2026年北京市北师大版高中数学第6单元函数综合测试题

2026年北京市北师大版高中数学第6单元函数综合测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x在区间[－2，1]内时，距离之和最小，为3。故选C。2.函数g(x)＝sin(x＋π/3)的图像关于哪个点中心对称？（）A．(0,0)B．(π/6,0)C．(π/3,0)D．(π/2,0)解析：函数g(x)＝sin(x＋π/3)的图像向左平移π/3个单位得到sinx的图像，其中心对称点为(π/2,0)。故选D。3.若函数h(x)＝x^2－2ax＋3在区间[－1,1]上的最小值为1，则实数a的取值范围是（）A．a≤－2B．a≥4C．a∈[－1,1]D．a∈[－2,4]解析：函数h(x)的对称轴为x＝a，分三种情况讨论：①当a＜－1时，h(x)在[－1,1]上递增，最小值为h(－1)＝4＋2a＝1，解得a＝－3/2（舍去）；②当a＞1时，h(x)在[－1,1]上递减，最小值为h(1)＝4－2a＝1，解得a＝3/2（舍去）；③当－1≤a≤1时，最小值为h(a)＝－a^2＋3＝1，解得a＝±√2，取a∈[－1,1]得a＝－√2。综上，a＝－√2，故选C。4.函数f(x)＝e^x－lnx在区间(0,＋∞)上（）A．单调递增B．单调递减C．先减后增D．先增后减解析：f′(x)＝e^x－1/x，令f′(x)＝0得x＝1/e，当0＜x＜1/e时，f′(x)＜0；当x＞1/e时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,1/e)上递减，在(1/e,＋∞)上递增。故选C。5.函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期是（）A．π/2B．πC．2πD．4π解析：函数y＝|sinx|＋|cosx|＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π/ω＝2π/1＝2π。故选C。6.若函数f(x)＝x^3－3x＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m等于（）A．10B．－10C．8D．－8解析：f′(x)＝3x^2－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－5，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，M＝max{f(－2),f(－1),f(1),f(2)}＝3，m＝min{f(－2),f(－1),f(1),f(2)}＝－5，M－m＝3－(－5)＝8。故选C。7.函数y＝log_a(x^2－2x＋3)在区间[1,＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a>1B．0<a<1C．a∈(1,2)D．a∈(0,1)∪(1,2)解析：函数t＝x^2－2x＋3在[1,＋∞)上递增，且tmin＝2，若y＝log_at在[1,＋∞)上递增，则a>1。故选A。8.函数f(x)＝2cos^2x－sin2x的值域是（）A．[－1,3]B．[－3,3]C．[－2,2]D．[－1,2]解析：f(x)＝1＋cos2x－sin2x＝1＋√2sin(2x－π/4)，值域为[1－√2,1＋√2]，即[－1,3]。故选A。9.函数y＝x＋1/x在区间(0,1]上的最小值是（）A．1B．2C．√2D．1＋√2解析：y′＝1－1/x^2＝(x－1)(x＋1)/x^2，令y′＝0得x＝1，当0＜x＜1时，y′＜0；当x＝1时，y＝2；当1＜x≤1时，y′＞0，故ymin＝2。故选B。10.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)表示数轴上点x到1、2、3的距离之和，当x＝2时，距离之和最小，为1＋1＝2。故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝sin(2x－π/3)的图像向右平移π/6个单位后，得到的函数的解析式是________。参考答案：sin(2x－π/2)解析：函数f(x)＝sin(2x－π/3)向右平移π/6个单位得到g(x)＝sin[2(x－π/6)－π/3]＝sin(2x－π/2)。2.若函数h(x)＝x^2－2ax＋3在x＝1处的切线斜率为2，则实数a的值是________。参考答案：1解析：h′(x)＝2x－2a，h′(1)＝2－2a＝2，解得a＝0。3.函数y＝|x^2－1|在区间[－3,3]上的最大值是________。参考答案：8解析：函数y＝|x^2－1|在[－3,－1]和[1,3]上递增，在[－1,1]上递减，ymax＝max{|9－1|,|1－1|,|1－1|,|9－1|}＝8。4.函数f(x)＝ln(x＋1)－x在区间(0,＋∞)上的最大值是________。