2027版53B版新高考版数学总复习分层训练4.2　三角函数的图象与性质

专题四三角函数与解三角形4.2三角函数的图象与性质目录考点1三角函数的图象及其变换考点2三角函数的性质及其应用五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练综合提升练考点1三角函数的图象及其变换五年高考·考点练1.★★(2021全国乙理,7,5分)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的

倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移

个单位长度,得到函数y=sin

的图象,则f(x)=()A.sin

B.sin

C.sin

D.sin

B

解析将函数y=sin

的图象向左平移

个单位长度可得函数y=sin

=sin

的图象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=f(x)的图象,则f(x)=sin

,故选B.思路分析2.★★(2024新课标Ⅰ,7,5分)当x∈[0,2π]时,曲线y=sinx与y=2sin

的交点个数为()A.3

B.4

C.6

D.8

C

解析在同一直角坐标系中,画出y=sinx(x∈[0,2π])与y=2sin

(x∈[0,2π])的图象,由图象可知,两曲线有6个交点.故选C.

3.★★★(2023全国甲,文12,理10,5分)函数y=f(x)的图象由函数y=cos

的图象向左平移

个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=

x-

的交点个数为

()A.1

B.2

C.3

D.4

C

解析函数y=cos

的图象向左平移

个单位长度得y=cos

=cos

=-sin2x的图象,即f(x)=-sin2x的图象,画出函数y=f(x)与y=

x-

的图象如图,可得它们有3个交点,故选C.4.★★★(2023新课标Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=

与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=

,则f(π)=_________.

- 

解析令sin(ωx+φ)=

,得ωx+φ=

+2kπ,k∈Z或ωx+φ=

+2kπ,k∈Z.由题意可知,

-

=

,k∈Z,则

-

=

,∴ω=4,∴f(x)=sin(4x+φ),又f(x)的图象过

,∴f

=sin

=0,结合五点作图法得

+φ=2kπ,k∈Z,结合f(0)<0不妨取φ=-

,∴f(x)=sin

,∴f(π)=sin

=-

.考点2三角函数的性质及其应用1.★★(2021全国乙文,4,5分)函数f(x)=sin

+cos

的最小正周期和最大值分别是

()A.3π和

B.3π和2

C.6π和

D.6π和2

C解析

f(x)=sin

+cos

=

=

sin

,所以最小正周期T=

=6π,f(x)max=

,故选C.2.★★(2025全国一卷,4,5分)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan

的图象的一个对称中心,则a的最小值为

()A.

B.

C.

D.

B

解析由题意得,a-

=

(k∈Z),故a=

+

(k∈Z).又a>0,则k=0时,amin=

.故选B.3.★★★(2025天津,8,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)在

上单调递增,直线x=

为一条对称轴,

为一个对称中心,则在区间

内,f(x)的最小值为

()A.-

B.-

C.-1

D.0

A

解析由题意得

-

=

≤

,

-

=

=(2k+1)·

(k∈N),所以T=π,则ω=

=2,由题意,得sin

2×

+φ

=1,则φ=2k1π+

(k1∈Z),又-π<φ<π,故φ=

,则函数f(x)=sin

,因为x∈

,所以

≤2x+

≤

,由正弦函数的图象及性质可知,f(x)min=-

,故选A.4.★★★(2023全国乙,文10,理6,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间

单调递增,直线x=

和x=

为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f

=

()A.-

B.-

C.

D.

D

解析∵f(x)=sin(ωx+φ)在区间

单调递增,且直线x=

和x=

为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,∴f(x)在x=

和x=

处分别取得最小值和最大值,∴

=

-

=

,T=π,得|ω|=2,不妨取ω=2,由f

=sin

=1,得

+φ=

+2kπ,k∈Z,得φ=-

+2kπ,k∈Z.取k=0,得φ=-

,从而f

=sin

=sin

=

,故选D.5.★★★(2022新高考Ⅰ,6,5分)记函数f(x)=sin

+b(ω>0)的最小正周期为T.若

<T<π,且y=f(x)的图象关于点

中心对称,则f

=

()A.1

B.

C.

