自动控制理论及应用 习题解答 第2章

习题2答案

2-1

解：根据克希霍夫定律，可写出下列方程组

%二凡年+%)+

C】

•/J\df=R2i2+十j»2山

…为，a

消去中间变量八、后得到

d2«d〃

RRGC2—+（RS+RG+凡G）--+u=14

'drdrit

令RC=7],RIC2=E，R2c2二八，则得

d2udu

工（力L+g+《+[）■+%,=%

若进一步令丁=循，产二立委g。可将上式标准化，得

-■2师

，隼+2a詈+…

2-2

解：由题得，齿轮I和齿轮2的减速比为

%

在齿轮传动中，两个齿合齿轮所做的功相同，因此有

T&=T24n4=知=凡

%

根据牛顿第二定律，齿轮1的运动方程为

,d2aT丁dG

齿轮2的运动方程为

~drAhdt

由上式，消去中间变量，可以得到系统的运动方程为

人1

产Bb

O答+k+

2-3

解：首先对），⑺进行拉氏变换

2I3s+2

r(5)=----------F------=--------------------

s5+25+15(5+l)(5+2)

所以，系统的传递函数为

y(s)_y(s)3s-2

G(s)=

丽―丁(s+l)($+2)

2-4

解：对于题2H中的图2T4(a)所示系统，利用发数阻抗的方法可有

R.+—,

G(s)_q(s)_C2s_RiR2ClC2s~+(/?|C(+R1C2)s+i

as-U,G)~+(RC+RC+RQ、)s+1

归1)

/?,+—I

1C.5G"

对于题2-4中的图2-44(b)所示系统，引入中间变量A、B、C点，并设图中A、B、

C点的位移分别是为、x。、xi，如卜图1所不。根据牛顿第二定律，"J知对于B、C点分别

有

B点

K式Zf)+f2(xf)'=工('f)'

C点""区一天)'

对上式两边同时作拉氏变换，则有

&XjG)—S+y>Xj(3)-f2sxo(s)=仆x<$)-KXQ)

K/(s)=小X,,(s)-工期⑸

那么系统的传递函数为

G⑸=2=//『+(K"+K/)S+KR

bXjG)+

+5+1

K屈

5+1

KR，+(分分用

当叫=，/%,f?.与时，两系统具有相同的传递模型。

J3

A

图1题2-4(b)的示意图

2-5

解：根据克希霍夫定律，可写出下列方程组

在零初始条件下对方程组进行拉氏变换得

，($)-U(.(s)=NCs，,(s)+ut.(5)

(s)=RJU(s)+UC2(5)-U”(s)

4(s)_4(s)

~RT~~~RT

消去中间变量，可得网络的传递函数为

、U,,(s)R，RC§+2

G(s)=———=--•—------

5⑸/?,/?,C,5+2

2-6

解：用方块图等效变换求取系统的传递函数:

将综合点如下图2所示消除交叉

图2题2-6的消除交叉图

然后如图3所示再进•步化简

（b）

R（s）G（s）-G（s）_kV）

—

IG2（5）G,（5）

（C）

图3题2-6的方块图化简结果图

（a）综合点后移；（b）并联和反馈；（c）串联

最后，可以得到系统的传递函数为

GAG⑸

&$)1-G2(.V)G3GS)

用梅逊公式求系统的传递函数:

由题得，系统有一个回路和两条前向通路。因此

人=。2（，）6式，）

△=1——Z4=1—4=1一G2（S）GG）

I

片=印5）4=1

P2=-G2（S）A2=l

最后，可以由梅逊公式得到系统的传递函数为

解：（1）在零初始条件下，对微分方程进行拉氏变换。得到方程组

Xj(s)=R(s)-y(s)-N1(s)

X2(5)=/C,X,(5)

X.(s)=X2(s)-X5(s)

X3G)

X（5）=

4Ts

X5(S)=X4(S)-K2X2(S)

K0X5G)

Y(s)=

s(s+1)

（2）根据方程组画出个子系统结构图，如下图4所示

图4题2-7的子系统结构图

（3）按照系统中各变量的传递顺序，把相同的量连起来，便可得到系统的结构图，如

图5所示

M(s)

R(s)

