10第十章弯曲应力(工力)解析

1第十章弯曲应力回顾与比较内力应力FAFQMMx1.问题的提出梁横截面上的正应力如何分布?如何计算梁横截面上的正应力?§10-1引言纯弯曲梁段CD上,只有弯矩,没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上,既有弯矩,又有剪力－－横力弯曲§10-2弯曲时的正应力FQ图M图一、纯弯曲梁的正应力1.变形几何关系一、纯弯曲梁的正应力（1)梁的纯弯曲实验现象（1)梁的纯弯曲实验现象1.变形几何关系纵向线在梁变形后弯成了弧线,靠近凹面的线缩短,靠近凸面的线伸长。

横向线在梁变形后仍为直线,但转过了一定的角度,且仍然与弯曲了的纵向线保持正交。

一、纯弯曲梁的正应力（2)平面假设平面假设:横截面变形后保持为平面，且仍垂直于变形后的梁的轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。

一侧纤维缩短一侧纤维伸长中间一层纤维长度不变－－中性层中间层与横截面的交线－－中性轴中性轴与对称轴的关系?垂直（因为变形也对称)（3)两个概念1.变形几何关系一、纯弯曲梁的正应力1.变形几何关系（4)变形规律yz一、纯弯曲梁的正应力上式表明:

纯弯曲时的正应力按线性规律变

化,横截面上中性轴处,y=0,因而σ=0,

中性轴两侧,一侧受拉应力,另一侧受压应力,与中性轴距离相等各点的正应力数值相等。

2.物理关系胡克定理

假设:纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向拉伸或压缩状态。

2.物理关系一、纯弯曲梁的正应力cmaxtmax3.静力学条件一、纯弯曲梁的正应力=0=0=M3.静力学条件

中性轴(即z轴)通过截面形心。一、纯弯曲梁的正应力3.静力学条件=0y轴为横截面的对称轴,必然有

一、纯弯曲梁的正应力3.静力学条件=0一、纯弯曲梁的正应力3.静力学条件=M为梁弯曲变形后的曲率为曲率半径弯矩到中性轴距离惯性矩正应力一、纯弯曲梁的正应力

某点的应力是拉应力还是压应力，可观察弯矩图或根据梁的变形来直接判定:以中性轴为界，弯矩图画在受拉侧，或梁在凸出的一侧受拉，在凹入的一侧受压。此时式中的y看作所求应力的点与中性轴z的距离。

横力弯曲二、横力弯曲时的正应力横截面翘曲,平面假设不成立

实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁)时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。

计算结果与精确解比较,有足够精度。

三、弯曲正应力公式适用范围平面弯曲在材料的比例极限范围内使用可用于具有纵向对称面的其它截面形式的梁当l

/

h

>

5

时,可用于横力弯曲梁cmaxtmax

由公式可知,某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。

取Wz抗弯截面系数（抗弯截面模量)§10-2弯曲时的正应力例:求图示悬臂梁的最大、压应力。已知:№10槽钢解：1)画弯矩图2)查型钢表：3)求应力：—σcmaxσtmax例题10-2弯曲正应力强度条件§10-3弯曲正应力的强度条件及应用材料的许用弯曲正应力塑性材料制成的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的等直梁解:1)求约束反力例10-4T字形截面的铸铁梁受力如图,铸铁的[

t]=30MPa,

[

c]=60MPa。其截面形心位于C点,y1=52mm,y2=88mm,Iz=763cm4,试校核此梁的强度。

2)画弯矩图3)求应力B截面—（上拉下压)C截面—（下拉上压)y2y1Cz1m1m1mABC

4kN9kN2.5kNm4k

N

mDC截面（下拉上压):4)强度校核B截面（上拉下压):最大拉、压应力不在同一截面上1m1m1mABC

4kN9kN2.5kNm4k

N

mD[

t]=30MPa,[

c]=60MPa。其截面形心位于C点,y1=52mm,y2=88mm,

Iz=763cm4,校核强度。

例10-5如图所示工字钢制成的梁,其计算简图可取为简支梁。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa。试选择工字钢的号码。

解:在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示强度条件要求：

此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。

由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为此时危险截面上的最大工作应力为

其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。

如果计入梁的自重，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为§10-4弯曲切应力、切应力强度及应用一、矩形截面梁的切应力儒拉夫斯基假设1)截面上任意一点的切应力t的方向和该截面上的剪力FQ的方向平行。

2)切应力沿宽度均匀分布，即t的大小只与距离中性轴的距离有关。

取简支梁中dx的微段进行受力分析

若所切微段上无横向外力作用,则两截面的剪力相等。

则该微段上的应力分布如图

弯矩不同,两侧截面上的正应力也不相同

按照儒拉夫斯基假设,切应力和剪力平行。

一、矩形截面梁的切应力

为了研究横截面上距离中性层y处的切应力τ的数值,可在该处用一个平行于中性层的纵截面pp1,将微段的下半部分截出。

一、矩形截面梁的切应力研究x方向的平衡距中性轴为y处的横线以外部分横截面积A1对中性轴的静矩。同理可得一、矩形截面梁的切应力研究x方向的平衡顶边分布的切应力的合力dF的大小由一、矩形截面梁的切应力横截面上的剪力整个截面对中性轴的惯性矩梁横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩所求切应力点的位置的梁截面的宽度。上述公式对组合矩形截面梁亦可使用。一、矩形截面梁的切应力对于矩形截面梁,公式可以进行转换这样,公式可以改写为在截面的两端,y=±h/2在中性层,y=0如图切应力分布规律一、矩形截面梁的切应力工字形截面由翼缘和腹板组成

由于腹板截面是狭长矩形,因此儒拉夫斯基假设仍然适用,若要计算腹板上距中性轴y处的切应力,Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。

上翼缘下翼缘腹板经计算可得公式为沿高度的分布规