二次函数与一元二次方程、不等式（讲义）解析版

1.一元二次方程：ax2+bx+e=0(a0)

①方程有两个实数根O△=/-4ac20

A>0

②方程有同号两根oc

xix2=—>0

_a

A>0

③方程有异号两根O-c

xxx2=—<0

-a

④韦达定理及应用：%1=--,xxx2=-

a-a

，从-44c

XX2XXX2

x；+x：=(14-0)-217,|)-xd=J(x)+X2)-4X]X2=

同向

22

T+W=(X]+x2XXj-x)%2+x；)=(X)+A2)[(X1+^2)-3^1%2]

2.二次函数

①一般式：y=ax2+hx+c=a(x+—)2+―—―(«^0),对称轴是X=--—,

2a4ala

baa/b4ac-b2.

顶点是(一丁,一-——)：

2a4a

②顶点式：y=a(x+m)2+k(a^O),对称轴是1=一〃?,顶点是(T〃M)；

③交点式：y=。（工一%］（工一%）（。工°），其中（X，。），<x2,0）是抛物线与x釉II勺交

点

3.二次函数的性质

①函数y=ax2+bx+c（aw0）的图象关于直线x=―对称。

2a

②。>0时，在对称轴（1=-2）左侧，），值随x值的增大而减少；在对称轴

2a

（X=_2）右侧；V的值随工值的增大而增大。当x=-2时，V取得最小值

2a2a

4ac-b2

4a

③。<0时，在对称轴（工=一2）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴

2a

（x=_2）右侧；y的值随X值的增大而减少。当工=_2时，y取得最大值

2a2a

4ac-b2

4a

4.一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等

式.

一元二次不等式的一般形式是a?+法+c>0或a，+6+CY。，其中〃，b,〃均为常

数，4W0

5.一元二次不等式的解法

例1解下列不等式：

（1）X2-X-6>0；

（2）25x2-10.r+l>0：

（3）-2X2+X+1<0.

【答案】⑴卜卜<-2或x>3｝；⑵卜xwL；⑶

【分析】

（I）将所求不等式变形为（工+2）（工-3）>0,进而可求得该不等式的解集；

（2）将所求不等式变形为（5尢-1）2>0,进而可求得该不等式的解集：

（3）将所求不等式变形为（2x+l）（x—l）>0,进而可求得该不等式的解集.

【详解】

⑴不等式f一丁一6>0即为（4+2）（x-3）>0,解得><-2或x>3,

因此，不等式/7—6>0的解集为卜卜<-2或X>3}；

/9I

（2）不等式25/-1（比+1>（）即为（51一1）->0,解得KHy，

因此，不等式2512一]0工+1>0的解集为•»；

（3）不等式—2/+_r+1<0即为2/一/一1>0，即（2x+l）（x—1）>。，解得x〈一g或

x>1.

因此，不等式一2/+x+iv0的解集为，xxv-g或X>1}.

【点睛】

本题考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

变式1-1

解下列不等式：

（1）-2X2+3X-1<0：

（2）（X-1）2-6>0；

f6——x2VO

⑶12

[X2+3X-4<0

【答案】（1）—s,；）5：l,+oo）：（2）（f1-«）U（1+疯收）；（3）（-4,-3]

【分析】

先将二次项系数化为正数，再因式分解，即可求得不等式解集.

【详解】

（1）一2/+3工一1<0等价于2/一3工+1>0等价于（2x—l）（x—1）>0,解得：x>l或

X<1,所以不等式的解集为1―8,g）u（l,+8）：

（2）（工一1）2一6>0等价于（工一1一指）[一1+指）>0,解得：x<1-通或_r>1+、/，

所以不等式的解集为（一8/一指）j（l+6,y）；

6-X-X2<0,X2+X-6>0”卜+3)(1-2)之0

(3)—<0等价于2c,八等价于《(x+4)(x-l)<0,解得:

x~+3x-4<0

-4<x<-3,所以不等式的解集为（<-3].