图5题2-7的系统方块图

2-8

解：由题得一共有4条问路，一对两两不接触I可路，故有

L=­cg、=—eh,Ly=—cdei,£4=-hei

=1十eg十eh十cdei十bei十egeh

12

（1）求传递函数也

>1

从y到泗的前向通路共有两条，故有

P}=acdef,4=1

P2=ahef,A,=1

A=ly_acdef+abef

△念\eg+eh+cdei+bei+egeh

（2）求传递函数&

y

因为v不是输出节点，而是混合节点，故可将以用一条支路增益为1的支路引出，使

该混合节点变为输出节点，所以正可以直接利用梅逊公式求出。

从V到少的前向通路共有一条，故有

片=〃，A）=1+eh

也〃(1+eh)

X△hl\+eg+eh+cdei+hei4-egeh

（3）求传递函数达

%

因为以不是输入节点，而是混合节点，故不能直接利用梅逊公式求传递函数。故需要

«(1+eh)

先用梅逊公式求达和至。其中&。而从yi到>5的前向通

>151\+eg+eh+cdei+bei+egeh

路共有两条,故有

P、=acde,Al=1

P]=abe,A2=1

acde+abe

1+eg+M+cdei+bei+egeh

那么

y5_y5/y2_acde+abe_cde+he

y2yya(\+eh)\+eh

2-9

解：⑴系统的信号流图如图6所示

图6题2-9的信号流图

（2）如所示，共有6条回路，有4组量量互不接触回路。因此有

^La=-G2H,-G2G.H2-G5H.-G5G6H4+G2H5G5H6-G2H5G5G.H7H2

I

Z44=G/1G/3+G/GG,%+G2G/GH3+G2G也

2

△=I-Z4+£2

1»

=1+G?H\+G2GH2+GM+G&H、-G2Hfi,H6+G2H5G5G6H7H2

+G/G1H3+G2Hfi5G6H4+GQi"2G盟3+G2G3H2G5G(，乩

…A=l+GsH、+GsG凡

P、=GGHGG,、H[,A,=1

B=-G4GsGhH7,A3=1+G?H\

PLSG、,A4=l

所以，根据梅逊公式，系统的传递函数为

GGG(1+GM+G'G凡)+GRH&G6Hl-GG(1+)—GGQG。

券"第3二44

1+G2/+G2G/?+G凡+GRH「G?H,G凡+GHQ’G%%

+仇乩5小+G2HC5G6H“+G2G3H2G5H3+G2G/2G5G6工

2-10

解：由题得系统的输入变量为〃=〃”系统的状态变量为

根据电路原理，建立动态方程

得到状态方程为

凡+R)11

x=——!-----X+-------为+---1(,

用。1&G&-4G

n

=X+&。?当11

2X,=-----------X---------------X,

-&GRG~

输出方程为

)'=〃"k=工2

所以系统的状态空间模型为

R+R21

xjRCRCRExj11

=""d---

|_X2J11[x2]Rj

R2C2~R2C2\

y=[。止

L上」

2-11

解：根据牛顿定律，对质量块M和M2进行力的分析，有

整理后有

d~X_&十K2K2f+fdyfdy

——=-----------y.H-------y-----t-----2------]--F---2--------2-

212

drM/…MxdrMdr

d2y2_勺Kf?如fdy

22+—F

2

drMJ1M2M2drM、山M,

设

u-F,x\-y\，X2=>'2»马=y»x4=y2,故有

00I0「r

0

0001

0

储十/Kf\"f

x—22x+U

M1M.1M.1M.1

K,&f2j\—

M,W,忆M、L2」

-100o-

V=X

|_0100

2-12

解：（1）由系统的微分方程,可求得系统的微分方程为

y（S）_6

G(s)=

U(5)53+6s2+1Is+6

引入中间变量V（s）,使

1

6—、

s+6s-+1k+6

令联H’翳八6,小+6,则有

v+6v+l\v=u

y=6v

取%%/=上七=u，则状态方程为

X=々

%2=七

x3=-6Xj-1Lr2-6七

输出方程为

y=6为

故系统的能控规范型状态空间表达式为

绘制的状态变量图如下图7所示。

图7题2-12(1)的状态变量图

(2)选择

%=y+6y+1\y

x,=y+6y

刍二)，

故有

A;=>+6y+1ly=-6X3+6M

x2=y+6y=Xj-1lx3

x3=x2-6X3

那么系统的能观规范型状态空间表达式为

y=[00

绘制的状态变量图如下图8所示。

2-13

解：将传递函数展开为部分分式，有

「、Y(s)55.5

G(s)=----=-----7-----+----

U(s)(S+l)25+15+2

且系统的特征根为P2=-1,P3=-2。则系统的特征值规范型状态空间表达式为

2-14

解：（1）由题得矩阵A的特征多项式

2-11

|2Z-A|=64+11-6=r+622+lU+6=a+l)a+2)a+3)