参考答案：1解析：f′(x)＝1/(x＋1)－1＝－x/(x＋1)，令f′(x)＝0得x＝0，当0＜x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0，f(x)在x＝0处取得极大值，也是最大值f(0)＝0。5.函数y＝sinx＋cosx的值域是________。参考答案：[√2,√2]解析：y＝√2sin(x＋π/4)，值域为[－√2,√2]。6.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2在区间[－1,3]上的零点个数为________。参考答案：3解析：f′(x)＝3x^2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，f(－1)＝4，f(0)＝2，f(2)＝0，f(3)＝2，零点为x＝2和(－1,3)区间内一个零点及(2,3)区间内一个零点。7.函数y＝e^x－lnx在区间(0,1]上的最小值是________。参考答案：1－ln1解析：f′(x)＝e^x－1/x，令f′(x)＝0得x＝1/e，当0＜x＜1/e时，f′(x)＜0；当x＝1/e时，f′(x)＝0；当x＞1/e时，f′(x)＞0，f(x)在x＝1/e处取得极小值，也是最小值f(1/e)＝e^1/e－ln(1/e)＝e^1/e＋1。8.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[－1,4]上的最小值是________。参考答案：3解析：函数f(x)在x＝2处取得最小值，f(2)＝1＋1＝2，但需检查区间端点，f(－1)＝6，f(4)＝4，f(2)＝2，最小值为2。9.函数y＝sin^2x－cosx在区间[0,π]上的最大值是________。参考答案：3/4解析：令t＝cosx，y＝1－t^2－t，t∈[－1,1]，对称轴t＝－1/2，ymax＝max{y(0),y(π),y(π/2),y(－1/2)}＝3/4。10.函数f(x)＝x^2－2x＋3在区间[－1,2]上的值域是________。参考答案：[2,6]解析：函数f(x)的对称轴为x＝1，f(1)＝2，f(－1)＝6，f(2)＝3，值域为[2,6]。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝sinx＋cosx的最小正周期是2π。参考答案：正确解析：函数f(x)＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π/1＝2π。2.函数y＝x^3－3x在区间[－2,2]上的最大值与最小值之差为24。参考答案：正确解析：f′(x)＝3x^2－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝10，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，max{f(－2),f(－1),f(1),f(2)}＝10，min{f(－2),f(－1),f(1),f(2)}＝－2，max－min＝10－(－2)＝12。3.函数f(x)＝ln(x^2－1)在区间(1,2)上单调递增。参考答案：正确解析：f′(x)＝2x/(x^2－1)，在(1,2)上x>0且x^2－1>0，f′(x)>0，故单调递增。4.函数y＝|x^2－1|在区间[－2,2]上的最小值是0。参考答案：错误解析：函数y＝|x^2－1|在x＝±1处取得最小值0，但需检查区间端点，f(－2)＝7，f(2)＝7，最小值为0。5.函数f(x)＝e^x－lnx在区间(0,1]上单调递增。参考答案：错误解析：f′(x)＝e^x－1/x，在(0,1]上e^x>1且1/x>1，f′(x)<0，故单调递减。6.函数y＝sinx＋cosx在区间[0,π/2]上单调递增。参考答案：正确解析：y＝√2sin(x＋π/4)，在[0,π/2]上x＋π/4∈[π/4,3π/4]，sin函数单调递增，故y单调递增。7.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2在区间[－1,3]上有三个零点。参考答案：正确解析：f′(x)＝3x^2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，f(－1)＝4，f(0)＝2，f(2)＝0，f(3)＝2，零点为x＝2和(－1,3)区间内一个零点及(2,3)区间内一个零点。8.函数y＝x＋1/x在区间(0,1]上单调递减。参考答案：正确解析：y′＝1－1/x^2＝(x－1)(x＋1)/x^2，在(0,1]上x－1<0，x＋1>0，y′<0，故单调递减。9.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[－1,4]上的最小值是2。参考答案：正确解析：函数f(x)在x＝2处取得最小值，f(2)＝1＋1＝2，且端点f(－1)＝6，f(4)＝4，最小值为2。10.函数y＝sin^2x－cosx在区间[0,π]上的最大值是3/4。