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查计算求解能力，属于基础题.

变式1-2

解下列不等式

（1）-x2+2.r-3<0;

（2）-3X2+5X-2>0.

-2

【答案】（1）R（2）tv-<x<l-

【分析】

（1）原不等式可化为f一2工+3>0,由犬一2不+3=0无实数解，即可得不等式解集；

（2）原不等式可化为3£-5戈+2<（），求方程3工2-5工+2=0的实数根，即可得不等式解集.

【详解】

（1）原不等式可化为2工+3>0，

由于△=（—2）2—4x1x3=—8<0,方程d—2x+3=0无实数解•，

・•・不等式—d+2X-3<0的解集为R

（2）原不等式可化为3X2-5X+2<0，

由于△=（-5『-4x3x2=l>0,方程3/一5工+2=0的两根为玉=Q，9=1，

2

・•・不等式—3d+5x—2>0的解集为>.

•a

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化能力与计算能力，属于基础题.

变式1-3

解下列不等式:

(1)-x24-6JV-9>0：

(2)x24-x-l<0：

(3)

,15/5175

【答案】(1)0：(2)-；(3)｛尤|x>2或反，1).

2222

【分析】

(1)利用判别式法解得一元二次不等式的解集.(2)先求得对应一元二次方程的两个根，然

后求得不等式的解集.(3)将分式不等式转化为一元二次不等式来求解出不等式的解集.

【详解】

<1)原不等式可化为V-6x+9<0.

•.・△=(—6日一4x9=0,

••・原不等式的解集是0.

(2)VA=l-4x(-l)=5>0,

又丁d+x—1=()的两个实数根为

1---V51x/5

x,=----1=-----------------,

22-22

・•・原不等式的解集是

(3)原不等式可化为(x-l)(x-2)..O,且工工2,

A>2,或xW1.

••・原不等式的解集是{幻X>2或兀，1}.

【点睛】

注意解一元二次不等式的基本步骤：

①先将不等式化为一般形式办2+法+C..0（或分？+公+c;,0）,其中。>0：②考虑判别

式△的符号；③结合图象求出解集，解一元二次不等式时一般先把二次项系数化为正数.

变式1-4

求下列不等式的解集：

(1)(x+2)(x-3)>0；

⑵3/-7x410;

(3)-x2+4x-4<0；

(4)x2-x+-<0-,

4

（5）—2x"十人二—3；

⑹x2-3x+4>0.

(3){X|XH2}(4)0.(5){幻上23或

【答案】(l){x[x>3或x<-2}.(2)-

2

&-1）.（6）R

【分析】

（1）根据一•元二次不等式与•元二次方程的关系，即可求解：（2）将不等式移项并因式分解，结

合一元二次不等式与一元二次方程的关系，即可求解：（3〉将不等式配方，结合二次函数的性质

即可求解；（4）将不等式配方，结合二次函数的性质即可求解；（5）根据一元二次不等式与一元

二次方程的关系，即可求解•；（6）将不等式配方，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】

（1）不等式（X+2）（x-3）>0,所以方程*+2）（x-3）=0的两根为x1=-2,x2=3

由二次函数的图像与性质可知原不等式的解集为{x*>3或-2}

<2）不等式3/—7元<10、即3/-7%一1040

即不等式等价于*+1）（3工一10）<0

由二次函数的图像与性质可知原不等式的解集为•x|-l<x<y

(3)不等式_/+4%_4<0

所以不等式等价于％2-4x+4>0

即*-2)2>0

由二次函数的图像与性质可知原不等式的解集为｛x\x^2］

(4)不等式f-x+'vO

因为f一x+；=(x-g)..0

由二次函数的图像与性质可知原不等式的解集为0

(5)不等式一2丁+工工-3

所以原不等式等价于(x+D(2x-3)..O

3

所以由二次函数的图像与性质可知原不等式的解集为｛刈二2］或X,-1｝.

