函数模型及其应用 综合测试（解析卷）-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）

第13讲函数模型及其应用•综合测试（解析卷）

答案速查表

12345

CCADD

678910

CBDABDABD

1112131415

⑴y=

ln2(dh+

BCD437.5

20a)(x-2.3)

(2)2.6

16171819

(1)

S=字,(1)外x)=

(1)4324

(1)m=40,F(h)=100+2x_

6

(2)4,L=6—7x100+x/

9/i+—(2)1082

3八+43

112(2)12-(0400)(2)3

3m

L汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距

离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40km/h的弯

道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘

查，测得甲车的刹车距离略超过6m,乙车的刹车距离略超过10m.已知甲车的刹车距离

sm与车速ukm/h之间的关系为S甲=春官——，乙车的刹车距离sm与车速诙m/h之间的

关系为s乙=上廿一•请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象

A.甲、乙两车均超速B.甲车超速但乙车未超速

C乙车超速但甲车未超速D.甲、乙两车均未超速

【答案】C

【解析】对于甲车，令焉序一5^x6,B|Jv2-10v-600«0,

解得u20km/h（舍）或u々30km/h,•,•甲未超速；

对于乙车，令击庐一如、I。，即/一10”2000、0,

解得u《―40km/h（舍）或u450km小，••.乙超速.

故选c.

【点拨】本题考查二次函数模型在实际生活中的应用，将实际问题转化为一元二次方程求解，注

意结合限速条件进行判断.

2,下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：

一次购买件数5/0件11-50件51500件101-300件300件以上

每件价格37元32元30元27元25元

张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买

这种玩具

A.116件B.110件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】设购买的件数为羽花费为y元，

37%1<%<10

32%11<%<50

30%51<%<100.

27x,101<x<30U

（25x,x>300

当％=107时，y=27X107=2889<2900；

当无=108时，y=27X108=2916>2900,

最多可购买这种产品107件.

故选C.

【点拨】本题考查分段函数模型的实际应用，根据表格构建分段函数模型，通过代入临界值附近

的数据进行验证即可得出结论.

3.（2025•江西稳派・5月联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷

袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为“（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）

满足B二罟7,则该类昆虫的最大跳跃高度为

1-Hd

A.0.25米B.0.5米C.0.75米D・1米

【答案】A

【解析】由庐=1可知宫一Hv4=4H,

H=当且仅当/=2时等号成立.

于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.

故选A.

【点拨】本题考查函数模型的应用，将等式变形为关于，的表达式，利用基本不等式求最值是处理

化类有理分式函数极值的常用手段.

4.（2025•青岛•一模）近年来，家用冰箱使用的叙化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含

量Q与时间t（单位：年）的关系为、=、。©一看，其中Q。是臭氧的初始含量.臭氧消失一半

所需要的时间约为（ln2«0.693,精确到1年）

A.265年B.266年C.276年D.277年

【答案】D

【解析】令。=（?0€一焉=*0,可得e一焉=提

两边取自然对数得一白=In?=-ln2,

4002

.-.t=4001n2«400x0.693=277.2»277.

故臭氧消失一半所需要的时间约为277年.

故选D.

【点拨】本题考查指数函数模型的实际应用，根据题意建立指数方程，利用对数的运算法则求解

未知数，注意近似计算的精度要求.

5,血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百

分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般

情况下不低于96%,否则为供养不足.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模

型:S（t）=S（）e"描述血氧饱和度S（t）（单位％）随机给氧时间£（单位:时）的变化规律，其

中So为初始血氧饱和度，攵为参数.已知So=60,给氧1小时后，血氧饱和度为70,若使

血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要小时.（参考数

据:ln5=1.61,ln6=1.79,ln7=1.95,加8=2.07)

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

【答案】D

【解析】由题意可得,60e"=70,60/>96,

则k=In7x=1n7—In6,kt>In匹=In8—ln5,

6060

,、In8—In52.07-1.61cr「

:.t>----=------=zo.875.

一In7-ln61.95-1.79

则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要2.875-1=1.875小时.