参考答案：正确解析：令t＝cosx，y＝1－t^2－t，t∈[－1,1]，对称轴t＝－1/2，ymax＝max{y(0),y(π),y(π/2),y(－1/2)}＝3/4。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝2cos^2x－sin2x，求f(x)的最小正周期。解：f(x)＝1＋cos2x－sin2x＝1＋√2sin(2x－π/4)，周期为2π/ω＝2π/2＝π。2.函数y＝x＋1/x在区间(0,1]上的最大值是多少？解：y′＝1－1/x^2＝(x－1)(x＋1)/x^2，令y′＝0得x＝1，当0＜x＜1时，y′＞0；当x＝1时，y＝2；当1＜x≤1时，y′＜0，ymax＝2。3.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在x＝2处的值是多少？解：f(2)＝|2－1|＋|2－2|＋|2－3|＝1＋0＋1＝2。4.函数y＝sinx＋cosx的图像关于哪个点中心对称？解：y＝√2sin(x＋π/4)，中心对称点为(π/4,√2)。5.函数f(x)＝x^3－3x在区间[－2,2]上的最大值是多少？解：f′(x)＝3x^2－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝10，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，max{f(－2),f(－1),f(1),f(2)}＝10。6.函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期是多少？解：y＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π/ω＝2π/1＝2π。7.函数f(x)＝ln(x^2－1)在区间(1,2)上的单调性如何？解：f′(x)＝2x/(x^2－1)，在(1,2)上x>0且x^2－1>0，f′(x)>0，故单调递增。8.函数y＝x^2－2x＋3在区间[－1,2]上的值域是什么？解：函数f(x)的对称轴为x＝1，f(1)＝2，f(－1)＝6，f(2)＝3，值域为[2,6]。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2，求f(x)在区间[－1,3]上的最大值与最小值。解：f′(x)＝3x^2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，f(－1)＝4，f(0)＝2，f(2)＝0，f(3)＝2，max{f(－1),f(0),f(2),f(3)}＝4，min{f(－1),f(0),f(2),f(3)}＝0。2.函数y＝sinx＋cosx在区间[0,π/2]上的最大值是多少？解：y＝√2sin(x＋π/4)，在[0,π/2]上x＋π/4∈[π/4,3π/4]，sin函数单调递增，ymax＝√2sin(3π/4)＝√2•√2/2＝1。3.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[－1,4]上的最小值是多少？解：函数f(x)在x＝2处取得最小值，f(2)＝1＋1＝2，且端点f(－1)＝6，f(4)＝4，最小值为2。4.函数y＝x＋1/x在区间(0,1]上的最小值是多少？解：y′＝1－1/x^2＝(x－1)(x＋1)/x^2，令y′＝0得x＝1，当0＜x＜1时，y′＞0；当x＝1时，y＝2；当1＜x≤1时，y′＜0，ymin＝2。5.函数f(x)＝ln(x^2－1)在区间(1,2)上的值域是什么？解：f′(x)＝2x/(x^2－1)，在(1,2)上x>0且x^2－1>0，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(1)＝ln0不存在，f(2)＝ln3，值域为(－∞,ln3)。6.函数y＝|sinx|＋|cosx|在区间[0,π/2]上的值域是什么？解：y＝√2sin(x＋π/4)，在[0,π/2]上x＋π/4∈[π/4,3π/4]，sin函数单调递增，ymin＝√2sin(π/4)＝1，ymax＝√2sin(3π/4)＝1，值域为[1,√2]。7.函数f(x)＝x^2－2x＋3在区间[－1,2]上的最大值与最小值之差是多少？解：f(－1)＝6，f(2)＝3，f(1)＝2，max＝6，min＝2，max－min＝4。标准答案及解析一、单项选择题1.C2.D3.D4.C5.C6.C7.A8.A9.B10.B解析：2.函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到1和－2的距离之和，当x在区间[－2，1]内时，距离之和最小，为3。3.函数g(x)＝sin(x＋π/3)的图像向右平移π/3个单位得到sinx的图像，其中心对称点为(π/2,0)。4.函数h(x)＝x^2－2ax＋3在x＝1处的切线斜率为2，即h′(1)＝2－2a＝2，解得a＝0。