D.3

A

解析∵

<T<π,ω>0,∴

<

<π,∴2<ω<3①.又y=f(x)的图象关于点

中心对称,∴

从而ω=

k-

(k∈Z)②,由①②知ω=

(取k=4),∴f(x)=sin

+2,∴f

=sin

π+2=1.6.★★★(多选)(2024新课标Ⅱ,9,6分)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin

,下列说法中正确的有

()A.f(x)与g(x)有相同的零点B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

BC

解析令f(x)=0,得sin2x=0,∴2x=kπ(k∈Z),解得x=

(k∈Z).令g(x)=0,得sin

=0,∴2x-

=k1π(k1∈Z),解得x=

+

(k1∈Z).因此f(x)与g(x)没有相同的零点,选项A错误.f(x)与g(x)的最大值都是1,选项B正确.f(x)与g(x)的最小正周期都是T=

=π,选项C正确.由2x=k2π+

(k2∈Z)得x=

+

(k2∈Z),∴f(x)图象的对称轴方程为x=

+

(k2∈Z).由2x-

=k3π+

(k3∈Z)得x=

+

(k3∈Z),∴g(x)图象的对称轴方程为x=

+

(k3∈Z).因此,选项D错误,故选BC.小题速解由f(x),g(x)的图象知:A,D错误,B,C正确.

7.★★★(多选)(2022新高考Ⅱ,9,5分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点

中心对称,则

()A.f(x)在区间

单调递减B.f(x)在区间

有两个极值点C.直线x=

是曲线y=f(x)的对称轴D.直线y=

-x是曲线y=f(x)的切线

AD

解析因为f(x)的图象关于点

对称,所以sin

=0,即

+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-

,k∈Z.结合0<φ<π,得φ=

,所以f(x)=sin

.对于A,令

+2kπ≤2x+

≤

+2kπ,k∈Z,解得-

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为

-

+kπ,

+kπ

,k∈Z.显然

⫋

,k∈Z,故A正确.对于B,f'(x)=2cos

,令f'(x)=0,得2x+

=kπ+

,k∈Z,即x=

-

,k∈Z.又因为x∈

,所以x=

,故f(x)在区间

只有一个极值点,故B错误.对于C,令2x+

=

+kπ,k∈Z,解得x=-

+

,k∈Z,故C错误.对于D,结合B,令2cos

=-1,得2x+

=

+2kπ,k∈Z或2x+

=

+2kπ,k∈Z,解得x=kπ,k∈Z或x=

+kπ,k∈Z,故其中一个切点为

,则曲线y=f(x)在该点处的切线方程为y-

=-x,即y=

-x,故D正确.故选AD.一题多解对于B,C选项,当x∈

时,2x+

∈

,此时f(x)只有一个极值点,故B错误;f

=sin

=0,故直线x=

不是曲线y=f(x)的对称轴,故C错误.8.★★(2026全国Ⅰ卷,13,5分)已知f(x)=2sin(ax+θ)(a∈Z,0≤θ<2π)是偶函数,f(x)在区间

单调递增.则θ=___________,f

=___________.

1

解析因为f(x)为偶函数,0≤θ<2π,所以θ=

或θ=

,所以f(x)=2sin

ax+

=

2cosax或f(x)=2sin

=-2cosax,又因为f(x)在

单调递增,所以θ=

,f(x)=-2cosax(a∈Z,且a≠0),由题意知

≥

,即

≥

,即|a|≤2,又a∈Z,所以a=±1,±2,所以f

=1.9.★★★(2022全国乙理,15,5分)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若

f(T)=

,x=

为f(x)的零点,则ω的最小值为___________.

3

解析∵T=

,ω>0,f(T)=

,∴cos

=

,∴cosφ=

,∵0<φ<π,∴φ=

,∴f(x)=cos

,又f

=0,∴cos

=0,∴

+

=kπ+

(k∈Z),∴

=k+

(k∈Z),∴ω=9k+3(k∈Z).∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值3.10.★★★★(2021全国甲理,16,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则

满足条件

f(x)-f

-

f(x)-f

>0的最小正整数x为___________.

