=12×P(X=20)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3)+P(B1B2B3)=12×35×45+12P(X=30)=P(B1B2B3)=12×35×∴X的分布列为X0102030P411173∴E(X)=0×425+10×1125+20×1750+30×4.★★★(2021新高考Ⅰ,18,12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.解析(1)由题易知X的所有可能取值为0,20,100,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.假设小明先回答B类问题,其累计得分为Y,则Y的所有可能取值为0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,所以E(Y)>E(X),所以小明应选择先回答B类问题.5.★★★(2022北京,18,13分)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望EX;(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)解析(1)甲以往参加的10次比赛中,有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准,则甲得优秀奖的概率P=410(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,设甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件A,B,C,则A,B,C,A,B,C相互独立,且P(A)=25,P(B)=P(C)=12,P(A)=1-P(A)=1-25=35,P(B)=P则P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=35P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=25×12×12P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=25×12×12+25×12P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25×12×故E(X)=0×320+1×25+2×720+3(3)丙.详解:乙夺冠的概率为P(乙)=16×910×34+16×45×12+16×3丙夺冠的概率为P(丙)=14+14×甲夺冠的概率为P(甲)=1-512P(丙)最大,所以丙夺冠的概率最大.6.★★★★(2024新课标Ⅱ,18,17分)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(2)假设0<p<q.(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?解析(1)由题意知甲参加第一阶段比赛与乙参加第二阶段比赛是相互独立事件.因此甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为[1-(1-p)3][1-(1-q)3]=[1-(1-0.4)3]·[1-(1-0.5)3]=0.686.(2)(i)设由甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为15分的概率为P1,乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为15分的概率为P2,则P1=[1-(1-p)3]q3,P2=[1-(1-q)3]p3.则P1-P2=[1-(1-p)3]q3-[1-(1-q)3]·p3=3pq(q-p)(q+p-pq),又0<p<q≤1,所以q-p>0,p+q-pq=p(1-q)+q>0,所以P1>P2,则应由甲参加第一阶段比赛,这样才能使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大.(ii)设甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为X,则X的可能取值为0,5,10,15.则P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3,P(X=5)=[1-(1-p)3]·C31q(1-q)P(X=10)=[1-(1-p)3]·C32q2(1-P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,所以由甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩的数学期望为E(X)=0+5[1-(1-p)3]·C31q·(1-q)2+10[1-(1-p)3]·C32q2(1-q)+15[1-(1-p)3=15q(3p-3p2+p3).设乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为Y,同理可得乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩的数学期望E(Y)=15p(3q-3q2+q3).E(X)-E(Y)=15q(3p-3p2+p3)-15p(3q-3q2+q3)=15pq(q-p)(3-p-q),因为0<p<q≤1,所以q-p>0,3-p-q>0,所以E(X)>E(Y).则由甲参加第一阶段比赛时,该队比赛成绩的数学期望最大.7.★★★★★(跨学科·生物)(2021新高考Ⅱ,21,12分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.解析(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)证法一由题意得p0+p1+p2+p3=1,E(X)=p1+2p2+3p3,因为p0+p1x+p2x2+p3x3=x,所以p0+p2x2+p3x3-(1-p1)x=0,即p0+p2x2+p3x3-(p0+p2+p3)x=0,即(x-1)[p3x2+(p2+p3)x-p0]=0,令f(x)=p3x2+(p2+p3)x-p0,则f(x)图象的对称轴为直线x=-p2+p32p3<0,且f(f(1)=2p3+p2-p0=p1+2p2+3p3-1=E(X)-1.