5.函数f(x)＝e^x－lnx在区间(0,＋∞)上单调递增，因为f′(x)＝e^x－1/x>0。6.函数y＝|sinx|＋|cosx|＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π/ω＝2π/1＝2π。7.函数f(x)＝x^3－3x＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M＝3，m＝－5，M－m＝8。8.函数y＝log_a(x^2－2x＋3)在区间[1,＋∞)上单调递增，因为x^2－2x＋3在[1,＋∞)上递增且tmin＝2>0，故a>1。9.函数f(x)＝2cos^2x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x＝1＋√2sin(2x－π/4)，值域为[1－√2,1＋√2]，即[－1,3]。10.函数y＝x＋1/x在区间(0,1]上的最小值是2，因为y′＝1－1/x^2＝(x－1)(x＋1)/x^2，在(0,1]上单调递减。11.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在x＝2处取得最小值，f(2)＝1＋1＝2。二、填空题1.sin(2x－π/2)12.113.814.115.[√2,√2]16.317.e^1/e＋118.219.3/420.[2,6]解析：2.函数f(x)＝sin(2x－π/3)向右平移π/6个单位得到g(x)＝sin[2(x－π/6)－π/3]＝sin(2x－π/2)。3.函数h(x)＝x^2－2ax＋3在x＝1处的切线斜率为2，即h′(1)＝2－2a＝2，解得a＝0。4.函数y＝|x^2－1|在[－3,－1]和[1,3]上递增，在[－1,1]上递减，ymax＝max{|9－1|,|1－1|,|1－1|,|9－1|}＝8。5.函数f(x)＝ln(x＋1)－x在区间(0,1]上单调递减，因为f′(x)＝1/(x＋1)－1＝－x/(x＋1)<0。6.函数y＝sinx＋cosx＝√2sin(x＋π/4)，值域为[－√2,√2]。7.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2在区间[－1,3]上的零点为x＝2和(－1,3)区间内一个零点及(2,3)区间内一个零点，共3个零点。8.函数y＝e^x－lnx在区间(0,1]上的最小值是e^1/e－ln(1/e)＝e^1/e＋1。9.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[－1,4]上的最小值是2。10.函数y＝sin^2x－cosx＝1－t^2－t，t＝cosx，t∈[－1,1]，对称轴t＝－1/2，ymax＝max{y(0),y(π),y(π/2),y(－1/2)}＝3/4。11.函数f(x)＝x^2－2x＋3在区间[－1,2]上的值域为[2,6]。三、判断题1.正确22.正确23.正确24.错误25.错误26.正确27.正确28.正确29.正确30.正确解析：2.函数f(x)＝sinx＋cosx＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π/ω＝2π/1＝2π。3.函数f(x)＝x^3－3x在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M＝10，m＝－2，max－min＝12。4.函数f(x)＝ln(x^2－1)在区间(1,2)上单调递增，因为f′(x)＝2x/(x^2－1)>0。5.函数y＝|x^2－1|在区间[－2,2]上的最小值是0，在x＝±1处取得。6.函数f(x)＝e^x－lnx在区间(0,1]上单调递减，因为f′(x)＝e^x－1/x<0。7.函数y＝sinx＋cosx在区间[0,π/2]上单调递增，因为y＝√2sin(x＋π/4)，在[0,π/2]上单调递增。8.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2在区间[－1,3]上有三个零点，分别为x＝2和(－1,3)区间内一个零点及(2,3)区间内一个零点。9.函数y＝x＋1/x在区间(0,1]上单调递减，因为y′＝1－1/x^2＝(x－1)(x＋1)/x^2，在(0,1]上单调递减。10.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在区间[－1,4]上的最小值是2。11.函数y＝sin^2x－cosx在区间[0,π]上的最大值是3/4。四、简答题1.解：f(x)＝1＋cos2x－sin2x＝1＋√2sin(2x－π/4)，周期为2π/ω＝2π/2＝π。2.解：y′＝1－1/x^2＝(x－1)(x＋1)/x^2，令y′＝0得x＝1，当0＜x＜1时，y′＞0；当x＝1时，y＝2；当1＜x≤1时，y′＜0，ymax＝2。3.解：f(2)＝|2－1|＋|2－2|＋|2－3|＝1＋0＋1＝2。4.解：