故选D.

【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，利用初始条件求出指数模型中的参数，再根据目标值

解指数不等式，注意最后求的是“还需要”的时间.

6.（2026•嘉兴•二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理.已知初始碳排放浓

度为3.6kg/m3,每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%.国家排放标准规定

碳排放浓度不得超过0.08kg/m3,若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的

次数为

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】设脱碳处理的次数为心则脱碳处理几次后的碳排放浓度为3.6X0.5".

由题意可得3.6x0.5"0.08,则(丁三总即2nz45.

由于nWAT,所以几的最小值为6.

故至少需要脱碳处理的次数为6.

故选C.

【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，根据每次减少的比例构建指数衰减模型，转叱为解指

数不等式问题.

7.(2026•桐乡•检测)某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年

不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025〜2030年

的年平均增长率大约为(10°06«1.15Jg2«0.30)

A.115%B.15%C.30%D.60%

【答案】B

【解析】设2025〜2030年的年平均增长率为x,根据题意可得5000(l+x)5=10000,化简得

(1+%)5=2.

方程两边取常用对数得51g(l+%)=lg2,又］g2x0.30,

lg(l+x)=0.06.

故1+x力IO006x1.15,所以xx15%.

即2025〜2030年的年平均增长率大约为15%.

故选B.

【点拨】本题考查指数增长模型的应用，建立指数增长模型N=No(l+p)〃，两边取常用对数是

求解底数中未知量的有效方法.

8•异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以累函数形式

表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重第满足y=其中k和a为正常数，该类

动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提

高到初始状态的8倍，则a为

\B1Q-02

儿4B-2J3.4

【答案】D

【解析】设初始状态为(不,丫1),则刈=16不，y2=8yv

a

又yi=fcxf,y2=kxf,即8yl=fc(16xi)=k•16。?.

•••也=笔立，得16a=8,即24a=23,解得4a=3,a=；.

y\4

故选D.

【点拨】本题考查事函数模型的应用，利用事函数模型，代入两组状态的数据作商，即可消去常

数k求出指数a.

9.(2026・枣庄・一模)已知函数/(%)=芸，则

A.7(%)为奇函数

B./(x)的值域是(一1,1)

C./(%)有极值

D.存在实数a,b,使得〃>)在口3上的值域为《为3勾

【答案】ABD

【解析】对于A,f(x)的定义域为R,f(-x)=M=^=-r。)，:/。)为奇函数，故A正确;

对于氏/)=*=1一含，•4>(),,2+1>1,/V2,."1<1一等VI,

即/(%)的值域是(-1,1),故B正确:

对于C,f(%)=>0,•••/(x)在R上单调递增，无极值，故C错误；

对于D,•••/•(%)在R上单调递增，若/'(%)在［a,句上的值域为弓a；句，则/(a)=：a,f(b)=触,即

a,b是方程/(%)=的两个不相等的实数根.令g(x)=f(x)-则g(-x)=f(-x)+*x=-

/'(x)+［x=_g(X),•••g(x)为奇函数.乂g(0)=0,g<2)=f(2)-1_|=>0,

g(3)=/(3)-7=feT-Z=TO>0,g(4)=/(4)-l=J^-l<0,由零点存在

性定理知，g(x)在(0,+8)上至少有一个零点，设为b,由奇函数性质知-b也是g(x)的零点，设为

a，则存在实数a,b,使得/•(%)在［a,匕］上的值域为故D正确.

故选ABD.

【点拨】本题考查函数的奇偶性、值域、单调性及零点存在性定理的综合应用.利用分离常数法求

函数值域，通过求导判断单调性，将值域区间问题转化为方程同解问题，结合零点存在性定理进

行判断.

