2026-2027学年人教A版高中数学必修第一册课时练习：基本不等式

2.2.1基本不等式

A级基础练习

1.不等式（心2），）+；22成立的前提条件为（）

A.x22yB/>2y

C.xW2yD.x<2y

2.已知（）<x<l,则当x（5-5x）取最大值时，大的值为（）

3.已知。>0力>0,。+4〃=2,则ab的最大值为（）

A.iB.i

42

C.lD.2

4.设x>0,y>0,且盯=4则:+:的最小值是（）

A.lB.2

C.-lD.-2

5.已知x<0,则的最大值为（）

A.2B.-i

2

C.-2D.i

2

6.已知。>0力且a=a+/=〃+],则a+8的最小值是（）

A.2B.3

C.4D.5

7.（2026山东临沂阶段练习）若g>0,则言+学的最小值为（）

A.13B.26

C.2V26D.V26

8.（2026陕西咸阳阶段练习）已知〃22+4〃2=9（〃>0,〃>0）,贝1]mn的最大值为（）

A-i

C.-

9.（2026广西百色阶段练习）已知x>0厕■的最小值是（）

X+1

A.5B.6

C.7D.8

10.（2026黑龙江哈尔滨期中）已知正数a为满足疗+加=2,则a+b的最大值为（）

A.lB.2

C.V2D.2V2

11.（多选题）若。力ER且必>0,则下列不等式中，恒成立的是（）

A..cr+b2^2abB.a+h^2\fab

C.-+7>^=D.-+^2

abvabab

12.己知/>（）,则《等的最小值为.

13.己知0<"2,则产转取最大值时x的值为.

14.已知a,b,C为正数，求证：空三+c+a-b+竺处2

abC

B级拔高提升

15.当时，止的最大值为（）

1-X

A.-3

B.-1

C.1

D.3

16.若则在①J+!<念，②^+92。+〃,③月史>早，这三个不等式中,

不正确的有（）

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

17.己知两个正数的算术平均数大于等于它们的儿何平均数，类比此定理，有以下结

论:三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当Ac均为正实数吐手>

麻，当且仅当。=b二c时，等号成立.利用上述结论，判断下列命题的真假，则真命题为

()

A.若0<A<1,则A7(l

B.若x>0,则2x+W/

x28

C.若()<x<1,则f(1

若.则

D.x>0X

18.(2026河南南阳期中)已知正数〃力满足。+/?=4,则(1+0(1+份的最大值为()

A.4B.5

C.8D.9

19.已知—c,则J(a-b)(b-c)与卓的大小关系是.

20.己知不等式。+)%+329对任意正实数xy恒成立，求正实数a的最小值.

C级创新练习

21.(2026陕西西安阶段练习)(多选题)数学里有一种证明方法叫做无字证明,一般是

指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性,

无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点。为圆O的直径A3上一

点,O,F是圆上的点，且。_1_4用。入1_4反且CE1.OD于点E,设则利用

△OCD^CQEcOCb中边长间的关系可以完成的无字证明为()

A.—>Vab(«>(),/?>())

B.^<Vab(a>0,b>0)

a+n

22

ca+b>a+b.八.

c—<3>06>0)

D.a2+b222ab(a>0,b>0)

答案：

1.B基本不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式(42)，)十点22成立

的前提条件为x-2y>0,即x>2y.故选B.

2.B由Ovx<l,可得则x(5-5x)=5x(l-x)W5•(空卬/，当且仅当x=l-x,即x=-

242

时，等号成立，所以”=工时,x(5-5x)取得最大值三.故选B.

24

3.A因为。>0.8>0,。+4/?=2,由基本不等式可得2=a+4bN2,4ab=4可得abW

、4,

当且仅当。=4/2抑4=1/二二时，等号成立，所以"的最大值为士故选A.

44

4.A因为x>0,)>0,且"=4,所以二>0二>0二+三221^=2H=2x、l,当且仅当工=

xyxyy/xyyjxy2x

即x=)=2时，等号成立.故选A.

