广东潮州市2025-2026学年第二学期高二期末教学质量监测数学试卷及答案

2025-2026学年度第二学期高二级期末教学质量监测

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上;

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求

作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.

一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题）

（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）

1.某项测试的成绩c近似服从正态分布N（85,b9,若。（854c<95）=0.3,则P（c>95）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

2.曲线y=2+c》在x=0处的切线斜率为（）

A.3B.1C.2D.0

3.已知是等差数列｛/｝的前〃项和，/+4+%=9,则S”=（）

1133,

A.—B.—C.66D.33

32

4.（3%-5）3展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和分别为（）

A.8；8B.—8；8C.8；—8D.—8；—8

5.将B,C,D,E,歹共6本书平均分给甲、乙、丙三个学生，且书本月分给学生甲，则不同的

分书方法共有（）种

A.15B.20C.30D.60

6.若函数/⑴=/十分―38+2。的单调递减区间为（—1,1）,则4+6等于（）

A.-1B.1C.-3D.3

x2v2兀

7.双曲线C:三一勺=1（。>0力>0）的一条渐近线倾斜角为上，则双曲线。的离心率为（）

a~b~6

c逅2白

A.2B.百D.---

33

8.若函数/'（1）=2^-办2+1有两个不同的极值点，则实数。的取值范围是（)

A.a>eB.a>eC.a>2eD.a>2e

（二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全

部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得。分）

9.下列说法正确的是（）

A.若随机变量少满足"=24+1,则。（〃）=4。（看）

B.在独立性检验中，随机变量/的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小

C.变量y关于变量工的经验回归方程为/=4x+l,则样本点（2,9）的残差为1

D.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数尸的值越大

10.如图，在直三棱柱ABC—481G中，ABLAC,4。二2。€；,则（）

..2-

A.向量力。在向量48上的投影向量为一48

3

2

B.向量AD在向星AC上的投影向星为一片C

3

C.AD=AA.+-AB+-AC

133

D.力。与48的夹角为锐角

11.抛物线E:y2=2px（p>0）的焦点为/，直线/:y=k（x—2）过点尸且与抛物线E交于A,8两点,

点.4在第一象限，则（）

A.抛物线石的焦点厂到准线的也离为4

B.若点夕的坐标为（3,而），则'周长的最小值为9

C.当尸|=3|8尸|时,k=V3

D.当左变化时，|力用的最小值为8

二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设等比数列｛%｝的前〃项和为S”，已知q=5,S,=0,则与=.

13.有一批产品共10件，其中7件是正品，3件是次品.质检员对这批产品进行抽检，从中随机抽取3件，

若至少有2件是次品，则这批产品不合格，那么质检员检测到这批产品不合格的概率为.

14.己知点M是矩形48CQ内的动点，且=AB=3,4。=4,点N为边上的动点，则

MN+ND的最小值为.

三、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分,第18、19题每题17

分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分13分)设等差数列｛%｝的前〃项和为S”，55=25.+5,a2=2^-1.

(E求数列｛〃,｝的通项公式；

(2)设--—,求数列也｝的前〃项和7；.

an•%

16.(本题满分15分)四棱锥夕一43。。中，尸4_L底面44C。，ABHDC,ABVAD,且

PA=AD=DC=\,/8=2,M是P3的中点.

(E证明：8CJ_平面4C；

(2)求直线。8与平面所成角的正弦值.

17.(本题满分15分)有4支队伍参加一场知识竞赛，其中2支强队，2支弱队.每队派1名代表进行比

赛，小明来自强队.在某一轮比赛中，随机挑选两名代表进行比赛.若强队与弱队进行比赛，则强队获胜的

概率为'3；若同类队伍进行比赛，则双方获胜的概率均为1上.

52

(1)已知小明参赛，求在一轮比赛中，小明获胜的概率：

(2)现增加新的比赛规则：与强队比赛获胜得2分，与弱队比赛获胜得1分，失败均得0分.若小明分别

与每个代表进行一轮比赛，记比赛结束时小明获得的积分为X,求X的分布列与期望.

18.(本题满分17分)已知函数/(耳=111「+：-1.

(1)当。=e时，求/(大)的极值：

⑵讨论的单调性；

(3；若对任意的X£(0,+8),都有/(x)>0恒成立，求实数〃的取值范围.

19.（本题满分17分）已知椭圆。：，+£=15>6>0）经过点（6其右焦点为尸（石,0）,左、

右顶点分别为

4，A2.

（1；求椭圆c的标准方程；

（2；已知点。为椭圆c上任意一点（不与左、右顶点4，4重合），求证：直线。4，的斜率之积为

定值，并求出该定值：

（3）若过点8（-3,0）的直线/与椭圆。交于尸，。两点，求△&尸。的面积的最大值.