2

解析第一步:由图象确定周期,代入公式得ω的值.设函数f(x)的最小正周期为T,则

T=

-

=

,解得T=π,则

=π,解得|ω|=2,不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).第二步:由零点确定φ的值,从而得函数解析式.将

代入得2cos

=0,则

+φ=

+2kπ,k∈Z,∴φ=-

+2kπ,k∈Z,取φ=-

,∴f(x)=2cos

,第三步:化简题目中的不等式.∴f

=2cos

=2cos

=1,f

=2cos

=2cos

=0,∴不等式可化为(f(x)-1)f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.第四步:解三角不等式,求解满足条件的x值.由f(x)>1,得2cos

>1,即cos

>

,①由f(x)<0,得cos

<0,②由①得-

+2kπ<2x-

<

+2kπ,k∈Z,解得-

+kπ<x<

+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=1,此时,

<x<

;由②得

+2kπ<2x-

<

+2kπ,k∈Z,解得

+kπ<x<

+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=0,此时,

<x<

.综上,最小正整数x为2.11.★★★(2025全国二卷,15,13分)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=

.(1)求φ;(2)设函数g(x)=f(x)+f

,求g(x)的值域和单调区间.解析

(1)由f(0)=

得cosφ=

,∵φ∈[0,π),∴φ=

.(2)由(1)得f(x)=cos

,所以g(x)=cos

+cos

=cos

+cos2x=

cos2x-

sin2x+cos2x=

cos2x-

sin2x=

cos

,所以g(x)的值域为[-

,

].令2kπ≤2x+

≤2kπ+π,k∈Z,解得kπ-

≤x≤kπ+

π,k∈Z,所以g(x)的单调递减区间为

(k∈Z);令2kπ-π≤2x+

≤2kπ,k∈Z,解得kπ-

π≤x≤kπ-

,k∈Z,所以g(x)的单调递增区间为

(k∈Z).一题多解

(2)g(x)=

sin

=-

sin

,其值域为[-

,

],令2kπ+

≤2x-

≤2kπ+

π,k∈Z,得kπ+

≤x≤kπ+

π,所以g(x)的单调递增区间为

(k∈Z),令2kπ-

≤2x-

≤2kπ+

,k∈Z,得kπ-

≤x≤kπ+

π,所以g(x)的单调递减区间为

(k∈Z).三年模拟·限时练基础强化练

限时40分钟1.(2026浙江绍兴适应性考试)将函数y=sin2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y

=cos2x的图象,则φ可以是

()A.

B.

C.

D.π

A

解析将函数y=sin2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y=sin[2(x+φ)]=sin(2x+2φ)的图象.由题意得2φ=2kπ+

,k∈Z,则φ=kπ+

,k∈Z,故选A.2.(2026河南郑州二模)设x是斜三角形的一个内角,则不等式2+cos2x≤

sinx的解集为

()A.

∪

B.

C.

∪

D.

C

解析由2+cos2x≤

sinx得2+1-2sin2x≤

sinx,即2sin2x+

sinx-3≥0,解得sinx≥

或sinx≤-

(舍去),因为x是斜三角形的一个内角,所以原不等式的解集为

∪

.故选C.3.(2026江西南昌一模)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f

=

()

A.-1

B.-

C.-

D.-

A

解析由题图得

T=

-

=

π,则T=π,又T=

,ω>0,所以ω=2,则f(x)=cos(2x+φ),又图象过点

,则2×

+φ=2kπ,k∈Z,φ=2kπ+

,k∈Z,由0<φ<π得φ=

,故f(x)=cos

，

则f

=cos

=-1.故选A.4.(2026四川成都第二次质检)已知函数f(x)=sin

,则下列结论正确的是

()A.f(x)的最小正周期为1B.f

是偶函数C.f(x)的图象关于直线x=

对称D.f(x)在区间

上单调递增

D

解析对于A,f(x)的最小正周期为T=

=2,故A中结论错误.对于B,f

=sin

π

x+

+

=sin(πx+π)=-sinπx,为奇函数,故B中结论错误.对于C,因为f

=sin

=sinπ=0,不是最值,所以f(x)的图象不关于直线x=

对称,故C中结论错误.对于D,因为x∈

,则πx+

∈

,又y=sinx在

内单调递增,所以f(x)在区间

上单调递增,故D中结论正确.故选D.5.(2026北京十一学校月考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)

的部分图象如图,f(x1)=f(x2)=-

,则x1+x2=_________.