5.C因为大一<0,可得*>0,则x+L-[(㈤+3W-2/％)二=-2,当且仅当J二工抑产・1

x-Xyj-X-X

时，等号成立，所以戈+：的最大值为-2.故选C.

6.D由题意知4>0/>0,a+b=l,且a=.+；/=.+；,则

0+S=〃+：+〃+"1+■21+。+；2=5,当且仅当〃二6二2时，等号成立，所以a+£的最小值为5.

故选D.

7.D由xy>0,得±>0,工>0,则Z+拦221^--=同，当且仅当上=吗，即]=V26

'yx2xyy/2xy2xyx

B寸，等号成立,所以上+生的最小值为&且故选D.

2xy

8.Dm2+4H2=9^2x2mn=4/n/7,W]=当且仅当m=2”,即m=也,〃=这时,等号成

424

立.故选D.

9.A因为x>0,所以H1>0,所以x+W=x+1+会-122J(x+1)x1=5,当且仅

当X+1=-^-,即x-1时等号成立.故选A.

10.B因为正数a,b满足/+序=2,所以（。+力）2=。2+按+2。8・。2+3+。2+炉=2+2=4,

所以4+8W2,当且仅当a=b=\时，等号成立，则〃+/?的最大值为2.故选B.

11.AD对于A选项〃+户2"二m6）22o,故足+吩2?ab,A正确;对于B,取a=b=・l,

此时a+b=-2<2>/ab=2,B错误;对于C,取。二8二-1,此时：+*=-2<^|g=2,C错误;对于D,因

为必>0,所以：>0,2>0,所以2+归?=2,当且仅当。二屏0时，等号成立,D正确.故选

baabyab

AD.

12.-1•・•[>（）,・••包上二什匕322仁-3二・1,当且仅当t=\时，等号成立.

tty/C

13./因为0a<2,所以产2x"于二2次通弓W2J（巴产产=4,当且仅当

『二4-f,0<x<2,即x=立时等号成立.

14.证明左边§+21子+*1+**1=6+如仁+匀+G+^)-3,Vahc为正数,

：.-+-^2（当且仅当a=b时，等号成立）自+222（当且仅当a=c时，等号成立）；54-

abacb

注2（当且仅当h=c时，等号成立）.从而（*£）+（?+；）+（（+沪6（当且仅当a=b=c

时，等号成立）.（知）+（汨）+（科*323,即管+华+吟

15.A因为x>1,所以片1>0,所以3-x=（1-x）+--1=-14（x-l）+—J&-1-2l（x-l）--=

1-x1-xx-17X-l

3,当且仅当x-1=」-（£>1）,即尸2时，等号成立，所以当心>1时的最大值为3故选A.

X-l1-X

16.B因为对于①，由（〃+/7）（工+工尸2+2+222+2口=4,当且仅当a=b0+,

ababylab

等号成立，所以24-->二-.所以①错误;对于②.由不等式o1+b3-a2b-ab2=（a^-b）（a-b）2^O,

aba+b

可得。两边同除彷，可得竺+竺成立,所以②正确;对于③，由

ab

242+2/?2=々2+62+/+。2242+。2+24/?=（4+/?）2,可得，即。>（"?）,所以

产g>警成立，所以③正确.故选B.

x+x+2-2x

17.D因为Ovxv1,则f(1-x)=U»(2-2x)<)3上当且仅当x=2-2x,即

23

时，等号成立，故A,C错误;因为x>0,则2r+3=x+x+f231x・x二二3,当且仅当x=-^,

即x=l时，等号成立，故B错误;因为+工+二233。2」」=3.当且仅当f二；即

XXX7XXX

x=l时，等号成立，故D正确.故选D.

18.D(1+4)(1+6)w(上产)2=9,当且仅当1+4=1+4即a=b=2时，等号成立,

所以(1+〃)(1+份的最大值为9.故选D.

19.yj(a-b)(b-c)<—*'a>b>c,a-b>(),/?-(?>(),/.—=之(-b)(b-c).

222a

当且仅当人二等时，等号成立.

20.解(x+y)f-+—=1+6/+—+—,'/x>0,}->0//>0,—+—-^2I—•—=2yfu,1+。+”+

y/xy入y\i