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数学参考答案

一、选择题

题号1234567891011

答案ABDCCBDAABBCDABC

二、填空题

第12题：5第13题：8第14题：V65-2

60

三、解答题

15.（本题满分13分）（1）设等差数列｛%｝的公差为d,1分

由邑二2§3十5,可得5%+104=2(3/+3〃)+5,即4=4,/-5；2分

又因为02=2%-1,即4+4=2%—1,即q=d+l；3分

解得q=3,d=2,5分

故］〃”｝的通项公式为%=q+(〃—l)d=2〃+l.7分

9分

10分

11分

111

12分

2132/7+3>

n

13分

6〃+9

16.（本题满分15分）（1）取力8中点E,连接ME,CE,

D

因为4E//DC,4£=OC,所以四边形为ECO为平行四边形，1分

因为所以4BJ.EC,2分

所以4C=8C=&,3分

所以/。2+3。2=442,所以4CJ.8C,4分

因为04l.平面力BCO,4Cu平面力8CO,所以尸4JL8C,5分

因为尸4c/C=4,PA,4Cu平面尸4C,6分

所以6CJ.平面E4C.7分

（2）如图，以点力为原点，以NO,AB,4P所在直线为x,》，z轴，建立空间直角坐标系，8分

则P(O,O,1),4(0,0,0),4(0,2,。)，C(U,0),9分

(i、

JC=(l,l,0),MC=1,0,——，8P=(0,-2,1),

k2,

设平面M4c的一个法向量为〃?=（X，M，zJ,

\m-AC=玉+弘=0

则］i,取〃1=(1,一1,2),12分

yn-MC=xl--zl=0

设直线PB与平面AMC所成角为8,

/..\i\PB-m4_2廊

则sin。cos(08,加)=­：―7k分

'nPBmV4+TxVl+l+4-15

所以，直线尸4与平面4MC所成角的正弦值为名史.

15分

15

17.（本题满分15分）（1）设4=“对手为强队代表”，4=“对手为弱队代表”，C=“小明获胜”1分

I2I3

由题意可知。(4)=钎。(4)=针P(C|J,)=-,P(C|J)=-,3分

3352

117317

故P(C)=尸⑷p©4)+尸⑷尸(。14)=95+§吗=76分

(2)由题意可知X的取值为0,1,2,3,4,7分

2

8分

25

p(%=l)=lxC,,x-x-=A

9分

'72-5525

、213

+—X10分

sf0450

P(X=3)=；xC；x326

—x—11分

5525

9

12分

50

故X的分布列为:

X01234

261369

P

2525502550

13分

所以E(X)=0XZ+1X9+2XU+3X9+4X2=U.

15分

―25255025505

18.(本题满分17分)(1)当〃=©时，/(x)=lnx+2-l,

.X

所以/=，xe(0,+oo)1分

XXX

令r(x)=0,得x=e

令f'(x)>0,解得x£(e,+8),故/(x)在(e,+8)单调递增,2分

令/(丫)<0,解得xc(0,e),故/(x)在(0,e)单调递减，3分

所以，/(x)在x=e处取得极小值/(e)=lne——1=1,无极大值5分

e

(2)由题意可得了£(0,+8),./''(X)=!-鼻=x-a

6分

XXx

当时,/'(x)〉0在工£(0,+8)恒成立，所以/(力在(0,+8)单调递增;7分

当〃>0时，令/解得X£（a,+8）,故/（X）在（4,+8）单调递增，8分

令f'（x）<0,解得XE（OM）,故/（x）在（0,。）单调递减，9分

综上所述，当Q0O时，/（X）在（0,+8）单调递增；

当〃>0时，/（X）在（0,4）单调递减，在（4,+8）单调递增.10分

（3）因为对任意的不€（0,+8）,都有/（"¥）>0恒成立，所以1。工+色-1>0,即c/>x-xlnx,11分

X

令g（x）=x-xlnr,xw（O,+8）,则g'（x）=-lnX'12分

令g'（x）=O,得x=l,13分

令g'（x）>0,解得XE（O,1），故g（x）在（0/）单调递增，14分

令g'（x）<。，解得XE（l,+8）,故g（x）在（1,+8）单调递减，15分

所以g（x）在x=l处取得唯一的极大值，所以g.g=g⑴=1，16分

故当时，对任意的x£（0,+oo）,a>x-xlnx恒成立，即/（x）>0恒成立.17分

八百

31

19.（本题满分17分）⑴依题意可得，^―+—=1,2分

cr4b~

a2=b2^-c2

解得。=2,/?=1,4分

所以椭圆。的标准方程为《十炉=1.5分

4-

⑵设点。（%,%）,则手疗=1,即*=4（1-元）6分