-4

解析由题图可知f(0)=2sinφ=1,sinφ=

,因为0<φ<

,所以φ=

,又由题图可知,

T>

,即T>5,又因为T=

,所以0<ω<

.由f

=2sin

=0,得

ω+

=π+2kπ,k∈Z,即ω=

+

kπ,k∈Z,从而ω=

,故f(x)=2sin

.因为f(x1)=f(x2),所以f(x)的图象关于直线x=

对称.由题图知该对称轴与零点

之间的水平距离为

T.因为ω=

,所以

-

=

×

=

.所以x1+x2=-4.6.(2026湖北襄阳一调)已知f(x)=2sinx+3cosx,若f(x1)=f(x2),且x1-x2≠2nπ(n∈Z),则sin(x1+x2)=___________.解析因为f(x)=2sinx+3cosx=

sin(x+φ)

,f(x1)=f(x2),且x1-x2≠2nπ(n∈Z),所以

=

+kπ(k∈Z),即x1+x2=-2φ+π+2kπ(k∈Z),所以sin(x1+x2)=sin(-2φ+π+2kπ)=sin2φ=

=

=

=

.7.(2026江西重点中学协作体联考一)已知ω>0,函数f(x)=cosωx与g(x)=cos

的图象相交,若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点,则ω=___________.解析由f(x)=g(x),得cosωx=cos

,整理得tanωx=

,则ωx=

+kπ,k∈Z,即x=

+

,k∈Z,不妨取函数f(x),g(x)图象相邻的三个交点为A

,B

,C

,依题意,△ABC是等腰直角三角形,由对称性得AB⊥BC,如图,取AB的中点D,连接BD,则

BD=

,所以AC=

-

=

=2

,所以ω=

.8.(2026湖南怀化一模)已知函数f(x)=2sinωx+4cosωx的两个相邻零点间的距离为

,则f

=__________________.

-2或- -2

解析因为函数f(x)=2

sin(ωx+φ)(tanφ=2)的两个相邻零点间的距离为

,则

=

,即T=π,所以

=π,解得ω=±2.若ω=2,则f(x)=2sin2x+4cos2x,则f

=2sin

+4cos

=

-2;若ω=-2,则f(x)=2sin(-2x)+4cos(-2x)=-2sin2x+4cos2x,则f

=-2sin

+4cos

=-

-2.综上,f

=

-2或f

=-

-2.易错警示利用T=

求ω时,若题目中没有规定ω为正,则一定不要忘记ω是负数的情况.9.(2026山东青岛一模)函数f(x)=Asin(ωx+φ)

A>0,ω>0,|φ|<

的部分图象如图所示.(1)当x∈

时,求f(x)的单调递增区间;(2)已知θ∈

,且f(θ)=-

,求cos2θ的值.

解析

(1)由题图可得A=2,T=4×

=π,所以ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ),又f(x)的图象过点

,所以

×2+φ=2kπ+

,k∈Z,则φ=2kπ+

,k∈Z,又因为|φ|<

,所以φ=

,所以f(x)=2sin

.令-

+2kπ≤2x+

≤

+2kπ,k∈Z,解得-

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z,所以f(x)=2sin

在

上的单调递增区间为

.(2)因为f(θ)=2sin

=-

,所以sin

=-

.因为θ∈

,所以2θ+

∈

,又因为sin

<0,所以2θ+

∈

,所以cos

=-

.所以cos2θ=cos

=-

×

+

×

=-

.综合提升练

限时50分钟1.(2026湘豫名校联盟联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,0<φ<π)的最小正周期为

π,且在区间

上单调递减,则φ=

()A.

B.

C.

D.

