2025-2026年山西省北师大版高二数学下册第8章课后练习题

2025-2026年山西省北师大版高二数学下册第8章课后练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在北师大版高二数学下册第8章中，关于等差数列{a_n}的前n项和公式S_n=a_1+(n-1)d•n/2，下列说法正确的是（）A.该公式仅适用于公差d不为0的等差数列B.当n=1时，公式退化为S_1=a_1C.公式推导基于等差数列的倒序相加法D.公式的适用范围仅限于有限项的等差数列参考答案：B解析：选项A错误，无论公差d是否为0，公式均适用（d=0时S_n=na_1）；选项B正确，当n=1时，S_1=a_1+(1-1)d•1/2=a_1；选项C错误，公式推导基于等差数列正序与倒序相加法；选项D错误，公式适用于任意有限项等差数列。2.已知等比数列{b_n}的公比为q，首项为b_1，若b_3+b_5=120，b_2•b_4=64，则该数列的前6项和S_6的值为（）A.64B.192C.256D.384参考答案：C解析：由b_3+b_5=120可得b_1q^2+b_1q^4=120，由b_2•b_4=b_1q•b_1q^3=64可得b_1^2q^4=64，联立解得b_1=2，q=2。因此S_6=2(1-2^6)/(1-2)=256。3.在北师大版高二数学下册第8章中，数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+c_(n-2)（n≥3），且c_1=1，c_2=1，则c_10的值为（）A.34B.55C.89D.144参考答案：B解析：该数列是斐波那契数列，c_3=2，c_4=3，…，依次计算至c_10=55。4.已知数列{d_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式d_n为（）A.6n-5B.6n-3C.3n-2D.6n-2参考答案：A解析：当n=1时，d_1=S_1=1；当n≥2时，d_n=S_n-S_(n-1)=6n-5。验证n=1时成立，故d_n=6n-5。5.在北师大版高二数学下册第8章中，关于数列极限的定义，下列说法正确的是（）A.若数列{e_n}收敛于e，则存在N，当n>N时，|e_n-e|<1B.数列极限存在当且仅当数列有界C.若数列{e_n}单调递增且有界，则其极限必为1D.数列极限与数列项的排列顺序有关参考答案：A解析：选项A正确，这是数列极限ε-N定义的常见表述；选项B错误，有界数列不一定收敛（如振荡有界数列）；选项C错误，单调递增有界数列极限为最大值，未必为1；选项D错误，数列极限与项的排列无关。6.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_(n-1)+f_(n-1)/2（n≥2），则该数列的前n项和S_n的表达式为（）A.n•2^nB.(n+1)•2^(n-1)C.2^n-nD.n•2^(n+1)参考答案：B解析：f_n=2f_(n-1)/3，数列是等比数列，公比q=2/3，首项f_1=1。S_n=(1-(2/3)^n)/(1-2/3)=(n+1)•2^(n-1)。7.在北师大版高二数学下册第8章中，关于数列与函数的关系，下列说法正确的是（）A.任何数列都可以看作是定义域为N的函数B.函数f(x)在整数点x=n处的值构成数列{a_n}C.数列极限的存在性取决于其对应函数的连续性D.数列的通项公式一定是初等函数形式参考答案：B解析：选项A错误，数列是定义域为N的函数；选项B正确，这是数列与函数的对应关系；选项C错误，数列极限与函数连续性无关；选项D错误，数列通项公式可以是分段或递归形式。8.已知数列{g_n}的前n项和S_n=n^3，则该数列的通项公式d_n为（）A.3n^2B.3n^2-3n+1C.3n^2+3n+1D.6n-3参考答案：B解析：当n=1时，g_1=S_1=1；当n≥2时，g_n=S_n-S_(n-1)=3n^2-3(n-1)^2=6n-3。验证n=1时g_1=1，故d_n=3n^2-3n+1。9.在北师大版高二数学下册第8章中，关于数列的递推关系，下列说法正确的是（）A.递推数列的通项公式一定可以显式表示B.递推关系a_n=f(a_(n-1))中，若f(x)是线性函数，则数列必为等差数列C.递推数列的极限存在当且仅当相邻项差趋于0D.递推关系a_n=a_(n-1)+c（c为常数）的通项公式为a_n=a_1+nc参考答案：B解析：选项A错误，如斐波那契数列无法显式表示；选项B正确，线性递推关系必为等差数列；选项C错误，差趋于0仅必要非充分条件；选项D错误，通项公式为a_n=a_1+(n-1)c。10.已知数列{h_n}满足h_n=2h_(n-1)+1（n≥2），且h_1=1，则该数列的前n项和T_n的表达式为（）A.2^n-nB.2^n+n-1C.n•2^nD.2^n+n参考答案：B解析：h_n=2^n-1，T_n=2^1+2^2+…+2^n-n=(2^(n+1)-2)/1-n=2^n+n-1。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前10项和为100，公差为2，则首项a_1的值为________。参考答案：8解析：S_10=10a_1+90d=100，解得a_1=8。2.已知等比数列{b_n}的公比为q，首项为b_1，若b_4=16，b_6=64，则q的值为________。参考答案：2解析：b_6=b_4q^2，q^2=4，q=2。3.在北师大版高二数学下册第8章中，数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+2n（n≥2），且c_1=1，则c_5的值为________。参考答案：31解析：c_2=3，c_3=5，c_4=9，c_5=13。4.已知数列{d_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列的通项公式d_n的表达式为________。参考答案：4n-5（n≥2）；1（n=1）解析：d_n=S_n-S_(n-1)=4n-5，验证n=1时成立。5.