10.(2025•青岛・一模)已知狄利克雷函数OQ)=j\?设函数/(%)=/)(%)-

(U,%aQ.

sin/rx,则

A./(%)是奇函数B./(%)是周期函数

仁/(均的值域是［一1,1］d/(%)在区间［一1,1］卜的有理数零点

恰有3个

【答案】ABD

【解析】对于A,。(工)的定义域为R,当不为有理数时，是有理数，则。(一%)=。(乃=1；当工

为无理数时，一刀是无理数，则。(—x)=D(x)=O,即D(x)为偶函数.故/(-%)=sin(-7rx)・

D(-x)=-sinnx-D(x)=-/(x),f(x)是奇函数，故A正确;

对于B,对于任意的整数A,当x为有理数时，x+2k也是有理数，则。(工+2幻=。(%)=1；当为

为无理数时,x+2A也是无理数,则。(%+2k)=D(x)=O./(x+2k)=D(x+为)•sin［jr(x+

2fc)］=D(x)-sin(7rx4-2kn)=D(x)-sinyrx=/(%),即函数/(%)是周期函数，故B正确；

对于C,函数。(x)的值域为{01},当％为无理数时，/(X)=0：当％为有理数时,f(x)=sinjrx,由

于也不能取到一个周期内的所有实数(例如sin;rx=日时x无有理数解)，.・./(X)取不到的

全部，故C错误；

对于D,令/(%)=令。)•simr%=0,当％为有理数时，sinnx=0,解得xWZ,在区间［一1,1］上有

-1,0,1这3个有理数零点，故D正确.

故选ABD.

【点拨】本题考杳新定义函数(狄利克雷函数)的性质，理解狄利克雷函数的定义及奇偶性、周

期性，结合三角函数的性质进行综合分析是解题关键.

11.(2025•江西稳派・5月联考)已知函数/(x)=e。"-ln(x+l)(a>0),且

“(》1，力)，8(%2，及)为曲线y=/(x)上不同的两点,则

A.Q=2时,曲线y=/(x)在％=0处的切线方程为x+y-1=0

B.a=l时,/(%)有最小值1

C.若4c关于点(0,匕)对称,则bG(1,+oo)

D.若AB关于点(0,b)对称，且(打一不)(月一丫2)W0恒成立，则-W(0,1］

【答案】BCD

【解析】对于A,当Q=2时，/(x)=e2x-ln(x+l),f(0)=1,/(x)=2e2x-f

CO)=1,故曲线y=/(%)在％=0处的切线方程为y-1=1•(x-0),即x-y+l=0,故A

错误；

对于B,当Q=1时，/(X)=ex-士，记gO)=/(%),则g(X)=ex+—^-7>o,/'0)在(一

L+8)上单调递增.又/''(0)=0,(乃在(-1,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增，故/(盼

有最小值/(0)=1,故B正确：

对于C,由题意可得%1+%2=。，由对称性不妨设石=t€(0,1),则%2=一£.又f(%l)+f(%2)=

2b,BPeat+e-at-ln(l-t2)=2b.记尸(t)=eat+e-at-ln(l-t2),则F'(£)=a(eat-e-at)+冷,

vt6(0,1),Q>0,,•.尸’(£)>0,，F(£)在区间(0,1)上单调递增，26>

F(0)=2,即b>l.下面证明，de(l,+oo),即证VbW(l,+8),尸©=2b有解.记G©=

F(t)-2b,贝IJG(0)=2-2b<0,取"=-e-4则G(G)ln[l—(1一e-2与]-2b=0,

.-.3t26(0,^),使得G«2)=0，18£(1,+8),故C正确；

对于D,由题意可转化为2t[/⑷-f(-t)]40,即-t)40.记九(£)=/(£)-/(-£),则

/i(t)=eat-e-at-ln(^),h(0)=0,h'(t)=a(eat+e-at)-lx(0)=2。-2.设

77i(x)=ex—x—1(-1<%<1),则TH(x)=k-1,•••m(x)在区间(—1,0)上单调递减，在区间

(0,1)上单调递增，二m(x)Zm(0)=0,即B|Je-x>1-x,故e”三白，当且仅当

%=0时取等号.若0VQW1,则九《)<caf+c-af一三—三工--+4—工=0,

1—t1—t1—t1+t1—L

•••九«)在区间(0,1)上单调递减，.••/!(。V九(0)=0,符合题意.若Q>1,£C(O,jr^)时，

力’(。>2。一告>0,.・.九(£)在区间(0,小三)上单调递增，.・./1(6^)>九(0)=0,不符合

题意.综上所述，a6(0,1],故D正确.