6112-5

可求得其特征值为4=-i，&=-2,4=-3。

对于特征值4=-I,根据&=4力有

31

即

5T31=Fl0

-6/u-1k2I+6/31=-/21；

21

-6ru-1k21+5r,j=-r51

所以取，u=i,得4=卜｝同理可求得

那么系统的变换矩阵为

■,11

1——

23

T-002

123

其逆矩阵为

，5;

2

T'=-6-86

3--3

L2J

由式(236),可求得

-51n

3_rr11

,2r01-11--r-1o0

93

A=TAT=-6-86-6-116QQ2=0-20

,9-6-115,00-3

3——Jo」」]2nJo」

L2JL」

3--2r-irn

20-2

b=T'h=—6—860=6

3：3NW

L2J

1111

八"=U0°]o02=['H.

123

所以系统对角线规范型的状态空间表达式为

(2)由题得矩阵A的特征多项式

2-4-I2

\AI-A\=-1A-2=A3-7/l2+15/l-9=(/l-3)2(A-l)

—I1A—3

可求得其特征值为：4=4=3,4=1。

对于二重特征根4=4=3,系统矩阵A只有一个独立特征向量，可由求得

即

+，2i-2(3|=3f”

4+25=3%=6=%

Zu-z2t+34=3%

所以取川=1,得一个独立特征向量为4=1

由At2—由2+G，得(2/—A)，？=—，［，即

4I

62+2,32-=1

10

4T22=1

1-1

可求解得到有个独立的广义特征向最力=

对于特征根4=1,根据44=44,有

即

%+，23-2八3=，|3

%=2f33

<£+2自=，23=><

乙3二°

J13一25+343=，33

0

所以取63=1，得4=2

1

那么系统的变换矩阵为

I20

T=112

I1I

其逆矩阵为

-1-24

T[=11-2

01-I

由式（2-36）,可求得

2011310

12=030

11J[001

-1-24~-3「-13-3-

B=T'B=11-227=-52

01-1_53_-34

-120一

c=cT=[\23]112=[677]

111

所以系统特征值规范里的状态空间表达式为

2-15

解：由题得

该模型为能控规范型表达形式，由其特点可直接写出它的特征多项式为

(p(s)=s'+3『+3s+1=(.v+l)3

系统具有三重特征值2=7,可得变换矩阵为

0000

A1010

2/11-21

则变换矩阵的逆矩阵为

00

-I110

21

新状态空间的各相应矩阵为

100-1I0

A=T]AT=1100-11

1200-1

b=

c=cT=[32]

所以，系统的特征值规范型状态空间表达式为

-1100

x=0-11X+0

001

)")=[5小

特征值规范型的系统的传递函数为

G(s)=c(sl-A)-1b=c(sl-A)~]b=一'+'=~二+'--

(s+\y+3?+35+1

2-16

解：由题得

-I

s00s'+3s+2oo

]

(si-A)-'=0s-Is(s+3)s

/+3s2+2s

I2s+3-2ss2

所以

s~+3s+20010

G(s)=C(W-4尸B=-：~L——100

-1s(s+3)00

S3+3S2+2S001

—s—2s01

1

0

s2+35+20

s(s2+35+2)

(5+1)(5+2)G+l)(s+2)

2-17

解：由题得

-i

s—106+3)25+30

2s+30—2(s+3)s(s+3)0

(s+3)(s+2)(5+1)

I-1.v+3-y-5s-\(5+2)(5+I)

所以

G+3)25+300

G(s)=C(4・A)"B=0I]-2(5+3)s(S+3)01

-5-55-1(s+2)(s+l)2

2.9+1

•(25+1)(54-3)=

(s+3)($+2)($+1)(5+2)(5+1)

2-18

解：由题得系统的状态变量图为

K、

J,□41?

图9题2-18的系统状态变量图

根据图9,可以得到

='3

由此就可以求出系统的状态空间模型为

01000

(

000

1

00