B

解析由T=π,得ω=

=2,

-

=

=

T,则

恰好是f(x)在一个周期内的单调递减区间,所以x=

时,f(x)取得最小值.当A>0时,由题意,得2×

+φ=2kπ-

,k∈Z,解得φ=2kπ-

,k∈Z,不符合0<φ<π;当A<0时,由题意,得2×

+φ=2kπ+

,k∈Z,解得φ=2kπ+

,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=

.故选B.2.(2026河北张家口一模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)

ω>0,|φ|<

,若x1,x2是f(x)=

的解,且满足

=

,将函数f(x)的图象向左平移

个单位长度后可以得到一个偶函数的图象,若函数f(x)在

上恰有2个零点,则实数θ的取值范围为

()A.

B.

C.

D.

D

解析由f(x)=

,即sin(ωx+φ)=

,可得ωx+φ=

+2kπ,k∈Z或ωx+φ=

+2kπ,k∈Z,所以|x1-x2|min=

=

,解得ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ).将函数f(x)的图象向左平移

个单位长度可得y=2sin

=2sin

2x+

+φ

的图象,又y=2sin

为偶函数,所以

+φ=

+kπ,k∈Z,则φ=

+kπ,k∈Z,又|φ|<

,则φ=

,因此f(x)=2sin

.当x∈

时,2x+

∈

,2θ+

,若函数f(x)在

内恰有2个零点,则2π<2θ+

≤3π,解得

<θ≤

,所以实数θ的取值范围为

.故选D.3.(2026安徽A10联盟联考)已知函数f(x)=sin2x,将f(x)的图象向右平移

个单位长度,得到函数g(x)的图象.若∀α∈

,恰存在三个不同的实数β∈[0,m],使得g(α)+g(β)=0,则实数m的取值范围为()A.

B.

C.

D.

D

解析由题意得g(x)=sin

,当α∈

时,2α-

∈

,则g(α)∈

.因为恰存在三个不同的实数β∈[0,m],使得g(α)+g(β)=0,所以对任意y∈

,方程g(β)=y在β∈[0,m]上恰有三个不同的实数解,当β∈[0,m]时,2β-

∈

,由正弦函数的图象可得

≤2m-

<

,解得

≤m<

.故选D.4.(多选)(2026湖北武汉二调)如图所示,函数f(x)=2sin(ωx+φ)

的图象经过A(0,t),B(1,0),C(2,-1)三点,则

()

A.t=1

B.φ=

C.ω=

AB

D.f(x)在

上单调递增解析由f(x)的图象过点B可得2sin(ω+φ)=0,解得ω+φ=k1π(k1∈Z),由f(x)的图象过点C可得2sin(2ω+φ)=-1,令2ω+φ=ω+(ω+φ)=ω+k1π,k1∈Z,则sin(ω+k1π)=-

,k1∈Z,结合图象走势可知k1=1,所以sin(ω+π)=-sinω=-

,即sinω=

,由题图可知周期T>2且T<4,所以

∈(2,4),所以ω∈

,所以ω=

.所以φ=π-ω=π-

=

,f(x)=2sin

.对于A,t=f(0)=2sin

=2×

=1,A正确.对于B,C,由上分析过程可知,B正确,C错误.对于D,由x∈

得

x+

∈

,因为y=sinx在

上单调递增,在

上单调递减,所以f(x)在

上单调递增,在

上单调递减,D错误.故选AB.5.(多选)(2026安徽合肥一模)已知函数f(x)=sin

(ω>0).若存在不相等的实数x1,x2,使得[f(x1)+1]·[f(x2)+1]=4,则下列说法中正确的有

()A.f(x1)=f(x2)=1B.若|x1-x2|的最小值为π,则ω=1C.若x1,x2∈[0,π],则ω的取值范围为

D.若x1,x2∈[0,π],且|x1-x2|的最大值为

,则ω的取值范围为

ACD

解析因为f(x)∈[-1,1],所以f(x)+1∈[0,2],因为存在不相等的实数x1,x2,使得[f(x1)+1]·[f(x2)+1]=4,所以存在不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2)=1,故A中说法正确.若|x1-x2|的最小值为π,则T=

=π,得ω=2,故B中说法错误.若x∈[0,π],则ωx+

∈

,因为x1,x2∈[0,π],所以ωπ+

≥

,得ω≥

,故C正确.因为|x1-x2|的最大值为

,所以

-

的最大值为4π,则