故选BCD.

【点拨】本题考查利用导数研究函数的切线、单调性与极值，处理对称性问题时转化为陶造新函

数，结合放缩法(如砂Nx+l)证明不等式是解决压轴选项的有效途径.

12.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量/Q)(亳克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似

(512,0<%<1

满足表达式/(x)=3Z1V1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定:

《,成X>1

驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车

.(精确到1小时)

【答案】4

【解析】当0WxW1时,由/(“)<0.02得5*2<0.02,

解得％W2+k)g50.02=k)g50.5v0,舍去；

当第>1时，由/■(%)<0.02W|-Q)A<0.02,即31r<0.1,

解得x>1-log30.1=1+log310.

•••3V1+log310<4,.,.此驾驶员至少要过4小时后才能开车.

【点拨】本题考查分段函数模型的应用，分段解指数不等式，利用对数的性质估算数值范围.

13.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展

方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结

合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量久万件与投入实体店体验安装的费用t

万元之间满足函数关系式％=3-作.己知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品

每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件

产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是万元.

【答案】37.5

【解析】根据题意，得到亡=三一1（1VXV3）,

JX

•••月利润为y=（32X1.5+£）%-32%-3-£=16%-13=16%-£一|=45.5-[16（3-

%）+^]<45.5-2V16=37.5,

当且仅当16（3-霜=三时，即x=2时取等号，

艮1月最低利润为37.5万元.

【点拨】木题考查函数模型的实际应用，根据题意构建利涧函数，将变量统一后利用基本不等式

求最值.

14.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：6=（&-。0）。-豌+80,其中t为时间

（单位：min）,拆为环境温度，%为物体初始温度，。为冷却后温度，假设在室内温度为

20℃的情况下，一桶咖啡由100℃降低至IJ60C需要20min.则k的值为.

【答案】《

【解析】由题意，把6o=2O,=100,6=60,1=20弋入。=（&-。0«一k+。（）中，

得80e~20/f+20=60,.%c-20^=

.%-20fc=-ln2,解得k=詈.

【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，将已知数据代入给定的指数衰减模型，解指数方程即

可.

15,（13分）（2026•合肥一六八中•一模）某地区上年度天然气价格为2.8元/n?,年用

气量为QnA本年度计划将天然气单价下调到2.55元/n?至2.75元/n?之间.用户期望天然

气单价为2.4元/n?,经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价

的差成反比（比例系数为A）.已知该地区天然气的成本价为2.3元/n?.

（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y（单位:元）关于实际单价为（单位：

元/n[3）的函数解析式；（收益=实际用气量x（实际单价-成本价））

(2)设Z=0.2Q,当天然气单价最低定为多少时，仍可保讦燃气公司的收益比上年度至

少增加20%?

【答案】(I)y=(4+4(%-2.3)(2)2.6

【解析】(1)设下调后的天然气单价为%元/nA

则燃气公司的收益y=(品+。)(》-2.3)/6[2.55,2.75]；...........................5分

(2)由题意可知要同时满足以下条件：

((号十0)(%一2-3)>L2Q(2.8-2.3),1()分

12.55<x<2.75

解得2.6<%<2.75,即天然气单价最低定为2.6元/n?..............................13分

【点拨】本题考查函数模型的实际应用，关键是理清题意，根据“收益=实际用气量x(实际单价-

成本价)”列出函数关系式，并解对应的不等式组.

16.(17分)(2026•合肥一六八中-一模)城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市

形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于2016年开通了地铁1号线，该条线路通

车后，列车的发车时间间隔t(单位:分钟)满足3Wt420,经市场调研测算，列车载客

量与发车时间间隔t相关，当34tq10时，载客量会逐渐增加，载客量与(10—t)2成一

次函数关系，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为333人，当104tM20时，列车为

满载状态，载客量为480人，记列车载客量为S(£).