(6)不等式12-3工十4>0

因为d-3x+4=(x-。］+->0

I2)4

所以由二次函数的图像与性质可知原不等式的解集为R

【点睛】

本题考查了各种类型一元二次不等式的解法,关键是结合一元二次方程的根与二次函数的图像

与性质求解,属于基础题.

变式1-5

当x取哪些值时，函数)，=-犬+61-5的值分别大于0、等于0、小于0?

【答案】见解析

【分析】

解一元二次不等式求得工为何值是函数值为正数或负数，解一元二次方程求得函数值为零对应

的x的值.

【详解】

依题意y=—(x—1)(%—5),由一(x—l)(x—5)>0解得当1<x<5R寸，y>。；由

一（x-l）（x-5）=0解得当x=l,或x=5时，y=0；由一（工一1）（工一5）<0解得当工>5,

或xv1时，J<0.

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次函数零点的求法，属于基础题.

例2%是什么实数时，JY+R-12有意义?

变式训练

x是什么实数时，下列各式有意义？

（,）A/X2-4x4-9•

⑵V-2X2+12X-18-

【答案】（1）XGR；（2）x=3.

【分析】

（1）由题意得出f—4X+9N0,解此不等式即可；

（2）由题意得出-2_?+]2工一1820，解此不等式即可.

【详解】

（1）要使，工2_4工+9有意义，需/一4工+920・

・.・X2—4X+9=（X—2『+5N5>0恒成立，所以不等式£一41+9=（）的解集为R，

因此，xcR时，J%?.4,E+9自意义:

（2）要使，_22+12/-18有意义，需一2丁+121—1820，&P（x-3）2<0,/.x=3.

因此x=3时，，一212+121-18有意义•

【点睛】

本题考查利用二次根式有意义求未知数的取值范围，解题的关键就是利用偶次根式的被开方数

非负建立不等式，考查计算能力，属于基础题.

例3解关于x的不等式'a?-2（。+l）x+4>0（。eR）

【答案】分类讨论，答案见解析.

【分析】

当。=0时解一次不等式；当。工0时，求出一元二次不等式所对应方程的根，分类讨论求二

次不等式的解集.

【详解】

当。=0时，不等式一2工+4>0的解为x<2；

当。工0时，不等式对应方程的根为尤=@或2,

2

①当”0时，不等式-2_23+1）.+4>0（〃1/?）即（一0¥-2）卜+2）〈0的解集为

（9

②当0<〃<1时，不等式（以一2乂五一2）>0的解第为（一小2）。匕,+8

③当。=1时，不等式（x+2『>0的解集为（一8,2）。（2,一）：

/2、

④当a>l时，不等式（依-2）（工-2）>0的解集为-8,-52,+8）.

（?、

综上所述，当。=0时，不等式解集为（-8,2）：当。<0时，不等式的解集为一,2；当

Ia7

时，不等式的解集为（-8,2）=/2,+8］；当4=1时，不等式的解集为

（2、

（-co,2）52,田）；当a>l时，不等式的解集为一%一52,+8）.

Ia）

【点睛】

本题考查分类讨论含参一元二次不等式的解，属于中档题.

例4解关于x的不等式：2办2+1+々>3冰+晓

4+1

【答案】（-8』）UW'+0°

【分

先将原不等式移项，因式分解，然后将。分成av0,a=0,0<aV1,。=1,〃>1等5种情况,

根据一元二次不等式对应一元二次方程的根的情况，求得不等式的解集.

【详解】

移项，将不等式变为20?—(3。+1»+(4+1)〉0.

分解因式，得(x—1)[2公—(〃+1)]>0.

/4+1）八。+1,

（1）当a<0时，（x-l）X-----<0,——<1,、

12al2a

(2)当〃=0时，一(x-l)>0,AXG(-OO,1).

(4+]、

(3)当〃>()时，(x-l)x-M>0.