在北师大版高二数学下册第8章中，数列{e_n}满足e_n=e_(n-1)/2（n≥2），且e_1=32，则该数列的前6项和的表达式为________。参考答案：31-2^(n-6)解析：数列是等比数列，S_6=32(1-(1/2)^6)/(1-1/2)=31-2^(n-6)。6.已知数列{f_n}满足f_n=f_(n-1)+f_(n-2)（n≥3），且f_1=1，f_2=2，则f_10的值为________。参考答案：34解析：f_3=3，f_4=5，…，f_10=34。7.在北师大版高二数学下册第8章中，关于数列极限的ε-N定义，若数列{g_n}收敛于5，则存在N，当n>N时，|g_n-5|<________。参考答案：ε解析：ε为任意正数，ε-N定义要求|g_n-5|<ε。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的通项公式h_n的表达式为________。参考答案：2n（n≥2）；2（n=1）解析：h_n=T_n-T_(n-1)=2n，验证n=1时成立。9.在北师大版高二数学下册第8章中，数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)+n（n≥2），且a_1=1，则该数列的前n项和的表达式为________。参考答案：n(n+1)/2解析：a_n=n(n+1)/2，S_n=n(n+1)/2。10.已知数列{b_n}满足b_n=b_(n-1)-3（n≥2），且b_1=10，则该数列的通项公式b_n的表达式为________。参考答案：13-3n解析：数列是等差数列，b_n=13-3n。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数。（×）解析：S_n=na_1+(n(n-1)/2)d，当d=0时是一次函数。2.若数列{a_n}收敛，则其任意子数列也收敛且极限相同。（√）解析：这是数列收敛的基本性质。3.等比数列的公比q可以为0。（×）解析：q=0时数列所有项为0，退化为一项数列。4.数列极限的存在性与数列项的排列顺序有关。（×）解析：数列极限与项的排列无关。5.递推关系a_n=a_(n-1)+c（c为常数）的通项公式为a_n=a_1+nc。（√）解析：这是等差数列的通项公式推导。6.数列{a_n}收敛于A，则存在N，当n>N时，a_n=A。（×）解析：应为|a_n-A|<ε。7.数列的通项公式一定是显式表达式。（×）解析：如斐波那契数列是递归形式。8.数列极限与数列项的排列顺序有关。（×）解析：数列极限与项的排列无关。9.等差数列的任意连续三项之积构成等比数列。（×）解析：如1,2,3，乘积不构成等比数列。10.数列{a_n}单调递增且有界，则其极限必为1。（×）解析：极限为最大值，未必为1。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.在北师大版高二数学下册第8章中，证明等差数列的前n项和S_n=na_1+(n(n-1)/2)d的公式。解析：设等差数列{a_n}的前n项为a_1,a_1+d,a_1+2d,…,a_1+(n-1)d。S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+…+(a_1+(n-1)d)。将数列倒序相加，两式相加得2S_n=n(2a_1+(n-1)d)，故S_n=na_1+(n(n-1)/2)d。2.已知数列{b_n}满足b_n=b_(n-1)+b_(n-2)（n≥3），且b_1=1，b_2=1，求该数列的通项公式。解析：该数列是斐波那契数列，设通项为f_n，特征方程为x^2-x-1=0，解得x=(1±√5)/2。f_n=C_1((1+√5)/2)^n+C_2((1-√5)/2)^n。由f_1=1,f_2=1得C_1=C_2=1/√5，故f_n=(1/√5)[((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n]。3.在北师大版高二数学下册第8章中，解释数列极限ε-N定义的几何意义。解析：数列{a_n}收敛于A，ε-N定义的几何意义是：存在正整数N，当n>N时，数列项a_n全部落在区间(A-ε,A+ε)内，即数列项在数轴上无限接近A。4.已知数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的通项公式。解析：当n=1时，c_1=T_1=2；当n≥2时，c_n=T_n-T_(n-1)=2n。验证n=1时成立，故c_n=2n。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.在北师大版高二数学下册第8章中，某工厂生产产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量及前10年的总产量。解析：设产量为等差数列{a_n}，a_1=1000，d=200。第10年产量a_10=1000+9×200=2800件；前10年总产量S_10=10×1000+(10×9)/2×200=15000件。2.已知数列{b_n}满足b_n=b_(n-1)-3（n≥2），且b_1=15，求该数列的前6项和。解析：数列是等差数列，公差d=-3，首项b_1=15。b_n=15-3(n-1)=18-3n，前6项和S_6=6×15+(6×5)/2×(-3)=27。3.在北师大版高二数学下册第8章中，某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解析：设人口为等比数列{a_n}，a_1=100，q=1.05。2025年人口a_5=100×1.05^5≈127.63万。4.已知数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+n（n≥2），且c_1=2，求该数列的通项公式及前5项和。解析：c_n=2+(3-1)+(4-2)+…+(n-(n-1))=2+1+2+…+(n-1)=2+(n(n-1)/2)/2=2+(n^2-n)/4。前5项和T_5=2+3+4+5+6=20。【标准答