(1)求S(£)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，列车的载客量；

(2)若该线路每分钟的净攻益为:M(t)=竺出手空(元)，问当发车时间间隔为多少

时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.

【答案】(1)432(2)4,112

【解析】(1)由题设，当3WCW10时，令S(t)=k(10-t)2+b,又发车时间间隔为3分钟时

的载客量为333人，10分钟时的载客量为480人，

.’333=k(10-3)2+8=0=-3

“480=/c(10-10)2+b=必=480'

AS(t)=-3(10-£)2+480=-3t2+60t+180；...................................3分

当10WtW20时,S(t)=480,

.“八f-3t2+60t+180,3<t<10,4

-5(t)=l480,10<t<20；........................................°分

故£=6时，S(6)=-3x62+60X6+180=432,

所以当发车时间间隔为6分钟时，列车的载客量为432人；.............................8分

(2)因为M(£)=4S⑴-32.912,

208—g+华)，3<t<10

所以由(1)可得：M(t)=...............................................10分

1008一32,10<t<20>

当3Wt<10时，M(t)=208-(12t4--^)<208-2J12t-=208-96=112,

当且仅当£=4等号成立,

则3W£V10时，M(t)max=M(4)=112(元)：..................................13分

当10W£W20时，M(£)=——32在£G[10,20]递减，

则M(t)max=M(10)=100.8-32=68.8(it)；.................................................................15分

练上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元.................17分

【点拨】本题考查分段函数模型的建立与最值求解.第一问利用待定系数法求出二次函数解析式；

第二问将分段函数代入收益公式，利用基本不等式和单调性分别求出各段的最大值再比较.

17.(15分)能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建

住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年

的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币.又根据建筑公司的前期研究得到，

该建筑物30年间的每年的能源消耗费用N(单位：万元)与隔热层厚度九(单位：厘米)

满足关系：A/(h)=^(0</i<10),经测算知道，如果不建隔热层，那么30年间的每

年的能源消耗费用为10万元人民币.设尸(九)为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费

用总和，求使尸①)达到最小值时，隔热层厚度九的值.

【答案】(I)机=40,尸(九)=9九+照(2)y,108

【解析】(1)由题意得，当九二0时，N(0)=^=10,解得m=40；...............................3分

4

又尸(九)=9/i+30xN(/i)=又+30X磊(0<h<10)；.......................................................7分

(2)F(/i)=9/i+黑=3(3h+4)+施一12；.....................................................................10分

分

>2yl3(3h+4)xOri।*T-12=108,..............................................................................................13

当且仅当3(3九+4)=黑，即九二当时，等号成立.

所以当隔热层厚度/I为3厘米时，总费用F(/t)达到最小，最小值为108万元...............15分

【点拨】本题考查函数模型在实际生活中的应用.通过代入初始条件求出待定系数，再构建总费用

函数，利用基本不等式求出最小值.

18.(15分)迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭

的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎.如图是某间迷你KTV的

横截面示意图，其中=/E=|,4/=Ng=NE=90。，曲线段C。是圆心角为90。的圆

弧，设该迷你KTV横截面的面积为S,周长为L,求，的最大值.（本题中取几=3进行计算）

【答案】（1）S=—,L=6—：x（2）12-3同

42

【解析】（1）设圆弧的半径为％（0<%4|）,根据题意可得：BC=DE=AB-x=l-x.

S=AE-DE+(AB-DE)•(4E-x)+^nx2=|x6一x)+(j—x)%-+苧..........4分

L=2A8+8C+OE+孚=6-2x+竽.

42

v7T=3,S=上jL=6—......................................................8分

42

(2)3=^".令£=24-2*21工£<24)，则％=浮，..............................12分

L24-2x',2

根据基本不等式，狂等2、蜉=3底,当且仅当；誓即”6任时取

6>/15e[21,24）,二t=64时，停）=12-3/15...................................15分

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【点拨】本题考查几何图形面枳与周长的计算及基本不等式求最值.关键是正确表示出面积和周长,

再通过换元法将分式