I2a)

①当々>1时，<;—■<1,

2a

xe\-<x),----5L+8).

I2aJ

②当a=l时，XG(-OO,1)U(L+°O).

③当0<。<1时

2a

,八(a+\)

xe(-ooj)o----,+8.

12a)

【点睛】

注意解含有参数的一元二次不等式时，通常需对参数进行分类讨论.分类讨论的因素一般有：

①方程是否有实数根，②二次项系数的符号(抛物线的开二方向〉，③两个根的大小关系等.

这些因素都会影响不等式的解集.

变式4-1

解关于x的不等式：x2-2ax-3a2<0

【答案】当avO时，{X|3GVXV—。}；当。=0时，解集为空集；当。>0时，

{x\-a<x<3a}.

【分析】

对分成。三种类型，根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.

【详解】

原不等式等价于(工一3。)(不+々)<().

当avO时，一〃>3〃，故原不等式的解集为｛x|3〃vxv—a｝.

当。=0时，原不等式为V<0,解集为空集.

当。>0时，一々<3。，故原不等式的解集为*|一。</<3〃).

【点睛】

本小题主要考杳一元二次不等式的解法，考瓷分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

变式训练2

求关于x的一元二次不等式f-x-«(«+l)>0的解集.

【答案】详见解析.

【分析】

对不等式左边因式分解，求得一元二次不等式对应一元二次方程的两个根，根据两个根大小的

情况进行分类讨论，由此求得不等式的解集.

【详解】

vx2-x-4Z(tz+l)>0..1.(x+rz)[x-(6z4-l)]>0,令(x+a)[x-(a+l)]=0,

/.X]=-。，工2=。+1，

(1)当。>一，时，即解集为｛x|x<-〃，或为>4+1｝.

,、

(2)当〃=—时，即6/+1=~ci=-9解集为，x\X—工

222J

(3)当QV-g时，即。斗1<一。，解集为｛x|xV4+l,或%>一。｝.

【点睛】

本小题主要考查含有参数的一元二次不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础

题.

例5不等式切尸+5]一2>0的解集是｛xIgvxv2｝,则不等式"?_5^+/_।>。的解集

是一

*、

[答案]'x|-3<x<1.

试题分析：由已知得：耀声:注得-&=网的两个根是工=!或x：=，那么根据根与系数的

关系二=1,解得。=-3代入所解不等式，幼华中型蓟，解得・3<x<1

a2

考点：1.二次不等式的解法：2.根与系数的关系.

变式5-1

已知不等式cix2-hx+2<0的解集为{%11vx<2},求的值.

【答案】[：=；

[h=3.

【分析】

根据•元二次不等式与■元二次方程的关系，由不等式的解集可得对应方程的根，即可得方程组

求得的值.

【详解】

因为不等式ax2-bx+2<0的解集为{x11vxv2}

所以方程ar?—/状+2=0口勺根为戈=Lx=2

。-8+2=0

将x=l,x=2分别代入方程ar?一版+2=o中，得〈

4。一纪+2=0

解方程组得〈

【点睛】

本题考查了•元二次不等式的解集和•元二次方程的解的关系,属于基础题.

变式5-2

关于工的不等式"2+/状+2>0的解集为{目-1<x<2}.

（1）求。力的值；

（2）求关于x的不等式加—or—2>0的解集.

【答案】（n）a=-\,b=\；（2）{1,（一2曲〉1}.

【分析】

（1）关于x的不等式以2+区+2>。的解集为卜卜1〈人<2},说明〃<（）,且-工和2是方

程ad+版+2=0的两实数根，利用根与系数关系可以直接求解出的值；

(2)由(力可知。力的值,根据一元二次不的求解方法，可以直接求解出不等式

法2-&E-2>0的解集.

【详解】

(1)关于x的不等式以?+法+2>0的解集为卜卜1<x<2},

：•«<0,1L-1和2是方程cvC+Z?x+2=0的两实数根.