当E(X)≤1时,f(1)≤0,f(x)=0的正实根x0≥1,则原方程的最小正实根p=1;当E(X)>1时,f(1)>0,f(x)=0的正实根x0<1,则原方程的最小正实根p=x0<1.证法二设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,由题易知p3+p2+p1+p0=1,故f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0,f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3),E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3,若E(X)≤1,则p1+2p2+3p3≤1,故p2+2p3≤p0,因为f'(0)=-(p2+p0+p3)<0,f'(1)=p2+2p3-p0≤0,所以f'(x)有两个不同零点x1,x2,且x1<0<1≤x2,当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,若x2=1,因为f(x)在(x2,+∞)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,且f(1)=0,所以在(0,+∞)上,f(x)≥f(x2)=f(1)=0,故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,即p=1,故当E(x)≤1时,p=1.若x2>1,因为f(1)=0且f(x)在(0,x2)上为减函数,故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根.综上,若E(X)≤1,则p=1.若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,则p2+2p3>p0,此时f'(0)=-(p2+p0+p3)<0,f'(1)=p2+2p3-p0>0,故f'(x)有两个不同零点x3,x4且x3<0<x4<1,故f(x)在(-∞,x3),(x4,+∞)上为增函数,在(x3,x4)上为减函数,而f(1)=0,故f(x4)<0,又f(0)=p0>0,所以f(x)在(0,x4)上存在一个零点x0,且x0<1,所以x0为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正根,即p<1,故当E(X)>1时,p<1.(3)意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后会临近灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能.三年模拟1.★★(2025届甘肃金昌金川高级中学二模,6)已知随机变量X的分布列如下:X123Pm2-2m12m20.4则数学期望E(X)=()A.0.8B.1.4C.2m-3D.2答案D2.★★(2025届广东适应性测试,3)已知随机变量X的分布列如表所示:X-101P1mn若P(X≤0)=12,且2X+Y=1,则D(Y)=()A.29答案C3.★★(2026届湖北部分重点中学联考,3)设0<p<1,随机变量X的分布列如下表:X012P11−pp则当p在区间(0,1)内增大时,()A.E(X)减小B.E(X)先减小后增大C.E(X)增大D.E(X)先增大后减小答案C4.★★★(2025届四川第二次大数据联考,6)若随机变量X的分布列如下表,表中数列{pn}是公比为2的等比数列,则E(X)=()X123Pp1p2p3A.11答案D5.★★★(2026届河南部分学校质检,7)不透明袋子里装有大小、材质完全相同的3个白球、8个黑球,现从中每次随机不放回地抽取1个小球,直到选中第1个黑球为止,则选取次数X的数学期望E(X)=()A.5答案B6.★★★(2026届广东综合能力测试一,8)一个盒子里有3个相同的球,分别标有数字2,3,4,若每次不放回地从盒子中随机取出一个球,直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为X,则E(X)=()A.223答案A7.★★★(2026届广东深圳红山中学等期中联考,14)一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个,其中红球2个,蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球,直到取完所有红球为止.设取球次数为X,则X的数学期望E(X)=.

答案48.★★★★(2026届安徽六校测试,14)一个袋中装有形状、大小完全相同的6个球,其中2个红球,4个白球.从袋中有放回地取球,每次随机取1个记下颜色后放回,直到取出3次红球停止,记X为4次之内(含4次)取到红球的次数,则X的数学期望E(X)=.

答案1079.★★★(2026届福建三校协作体联考,15)在某次篮球团体比赛中,甲、乙两支球队进入总决赛,比赛采用5局3胜制,只要有一支球队先获胜3场,比赛即结束.在第一场比赛中甲队获胜,已知甲队第2,3,4场获胜的概率为35,第5场获胜的概率为25,(1)求甲队以3∶1获胜的概率;(2)设X表示决出冠军时比赛的场数,求X的分布列与数学期望.解析(1)设A=“甲队以3∶1获胜”,则甲队必在第四场获胜,第2,3场中胜1场负1场,则P(A)=C21×35×2(2)根据题意,X可取3,4,5,当X=3时,即甲再连胜2场,所以P(X=3)=35当X=4时,有2种情况,甲胜或乙胜,所以P(X=4)=25当X=5时,有2种情况,甲胜或乙胜,所以P(X=5)=C31×35×252×25+所以X的分布列为X345P94436所以E(X)=3×925+4×44125+5×10.★★★★(2026届江苏连云港联考,18)在两个大小相同、距离不同的区域内进行投掷沙包的比赛,每人至多投3次.具体比赛规则如下:①在距离较远的区域内投一次特制沙包,投进得5分,没投进不得分;②在距离较近的区域内投两次普通沙包,每投进一次得3分,没投进不得分(若可以投两次普通沙包,则连续投两次普通沙