_b_

由根与系数的关系知，2°，解得=

-1x2

a

(2)由(工)知，。=-1力=1时,

不等式加?一办一2>0为/+x-2=0=>(x+2)(x-l)>0=>x>liScr<-2，

•二小等式hr-ar-2>08勺解集是{x|x(一2或.

【点睛】

本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了一元二次方程与一元二次不等式之

间的联系.

6.一元二次不等式的综合问题

例6已知集合4=卜卜2-16<0},B=1x|x2-4x+3>0},求AJ8.

【答案】AB=R

【分析】

解出集合A、B,然后利月并集的定义可求出集合4U8

【详解】

*/A={#?-16<()}=同(/+4)(工-4)<()}={川-4vx<4},

B=|x|x2-4x+3>o|={x|(x-l)(x-3)>0|={x|x<1或x>3},

画数轴如图，可知AB=R.

-6------OO"-►

0I41

【点睛】

本题考查并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时,

可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.

例7已知集合A={x|V-5x+4,,0},B=[x\x2-2ax+a+2<0}.当8aA时，求实数

。的取值范围.

1Q

【答案】一密W-

7

【分析】

先解一元二次不等式求得集合A,对B对应的一元二次不等式的解集分为空集和不是空集两

种情况，结合次函数零点分布以及子集的知识列不等式组，解不等式组求得。的取值范围.

【详解】

依题意可知A={x|d-5%+则={x|1*4}

当3=0时，+即/一〃一20,得一掇W2.

/(1)..0

、/(4)..0-18

当区±0时，设/(.丫)="一2m-+〃+2,叫:n2<©彳.

>U,/

1<t7<4

1Q

综上所述，实数a的取值范围是一啜必—.

7

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式和对应二次函数的关系，考查二

次函数零点分布问题，考查集合子集的概念和知识的运用，考查分类讨论的数学思想方法，属

于中档题.

例8对J-xeR，不等式x2-2x+3-/n>0恒成立，求实数〃，的取值范围

【答案】（YO,2]

【分析】

直接计算函数），=V-2x+3-m的A,0得到答案.

【详解】

不妨设）,=/_2X+3—M,其函数图像是开口向上的抛物线,为了使yNO（xwR）恒成立,只

需对应方程的△40,即（-2）2-4（3-/«）<0,解得m<2.

故实数〃?的取值范围为（-8,2].

【点睛】

本题考查了二次不等式恒成立问题，属于简单题.

变式8-1

己知集合

A={X|2X2+7X-15<0},B={x\x2+ax+b<0},若

Ac8=0,AuB={x|-5VxK2},求实数〃、〃的值.

7

【答案】。=—；b=3

2

【分析】

先将A化简，再由已知，求出B,利用韦达定理求出实数4、8的值.

【详解】

3

由212+7%—15<0得一5<%<二，

2

3

A=«x-5<x<—>,

2

又由AcB=0,AuB={x|-5<^<2},

-3

2

3

即Y+《a+〃=0的两根为再=5,x2=2,

3

-+2=-a-

由韦达定理得彳2;，解得〃=-57；h=3

』x2=〃2

12

7

即。=一一；b=3

2

【点睛】

本题考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.

变式8・2

对任意xwR,函数〃力=出/+(根-4*+4-2m的值恒大于零，求的取值范围.

【答案】不存在这样的实数〃?，使函数/(x)的值恒大于零.

【分析】

①当帆=。时，函数/(x)的值不恒大于零，舍去；②当"-0时，根据•元二次函数的名象

与性质，列出不等式组，即可求解.

【详解】

①当〃2=0时，函数/(x)=-U+4的值不恒大于零，不符合题意，舍去；

②当初工0时，要使得对任意xcR,函数/(x)的值恒大于零，

"2>。(m>0

则满足〈/\2'即4’

(wz-4)-4/w(4-2m)<0-24〃z+16<0

此不等式组无解